Contrainte normale et loi de Hooke en traction

Une pièce tendue (un tirant, une tige de vérin, une barre de suspension) subit une traction simple : deux forces opposées, alignées avec son axe, cherchent à l’allonger.

Pour savoir si la pièce résiste, la force seule ne suffit pas : la même force est bien plus dangereuse pour une tige fine que pour une barre épaisse. On calcule donc la contrainte normale $\sigma$ (sigma), la force rapportée à l’aire $S$ de la section :

Avec $F$ en newtons et $S$ en mm², $\sigma$ sort en N/mm², c’est-à-dire en mégapascals : $1\ \text{MPa} = 10^{6}\ \text{Pa} = 1\ \text{N/mm}^2$.

La déformation. Sous la traction, une pièce de longueur initiale $L_0$ s’allonge de $\Delta L$. On mesure la déformation par l’allongement relatif

un nombre sans unité ($\Delta L$ et $L_0$ dans la même unité).

La loi de Hooke. Dans le domaine élastique, la contrainte est proportionnelle à l’allongement relatif :

où $E$ est le module d’Young du matériau (en MPa, comme $\sigma$, puisque $\varepsilon$ n’a pas d’unité).

La limite élastique. La pièce reste dans le domaine élastique tant que $\sigma$ ne dépasse pas la limite élastique $R_e$ du matériau. Au-delà, la loi de Hooke ne s’applique plus. Pour valider un dimensionnement, on compare donc la contrainte calculée à $R_e$. On peut aussi retourner la relation :

• force maximale admissible : $F = R_e \times S$ ;
• section minimale : $S \geq F / R_e$, d’où, pour une tige ronde pleine, $d = \sqrt{4F / (\pi R_e)}$.

Une tige ronde pleine de diamètre $d = 25$ mm et de longueur $L_0 = 2$ m transmet une force de traction $F = 70$ kN. Données de l’exemple : limite élastique $R_e = 300$ MPa, module d’Young $E = 200\,000$ MPa.

1. Convertir : $F = 70$ kN $= 70\,000$ N.
2. Aire de la section : $S = \dfrac{\pi \times 25^2}{4} \approx 490{,}9$ mm².
3. Contrainte : $\sigma = \dfrac{70\,000}{490{,}9} \approx 142{,}6$ MPa.
4. Comparer : $142{,}6 < 300$ : la tige reste dans le domaine élastique ; la loi de Hooke s’applique.
5. Allongement : $\varepsilon = \dfrac{\sigma}{E} = \dfrac{142{,}6}{200\,000} \approx 7{,}13 \times 10^{-4}$, puis $\Delta L = \varepsilon \times L_0 \approx 7{,}13 \times 10^{-4} \times 2\,000 \approx 1{,}43$ mm.

Retourner la relation. Une barre rectangulaire pleine de 30 mm sur 60 mm, de même limite élastique, supporte au plus $F = R_e \times S = 300 \times 1\,800 = 540\,000$ N, soit 540 kN.