Convertir une tension en nombre : quantum et résolution d’un CAN

Un CAN associe à une tension échantillonnée un code numérique. Dans le modèle idéal unipolaire de cette leçon, n est un entier positif, la plage est $0\leq U<U_{PE}$ avec $U_{PE}>0$, et les $2^n$ codes vont de 0 à $2^n-1$.

Convention fournie : $q=U_{PE}/2^n$ et $N=\lfloor U/q\rfloor$. Le code k correspond à l’intervalle $[kq;(k+1)q[$ : la borne gauche est incluse, la droite appartient au code suivant. Le point $U=U_{PE}$ et les tensions hors plage sont exclus de ce modèle de partie entière ; un convertisseur réel peut saturer ou signaler un dépassement selon sa documentation.

Le quantum q est la largeur nominale d’un intervalle, pas une précision garantie de toute la chaîne. Une variation arbitrairement petite peut franchir un seuil si le point de départ est tout près ; une variation plus grande mais restant dans un intervalle peut conserver le code. Il faut donc distinguer résolution nominale, changement de code observé et exactitude de mesure.

À partir du code seul, on sait $Nq\leq U<(N+1)q$ dans ce modèle. Reconstruire $\widehat U=Nq$ choisit la borne basse, avec $0\leq U-\widehat U<q$. Choisir le milieu $(N+1/2)q$ donne une erreur absolue au plus $q/2$. Ce sont deux conventions de reconstruction, sans transformer le code de troncature en un arrondi au plus proche.

Un capteur linéaire peut avoir un décalage : $U=U_0+s\theta$, avec $s>0$ dans le cas étudié. L’intervalle de température est donc $[(Nq-U_0)/s;((N+1)q-U_0)/s[$, de largeur $q/s$. Utilisez les mêmes unités pour U, q, $U_0$ et s.

Plus de bits réduit q à plage identique. Cela ne supprime ni bruit, ni défaut de référence, ni non-linéarité, ni erreur du capteur. La conversion traite aussi des instants d’échantillonnage ; le seul quantum ne détermine pas la capacité à suivre un signal rapide. Le choix matériel demande le budget d’erreur et la dynamique du signal.

Dossier idéal construit. CAN de 9 bits, $U_{PE}=4{,}096$ V, convention de troncature ; capteur $U=0{,}400+0{,}016\theta$ en V pour une température en °C. On connaît une tension test $U=1{,}450$ V, puis on veut expliquer ce que dit son code seul.

Quantum et code. $2^9=512$ et $q=4{,}096/512=0{,}008$ V. Le quotient vaut $1{,}450/0{,}008=181{,}25$, donc $N=181$.

Intervalle. Le code 181 correspond à $[1{,}448;1{,}456[$ V. La tension test est bien dans cet intervalle. La borne basse de température vaut $(1{,}448-0{,}400)/0{,}016=65{,}5$ °C ; la borne haute exclue vaut 66 °C. Le code seul donne donc $[65{,}5;66[$ °C, pas une température exacte.

Deux reconstructions. La borne basse donne 65,5 °C ; le milieu donne 65,75 °C avec erreur absolue au plus 0,25 °C sous les seules hypothèses idéales. La température de la tension test vaut 65,625 °C, ce qui permet ici de vérifier ces reconstructions.

Un seuil n’est pas une distance minimale entre deux signaux. Les tensions 1,4479 V et 1,4481 V diffèrent de 0,0002 V, beaucoup moins que q, mais donnent respectivement les codes 180 et 181. À l’inverse, 1,449 V et 1,455 V donnent toutes deux 181. Le résultat dépend de la position des valeurs par rapport aux frontières.

Voici quatre intervalles du dossier ; toutes les bornes droites sont exclues.

Sur un escalier code/tension, la largeur horizontale est q en volts ; un saut vertical vaut un code, sans unité. La borne 1,448 V se place dans la ligne 181. Ne l’incluez pas aussi dans 180.

À la borne haute de la plage, la formule brute donnerait 512 pour 4,096 V, alors que les codes autorisés s’arrêtent à 511. C’est pourquoi le domaine de la formule doit être écrit ; le comportement de saturation n’est pas inventé à partir de la partie entière.