Fonctions linéaires et affines : une droite, deux nombres

Une salle d'escalade propose : $18$ € d'abonnement par mois, plus $2{,}50$ € par séance. Combien paies-tu pour $x$ séances ?

Cette expression a la forme la plus utile de tout le collège :

Une fonction affine est une fonction du type $f(x) = ax + b$, où $a$ et $b$ sont deux nombres fixés. Si $b = 0$, c'est-à-dire $f(x) = ax$, on dit que la fonction est linéaire.

Les deux nombres $a$ et $b$ ont chacun un nom et un rôle très concret.

• $b$ est l'ordonnée à l'origine. C'est $f(0)$ : ce que l'on paie avant même de commencer. Ici $f(0) = 18$ : l'abonnement est dû même si tu ne viens jamais grimper.
• $a$ est le coefficient directeur. C'est ce que l'on paie en plus à chaque séance supplémentaire. Ici $a = 2{,}50$.

Le mécanisme central : le pas constant. Ajoute une séance, et le montant augmente de $2{,}50$ €. Ajoute-en une autre, il augmente encore de $2{,}50$ €. Toujours la même marche, quelle que soit la position de départ :

Ce calcul illustre la forme affine connue $ax+b$. Plus généralement, pour tous réels $x$ et $h$, on obtient $f(x+h)-f(x)=ah$. C’est cette relation pour tous les pas qui décrit une pente constante. La seule relation pour un pas de $1$ ne suffirait pas à prouver qu’une fonction quelconque est affine.

Plus généralement, si $x$ augmente de $\Delta x$, alors $f(x)$ varie de $a \times \Delta x$. Le coefficient directeur mesure une pente : de combien on monte quand on avance de $1$.

Retrouver $a$ et $b$ sur un graphique.

• $b$ se lit d'un coup d'œil : c'est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe vertical, celui des ordonnées.
• $a$ se lit avec un triangle de pente : on avance horizontalement d'une quantité $\Delta x$, on mesure de combien la droite monte, $\Delta y$, et on divise :

L'accroissement des images est au-dessus, celui des antécédents au-dessous. On choisit deux points d’abscisses différentes sur la droite représentant la fonction affine. Le quotient est alors toujours égal à $a$. Une droite verticale ne représente pas une fonction de $x$ et ce quotient n’y est pas défini.

Le signe de $a$ raconte le sens de variation.

Linéaire ou affine : le piège. Toutes les fonctions affines ont une droite pour représentation. Mais seules les fonctions linéaires ($b = 0$) traduisent une proportionnalité, et leur droite passe par l'origine du repère.

Vérifie-le sur l'exemple. Douze séances coûtent $f(12) = 30 + 18 = 48$ €. Vingt-quatre séances, le double, coûtent $f(24) = 60 + 18 = 78$ € — pas $96$ €. Doubler le nombre de séances ne double pas le prix, parce que l'abonnement, lui, n'est payé qu'une fois. Autre lecture : le prix d'une séance en moyenne vaut $48 \div 12 = 4$ € pour douze séances, mais $78 \div 24 = 3{,}25$ € pour vingt-quatre. Le quotient $f(x) \div x$ n'est pas constant : ce n'est pas une situation de proportionnalité.

Pour une fonction linéaire, au contraire, $f(x) = ax$ donne $f(x) \div x = a$ pour tout $x$ non nul : le quotient est constant, et c'est la définition même de la proportionnalité. Le coefficient directeur $a$ est alors le coefficient de proportionnalité.

Tracer la droite, à partir de son expression. C'est l'autre sens du travail, et il se demande au brevet. Deux points distincts suffisent à tracer cette droite ; choisis deux abscisses différentes.

• place d'abord le point $(0\,;\,b)$ : il se lit dans l'expression, sans aucun calcul ;
• choisis ensuite un second antécédent commode, par exemple $x = 4$, calcule $f(4)$ et place le point $(4\,;\,f(4))$ ;
• trace la droite qui passe par ces deux points, et prolonge-la des deux côtés.

Variante plus rapide quand $a$ est un entier : pars de $(0\,;\,b)$, avance de $1$ vers la droite et monte de $a$ (descends si $a$ est négatif) ; tu obtiens un second point sans calcul. Contrôle du tracé : reprends un triangle de pente sur la droite obtenue, le quotient $\Delta y \div \Delta x$ doit redonner $a$ ; et si $b = 0$, la droite doit passer exactement par l'origine.

Retrouver l’expression à partir de deux images. Si l’on sait déjà que $f$ est affine et si $x_1$ et $x_2$ sont différents, on calcule $a$ à partir de $f(x_1)$ et $f(x_2)$ par le quotient des accroissements, puis $b$ en reportant l’un des couples :

Deux images d’abscisses différentes déterminent une unique fonction affine. En revanche, connaître seulement deux images d’une fonction quelconque ne prouve pas qu’elle est affine.

Où les rencontres se produisent. Comparer deux tarifs, c'est chercher où deux droites se croisent, donc résoudre une équation du premier degré. C'est l'un des usages les plus fréquents au brevet.

Énoncé. La salle Verticale facture $18$ € d'abonnement mensuel, plus $2{,}50$ € par séance. La salle Bloc Libre ne prend pas d'abonnement, mais facture $5$ € la séance. On note $x$ le nombre de séances dans le mois.

1. Modéliser les deux tarifs.

$f$ est affine ($b = 18 \neq 0$) ; $g$ est linéaire ($b = 0$), donc le tarif de Bloc Libre est une situation de proportionnalité — pas celui de Verticale.

2. Identifier $a$ et $b$ pour $f$. Le coefficient directeur est $a = 2{,}50$ : c'est le prix d'une séance de plus, en euros par séance. L'ordonnée à l'origine est $b = 18$ : c'est $f(0)$, en euros, ce que l'on paie pour zéro séance.

3. Calculer un montant. Pour $12$ séances chez Verticale :

soit $48$ €.

4. Remonter d'un montant à un nombre de séances. Un mois, la facture de Verticale s'élève à $43$ €. On résout :

Il y a eu $10$ séances. Vérification : $2{,}50 \times 10 + 18 = 43$ €.

5. Comparer les deux salles. On cherche le nombre de séances pour lequel les deux factures sont égales :

6. Interpréter — et se méfier du nombre trouvé. Un nombre de séances est un entier : $7{,}2$ n'est pas une réponse, c'est une frontière. On teste de part et d'autre :

Conclusion : jusqu'à $7$ séances par mois, Bloc Libre est plus avantageuse ; à partir de $8$ séances, c'est Verticale. L'abonnement finit par être rentabilisé, parce que le prix par séance y est deux fois moindre.

7. Contrôle de vraisemblance. La droite de $g$ part de l'origine et monte plus vite ($5 > 2{,}50$) ; celle de $f$ part plus haut ($18 > 0$) mais monte plus doucement. Deux droites de pentes différentes se coupent en exactement un point : le résultat trouvé est cohérent.

Lire la figure (fig.math.affine-line-reading) : les deux expressions des tarifs sont prolongées par des droites dans un même repère. Les points des droites d’abscisse réelle, y compris non entière, constituent une extension mathématique ; seules les abscisses entières positives ou nulles représentent des nombres de séances possibles.

• Le repère. Axe horizontal gradué de $0$ à $16$ de $2$ en $2$, légende « nombre de séances $x$ ». Axe vertical gradué de $0$ à $80$ de $10$ en $10$, légende « montant payé, en euros ». Une grille légère en arrière-plan.
• Droite de $f$ (Verticale, $f(x) = 2{,}50x + 18$) : trait plein épais, tracée de $(0\,;\,18)$ à $(16\,;\,58)$. Le point $(0\,;\,18)$ est marqué d'un disque plein, avec l'étiquette « ordonnée à l'origine : $b = 18$ » et un trait de rappel jusqu'à la graduation $18$ de l'axe vertical.
• Droite de $g$ (Bloc Libre, $g(x) = 5x$) : trait tireté, tracée de $(0\,;\,0)$ à $(15\,;\,75)$. Elle passe par l'origine — une étiquette le souligne : « passe par l'origine : proportionnalité ».
• Le triangle de pente est dessiné sur la droite de $f$, entre les abscisses $8$ et $12$ : un segment horizontal de $(8\,;\,38)$ à $(12\,;\,38)$ coté $\Delta x = 4$, puis un segment vertical de $(12\,;\,38)$ à $(12\,;\,48)$ coté $\Delta y = 10$. À côté, le calcul $a = 10 \div 4 = 2{,}50$.
• Le point d'intersection $(7{,}2\,;\,36)$ est marqué d'un disque plein cerclé, avec ses coordonnées, et deux traits pointillés qui le projettent sur les deux axes. Une bande verticale légèrement grisée couvre les abscisses de $0$ à $7{,}2$ et porte la mention « Bloc Libre moins chère » ; la zone au-delà porte « Verticale moins chère ».

Ce qu'il faut lire. Les deux nombres $a$ et $b$ se voient directement : $b$ est la hauteur de départ de la droite, $a$ est son inclinaison. La droite tiretée part de plus bas mais monte plus vite ; elle finit donc par rattraper puis dépasser l'autre. Le point d'intersection n'est pas une réponse au problème, c'est la frontière entre deux réponses : c'est pour cela qu'il faut ensuite tester un entier de chaque côté.

La figure en détail : un repère dont l'axe horizontal donne le nombre de séances de 0 à 16 et l'axe vertical le montant payé en euros de 0 à 80. Une droite en trait plein part du point d'ordonnée 18 sur l'axe vertical et monte régulièrement ; un triangle de pente montre que lorsqu'on avance de 4 séances, le montant augmente de 10 euros, soit un coefficient directeur de 2,50. Une seconde droite, en tirets, part de l'origine et monte plus vite, avec un coefficient directeur de 5. Les deux droites se croisent au point d'abscisse 7,2 et d'ordonnée 36. À gauche de ce point la droite tiretée est en dessous, à droite elle est au-dessus.