Rendement, masse brute et coût matière d’une portion

Un cuisinier achète des produits bruts : légumes avec leurs fanes et leur peau, viande avec ses os, poisson avec sa peau. Après les préparations préliminaires (épluchage, parage, désossage), il ne reste qu’une partie utilisable : la masse nette.

Dans ces exercices, le rendement d’un produit est le rapport

Le quotient est sans unité ; on peut l’exprimer en pourcentage. Ici, on étudie des préparations avec pertes, sans ajout de matière, avec un rendement strictement positif et au plus égal à 1. Un rendement de $80$ % signifie que $100$ g de produit brut donnent $80$ g de produit net.

Le programme demande de montrer que le coût matière d’une production dépend de trois éléments : le coût d’achat des produits (le programme cite la mercuriale parmi les notions), le rendement et le grammage servi.

Masse nette obtenue à partir d’une masse brute :

Masse brute à commander pour obtenir une masse nette :

Si le rendement est strictement inférieur à $1$, la masse brute est plus grande que la masse nette. À rendement $1$ (100 %), elles sont égales. Ce cadre ne décrit pas une préparation qui gagne de la masse par hydratation ou ajout d’ingrédients.

Coût matière d’une portion : on paie le kilogramme brut. Il faut donc d’abord trouver la masse brute qui donne la masse nette d’une portion, puis la multiplier par le prix du kilogramme brut :

Un produit plus élaboré peut être plus cher au kilogramme et avoir un meilleur rendement : les données permettent de comparer le coût matière. Pour choisir un procédé, il faut aussi considérer le travail, l’énergie, le stockage et la qualité ; le coût matière seul n’est pas le coût complet.

Énoncé (données fictives). Une cantine sert $40$ portions de $110$ g nets de betteraves. Deux offres :

• betteraves crues, $1{,}60$ € le kilogramme brut, rendement $80$ % ;
• betteraves cuites épluchées, $3{,}20$ € le kilogramme, prêtes à l’emploi (rendement $100$ %).

1. Masse nette totale : $40 \times 110 = 4\,400$ g, soit $4{,}4$ kg.
2. Masse brute de betteraves crues à commander : $\dfrac{4{,}4}{0{,}8} = 5{,}5$ kg.
3. Coût d’une portion, betteraves crues : $1{,}60 \times \dfrac{0{,}11}{0{,}8} = 0{,}22$ €.
4. Coût d’une portion, betteraves cuites épluchées : $3{,}20 \times 0{,}11 = 0{,}352$ €, soit environ $0{,}35$ €.

Ici, le produit brut reste moins cher par portion, mais il demande du temps de préparation : c’est l’arbitrage entre concepts de fabrication que le programme invite à étudier.

Représentez une barre pour $1$ kg de betteraves crues : $800$ g de produit net, $200$ g de pertes.

Le prix payé reste celui du brut : avec ce rendement de 80 %, chaque gramme net supporte donc un coût matière supérieur au prix d’un gramme brut.