Temps de génération et croissance bactérienne

Dans le modèle étudié, les bactéries se reproduisent par division binaire, aussi appelée reproduction par scissiparité : une cellule donne deux cellules.

La ressource d’accompagnement d’éduscol pour la série STHR en tire la définition utile en cuisine : le temps de génération est le temps nécessaire pour que la population de bactéries double. Dans la convention de cette ressource, le taux de croissance horaire désigne le nombre de générations par heure, $60/g$ si $g$ est en minutes ; ce n’est pas le nombre total de divisions de toutes les cellules.

Pendant la phase exponentielle de croissance, la population double à chaque temps de génération : après un temps de génération elle est multipliée par $2$, après deux par $4$, après trois par $8$… C’est une suite géométrique de raison $2$.

On suppose des conditions stables, un temps de génération $g>0$ constant et le maintien de la phase exponentielle sur toute la durée. $N_0>0$ et $N$ désignent ici des concentrations en bactéries par gramme, sur une même base de prélèvement. Au bout d’une durée $t$ (dans la même unité que $g$) :

À l’inverse, dans les dossiers construits avec un nombre entier de doublements, le quotient $\dfrac{N}{N_0}$ est une puissance entière de $2$ : son exposant est $n$, et $g = \dfrac{t}{n}$ si $n>0$. Plus généralement, l’extension exponentielle utilise $n=\log_2(N/N_0)$ ; ce nombre n’est pas forcément entier. Une population stable ne permet pas d’obtenir un temps de génération positif par cette inversion.

Cette loi ne se prolonge pas indéfiniment : latence, épuisement du milieu, mortalité et phase stationnaire la limitent. Un calcul fictif de croissance ne constitue pas à lui seul une prévision de salubrité d’un aliment.

Le programme cite les paramètres d’influence du développement des micro-organismes : la température, le pH, l’activité de l’eau (aW), la concentration de dioxygène et la concentration de nutriments. Le programme demande ensuite de relier ces paramètres aux procédés de conservation (réfrigération, congélation, pasteurisation…).

Population atteinte (données fictives, modèle exponentiel à conditions constantes). Une population de $300$ bactéries par gramme a un temps de génération de $35$ min. Combien de bactéries au bout de $3$ h $30$ min ?

1. Durée en minutes : $3$ h $30$ min $= 210$ min.
2. Nombre de générations : $\dfrac{210}{35} = 6$.
3. Population : $300 \times 2^{6} = 300 \times 64 = 19\,200$ bactéries par gramme.

Temps de génération (données fictives, même modèle à conditions constantes). En $2$ h, une population passe de $300$ à $4\,800$ bactéries par gramme.

1. Facteur : $\dfrac{4\,800}{300} = 16 = 2^{4}$ : quatre doublements.
2. Temps de génération : $\dfrac{120}{4} = 30$ min.

La première ligne avance de $1$ en $1$, la deuxième de $35$ en $35$ : ce sont des suites arithmétiques. La troisième est multipliée par $2$ à chaque colonne : c’est une suite géométrique. Sur un graphique ordinaire, la courbe se redresse de plus en plus vite.