Le volume molaire d'un gaz : compter par le volume

Vous savez relier quantité de matière et nombre d'entités ou masse. Le volume molaire se définit par $V_m=V/n$ pour un échantillon dont la composition et les conditions sont précisées. Ainsi $n=V/V_m$ et $V=nV_m$ sont des relations de définition : un liquide ou un solide possède aussi un volume molaire.

Le modèle des gaz parfaits apporte une propriété supplémentaire : à mêmes température et pression absolue, tous les gaz de ce modèle ont le même volume molaire. C'est le cadre de la loi d'Avogadro-Ampère employée ici. Les gaz réels s'en approchent dans certaines conditions, sans exactitude universelle ni marge d'erreur identique pour toutes les espèces.

Dans les exercices de cette leçon, on fournit la donnée simplifiée $V_m=24{,}0$ L/mol pour des conditions indiquées proches de $20\ °\mathrm C$ et $1\,013$ hPa. Le calcul du gaz parfait avec $R$, $T=293{,}15$ K et cette pression donnerait environ $24{,}1$ L/mol à trois chiffres significatifs. Nous conservons 24,0 comme donnée de calcul, pas comme résultat métrologique exact. À $0\ °\mathrm C$ et $1\,013$ hPa, 22,4 L/mol est une autre valeur approchée.

Avec la même donnée de volume molaire, une mole de H2, O2 ou CO2 occupe le même volume mais n'a pas la même masse. Accordez les unités : L divisés par L/mol donnent des mol. Pour l'eau liquide, utilisez son propre volume molaire ou sa masse volumique : le nombre 24,0 L/mol du modèle gazeux ne convient pas.

Pourquoi le modèle simplifie. Un gaz parfait néglige le volume propre des particules et leurs interactions hors collisions idéalisées. Les gaz réels s'écartent de ce modèle ; l'écart dépend de l'espèce, de la pression et de la température, notamment près d'une condensation. Dire « le même volume molaire » suppose donc ce modèle ou une approximation explicitement acceptée.

Conditions. Pour une quantité fixe de gaz parfait, à pression constante le volume varie comme la température absolue ; à température constante il varie en sens inverse de la pression absolue. La relation $pV=nRT$ donne $V_m=RT/p$ dans ce modèle, pas dans n'importe quel état réel. La leçon utilise une valeur fournie et réserve l'étude détaillée de l'équation d'état à un autre cours.

Chaîne de calcul. Pour une espèce de masse molaire $M$, on peut écrire $n=m/M$ puis $V=nV_m$. On peut aussi combiner ces relations en $V=mV_m/M$ : le passage par $n$ est une manière de montrer le raisonnement, pas une étape d'écriture obligatoire. Dans l'autre sens, $n=V/V_m$ puis $m=nM$.

Masse volumique. Avec les mêmes conditions et la même composition, $\rho=M/V_m$. La donnée simplifiée 24,0 donne pour CO2 $\rho\approx1{,}83$ g/L et pour un air de masse molaire moyenne 29 g/mol environ 1,2 g/L. Cette comparaison n'établit pas à elle seule une accumulation réelle : brassage, ventilation, convection et sources de gaz interviennent. Elle ne remplace pas l'analyse d'un risque d'atmosphère.

Gaz et liquide. Une mole d'eau liquide occupe environ 18 mL dans le modèle de masse volumique 1,00 g/mL. Le rapport avec 24,0 L vaut environ1333 ; il compare deux données de modèles, sans prétendre maintenir de l'eau pure gazeuse à 20 °C et 1 013 hPa. Le nombre de moles, la masse et l'état physique restent trois informations différentes.

Énoncé. On dispose d'une masse $m = 8{,}00$ g de dioxygène $\mathrm{O_2}$, à $20\ °\mathrm{C}$ et sous $1\,013$ hPa. Données : $M(\mathrm{O}) = 16{,}0$ g/mol ; donnée de volume molaire simplifiée employée pour ce modèle : $V_m = 24{,}0$ L/mol.

Calculer le volume occupé par ce gaz. Comparer avec le volume qu'occupent $8{,}00$ g d'eau liquide dans les mêmes conditions (masse volumique de l'eau liquide : $1{,}00$ g/mL). Puis déterminer la masse de dioxyde de carbone contenue dans un ballon de $1{,}50$ L, toujours à $20\ °\mathrm{C}$ et $1\,013$ hPa ($M(\mathrm{C}) = 12{,}0$ g/mol).

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1. De la masse à la quantité de matière. Le volume molaire se rapporte à des moles : on commence par compter.

2. De la quantité de matière au volume.

Huit grammes de dioxygène occupent $6{,}00$ L à $20\ °\mathrm{C}$ et $1\,013$ hPa — le volume d'un gros ballon de baudruche.

3. Contrôler. Unités : $\mathrm{mol} \times \mathrm{L/mol} = \mathrm{L}$ ✔. Sens : un quart de mole, un quart de $24$ L ✔. Et si l'énoncé avait dit « à $0\ °\mathrm{C}$ », le volume molaire aurait été $22{,}4$ L/mol et le volume $0{,}250 \times 22{,}4 = 5{,}60$ L : les conditions changent la réponse.

4. Le contre-exemple de l'eau liquide. Même masse, $8{,}00$ g, mais quantité de matière différente de celle du dioxygène ($M(\mathrm{H_2O}) = 18{,}0$ g/mol, $n = 8{,}00/18{,}0 \approx 0{,}444$ mol), et pourtant : l'eau est liquide à $20\ °\mathrm{C}$, ses molécules sont au contact, la valeur du modèle gazeux ne convient pas. Son volume se calcule avec la masse volumique :

Appliquer la valeur gazeuse $24{,}0$ L/mol aurait donné $0{,}444 \times 24{,}0 \approx 10{,}7$ L — plus de mille fois trop. L'état physique de l'espèce est la première chose à lire dans un énoncé.

5. Dans l'autre sens : le ballon de dioxyde de carbone. Le volume donne la quantité de matière, puis la masse molaire donne la masse.

6. Contrôler encore. Le même ballon de $1{,}50$ L rempli de dioxygène contiendrait la même quantité de matière, $0{,}0625$ mol (loi d'Avogadro-Ampère), mais une masse de $0{,}0625 \times 32{,}0 = 2{,}00$ g. Même nombre de molécules, molécules plus légères : le volume molaire compte les entités, pas les grammes.

La figure compare trois gaz dans le modèle des gaz parfaits avec la donnée simplifiée fournie $V_m=24{,}0$ L/mol. Les conditions sont les mêmes pour les trois cubes : $20\ °\mathrm C$ et $1\,013$ hPa.

Les cubes représentent chacun une mole, soit environ $6{,}02\times10^{23}$ molécules. Les vingt-quatre symboles dessinés dans chaque cube sont un code de représentation, jamais un comptage réel de la mole. La même quantité de matière ne signifie pas la même masse : avec les masses molaires fournies, une mole de $\mathrm{H_2}$ pèse $2{,}0$ g, une mole de $\mathrm{O_2}$ $32{,}0$ g et une mole de $\mathrm{CO_2}$ $44{,}0$ g. Les balances sont des symboles qualitatifs, sans échelle proportionnelle d’angle.

Le bécher représente une mole d’eau liquide, environ $18$ mL avec la masse volumique choisie. Le rapport des volumes annoncés, $24{,}0$ L et $18$ mL, vaut environ $1\,333$ ; les dessins servent la comparaison, sans garantir une échelle géométrique commune. Le médaillon moléculaire est agrandi. Le liquide possède aussi un volume molaire, mais pas la valeur gazeuse de $24{,}0$ L/mol.

Le cube en pointillés compare une mole de gaz à pression inchangée avec une seconde donnée approchée, $22{,}4$ L à $0\ °\mathrm C$. Le changement de température modifie le volume du modèle ; il ne change pas le nombre de moles. Les deux valeurs arrondies ne sont pas des mesures exactes et ne décrivent pas une condensation.

En bas, $n=V/V_m$ et $V=nV_m$ rappellent que le volume molaire doit correspondre au matériau et aux conditions choisis, avec des unités de volume compatibles. Expliquez à voix haute pourquoi les trois cubes ont le même volume et des masses différentes, puis pourquoi la donnée gazeuse ne convient pas au bécher.