Transmissions : vitesse, couple et rendement

Un réducteur adapte une rotation : dans le modèle étudié, la vitesse de sortie est plus faible que celle d’entrée. Nous utilisons des valeurs positives de vitesse et de couple transmis ; le sens de rotation est traité séparément. Convention : $r=N_s/N_e=\omega_s/\omega_e$, avec $N_e>0$ et $0<r<1$ pour une réduction.

Pour deux roues dentées extérieures de même module, avec un engagement régulier, la conservation du nombre de dents passant par unité de temps donne $N_eZ_e=N_sZ_s$. Ainsi $r=Z_e/Z_s$. Cette relation cinématique ne suppose pas que toutes les surfaces des dents roulent sans glisser à chaque contact : les cercles primitifs servent au modèle de roulement.

Pour deux poulies et une courroie sans glissement, utilisez les diamètres de fonctionnement retenus dans le modèle : $r=d_e/d_s$. Un diamètre extérieur mesuré ne remplace pas toujours le diamètre effectif d’une transmission réelle. Deux engrenages extérieurs inversent le sens ; une courroie ouverte ou croisée ne donne pas le même sens.

Un réducteur peut augmenter le couple disponible, mais cela dépend aussi des pertes. Il ne fournit pas une puissance supplémentaire gratuite.

À un étage, un tour de la roue menante fait passer $Z_e$ dents ; la roue menée avance du même nombre de dents, soit $Z_e/Z_s$ tour. Deux étages successifs, reliés par un arbre rigide, donnent $r=r_1r_2$. Le signe dépend du nombre d’inversions ; le produit positif donne ici seulement le rapport des valeurs de vitesse.

En régime permanent moteur, sans stockage d’énergie mécanique variant dans le dispositif, $P_e=C_e\omega_e$ et $P_s=\eta P_e$, avec $0<\eta\leq1$. Les pertes valent $(1-\eta)P_e$. Pour plusieurs étages, les rendements se multiplient dans ce même cadre.

Comme $\omega_s=r\omega_e$, on obtient $C_s/C_e=\eta/r$. Une augmentation de couple exige donc $\eta>r$, pas seulement $r<1$. À $\eta=r$, les couples sont égaux ; si $\eta<r$, la sortie est plus lente et le couple transmis est pourtant plus petit. Cela n’interdit pas une réduction cinématique très dissipative.

Lors d’une accélération ou décélération, un stockage ou une restitution d’énergie peut intervenir : l’égalité instantanée avec un rendement constant doit alors être justifiée. Les relations ci-dessus décrivent le régime annoncé, pas toute phase transitoire.

Choix construit entre deux transmissions. Même moteur en régime permanent : $N_e=1800$ tr/min et $C_e=1{,}6$ N·m. Option A : deux étages, 18 dents entraînent 54, puis 20 entraînent 50 ; rendements respectifs $0{,}85$ et $0{,}90$. Option B : un étage, 18 dents entraînent 90, rendement $0{,}80$. L’application exige au moins 200 tr/min et au moins 8 N·m à la sortie. Aucun autre critère de dimensionnement n’est testé ici.

A. $r_A=(18/54)(20/50)=2/15$, donc $N_{sA}=240$ tr/min. Le rendement global vaut $0{,}85\times0{,}90=0{,}765$ et $C_{sA}=0{,}765\times1{,}6/(2/15)=9{,}18$ N·m. Les deux exigences sont satisfaites.

B. $r_B=18/90=0{,}2$, donc $N_{sB}=360$ tr/min et $C_{sB}=0{,}80\times1{,}6/0{,}2=6{,}4$ N·m. B est plus rapide, mais manque l’exigence de couple : la vitesse seule ne permet pas de choisir.

Bilan de A. $\omega_e=60\pi$ rad/s et $P_e=96\pi\approx301{,}6$ W. La sortie reçoit $73{,}44\pi\approx230{,}7$ W ; les pertes valent $22{,}56\pi\approx70{,}9$ W. Le couple augmente malgré une puissance plus faible.

Contre-exemple. Un autre modèle avec $r=0{,}20$ et $\eta=0{,}08$ donne $C_s/C_e=0{,}4$. Il réduit la vitesse sans multiplier le couple. Le rendement doit toujours accompagner la conclusion.

Construisez un tableau de deux lignes : A et B. Faites apparaître séparément rapport, vitesse, rendement, couple et puissance. Les colonnes cinématiques et énergétiques répondent à deux questions différentes.

Une représentation du bilan de A peut utiliser une flèche entrante de 301,6 W et deux sorties de 230,7 W utile et 70,9 W dissipée. Ces valeurs sont arrondies ; elles illustrent un bilan, pas les dimensions physiques d’un engrenage.

Les sens de rotation se déduisent de la topologie : avec deux contacts extérieurs successifs, A retrouve le sens d’entrée ; un seul contact extérieur dans B l’inverse. Ce sens n’est pas codé dans le nombre positif $r$ du tableau.