La notion de fonction : image, antécédent, et le sens de la flèche

Un programme de calcul : « choisis un nombre, multiplie-le par $-3$, puis ajoute $7$ ». Si tu pars de $2$, tu obtiens $1$. Si tu pars de $-2$, tu obtiens $13$. Ce programme transforme chaque nombre en un autre nombre — c'est exactement ce qu'est une fonction.

Une fonction numérique, définie sur un ensemble donné, associe à chaque nombre de cet ensemble de définition un nombre et un seul.

On lui donne un nom, souvent $f$, et on écrit :

Cela se lit « $f$ de $x$ égale $-3x + 7$ ». Attention : $f(x)$ ne veut pas dire « $f$ multiplié par $x$ ». Les parenthèses annoncent ici le nombre que l'on fait entrer dans la machine.

Deux mots, et tout le chapitre est là.

• $x$ est la variable : le nombre qui entre.
• $f(x)$ est l'image de $x$ par $f$ : le nombre qui sort.
• Si $f(2) = 1$, on dit que $1$ est l'image de $2$, et que $2$ est un antécédent de $1$.

La flèche a un sens : antécédent $\longrightarrow$ image. L'antécédent est le nombre de départ, l'image est le résultat.

Le mécanisme qui compte : l'asymétrie. La définition impose que chaque nombre du domaine de départ ait une seule image — sinon la machine ne saurait pas quoi répondre. Mais elle n'impose rien dans l'autre sens : un même résultat peut sortir de plusieurs nombres de départ, ou d'aucun. C'est pour cela que l'on dit « l'image de $2$ » (elle est unique) mais « un antécédent de $1$ » (il peut y en avoir plusieurs).

Trois façons de présenter la même fonction : une formule, un tableau de valeurs, une courbe. Ce sont trois vêtements du même objet, et savoir passer de l'un à l'autre est tout l'enjeu de la 3e.

Sur une courbe, deux lectures opposées. Dans un repère, la courbe d'une fonction $f$ est l'ensemble des points de coordonnées $(x\,;\,f(x))$ : l'abscisse porte l'antécédent, l'ordonnée porte l'image.

• Chercher une image (on connaît $x$, on veut $f(x)$) : on part de $x$ sur l'axe horizontal, on monte (ou on descend) verticalement jusqu'à la courbe, puis on part horizontalement vers l'axe vertical. On lit la réponse sur l'axe des ordonnées.
• Chercher un antécédent (on connaît $f(x)$, on veut $x$) : on part de la valeur sur l'axe vertical, on va horizontalement jusqu'à la courbe, puis on descend (ou on monte) verticalement. On lit la réponse sur l'axe des abscisses.

Même trajet, parcouru dans l'ordre inverse. Si tu lis ta réponse sur le mauvais axe, tu as répondu à l'autre question.

Le test de la droite verticale. Une courbe représente-t-elle une fonction ? Trace mentalement une droite verticale et fais-la glisser. Si elle coupe la courbe en deux points à un endroit, c'est qu'un nombre aurait deux images : ce n'est pas la courbe d'une fonction. Un cercle, par exemple, n'est la courbe d'aucune fonction.

Combien d'antécédents ? Autant que la droite horizontale coupe la courbe. Zéro, un, deux, une infinité : tout est possible. Exemple : la fonction $g$ définie par $g(x) = x^{2}$ donne $g(3) = 9$ et $g(-3) = 9$. Le nombre $9$ a donc deux antécédents ; le nombre $-4$ n'en a aucun, puisqu'un carré n'est jamais négatif.

Résoudre une équation, c'est chercher des antécédents. Écrire $f(x) = 5$, c'est demander : quels nombres ont $5$ pour image ? Réciproquement, calculer une image ne demande aucune équation : on remplace, on calcule.

Le tableau de valeurs peut n’être qu’un échantillon. S’il présente seulement certaines valeurs du domaine, il ne décrit pas les autres. Un tableau peut toutefois être complet pour un domaine fini explicitement donné. Pour un domaine contenant des valeurs intermédiaires non listées, les colonnes seules ne suffisent pas à les déterminer : une règle supplémentaire ou une représentation adaptée est nécessaire.

L'ensemble de définition. Toutes les valeurs de $x$ ne sont pas toujours autorisées. Si $x$ est la longueur d'un côté, elle doit être positive ; si $x$ apparaît au dénominateur, elle ne peut pas annuler ce dénominateur. En 3e, l'énoncé précise en général les valeurs permises ; la question sera reprise plus systématiquement au lycée.

Partie A — la fonction $f$ définie par $f(x) = -3x + 7$.

1. Calculer l'image de $-2$. On remplace $x$ par $-2$ dans la formule, en respectant les priorités (la multiplication avant l'addition) :

L'image de $-2$ par $f$ est $13$. Noter le signe : $-3 \times (-2)$ vaut $+6$.

2. Déterminer l'antécédent de $1$. On cherche le nombre de départ, donc on résout l'équation $f(x) = 1$ :

L'antécédent de $1$ par $f$ est $2$. Vérification : $f(2) = -3 \times 2 + 7 = -6 + 7 = 1$. C'est bien cela.

Remarque de vocabulaire : on a calculé l'image sans équation (on remplace) et l'antécédent avec une équation (on remonte le calcul). C'est la différence de nature entre les deux questions.

Partie B — un rectangle de périmètre $20$ cm.

Un rectangle non dégénéré a un périmètre de $20$ cm. On note $x$ la longueur, en centimètres, de l’un de ses côtés ; le domaine est $0 < x < 10$, pour que les deux côtés soient strictement positifs.

1. Exprimer l'autre côté. Le périmètre vaut $2 \times (\text{longueur} + \text{largeur}) = 20$, donc longueur $+$ largeur $= 10$. Si un côté mesure $x$, l'autre mesure $10 - x$.

2. Exprimer l'aire. On note $A$ la fonction qui, à $x$, associe l'aire du rectangle en centimètres carrés :

3. Calculer une image. $A(3) = 3 \times (10 - 3) = 3 \times 7 = 21$. Un rectangle de côtés $3$ cm et $7$ cm a bien une aire de $21\ \text{cm}^{2}$ et un périmètre de $2 \times 10 = 20$ cm.

4. Chercher les antécédents de $21$. On dresse un tableau de valeurs :

Le tableau établit au moins deux antécédents de $21$, $3$ et $7$. Pour prouver qu’il n’y en a pas d’autres dans le domaine, utilisons la formule : $A(x)=21$ équivaut à $x(10-x)=21$, puis à $(x-3)(x-7)=0$. Un produit est nul si l’un de ses facteurs est nul : les seules solutions sont $3$ et $7$, qui appartiennent au domaine. Les rectangles $3 \times 7$ et $7 \times 3$ ont les mêmes dimensions échangées.

5. Prouver le maximum au-delà du tableau. La formule se réécrit $A(x)=25-(x-5)^{2}$. Un carré est positif ou nul, donc $A(x) \leq 25$ pour tout $x$ du domaine. L’égalité exige $x=5$, valeur autorisée : le maximum est $25\ \text{cm}^{2}$ et correspond au carré de côté $5$ cm. Ainsi $30$ n’a aucun antécédent. Le tableau suggérait ce résultat, mais ne pouvait pas à lui seul exclure une valeur plus élevée entre deux colonnes.

6. Ensemble de définition. $x$ est une longueur, donc $x > 0$ ; et $10 - x$ aussi doit être une longueur, donc $x < 10$. La fonction $A$ n'a de sens ici que pour $x$ compris strictement entre $0$ et $10$ : avec $x = 0$ ou $x = 10$, un des deux côtés serait nul, et un côté nul ne fait pas un rectangle.

Lire la figure (fig.math.function-machine) : deux panneaux côte à côte, l'un pour le mécanisme, l'autre pour la lecture graphique.

• Panneau de gauche — la machine. Un rectangle arrondi étiqueté $f$, avec à l'intérieur, sur deux lignes, le programme de calcul : « $\times (-3)$ » puis « $+\ 7$ ». Une flèche horizontale entre par la gauche, portant l'étiquette « antécédent » et le nombre $2$ ; une flèche sort par la droite, portant l'étiquette « image » et le nombre $1$. Sous la machine, une seconde entrée et sa sortie en plus pâle : $-2 \longrightarrow 13$. Au-dessus de la flèche d'entrée, la mention « ce qui entre » ; au-dessus de la flèche de sortie, « ce qui sort ».
• Panneau de droite — la courbe de l'aire. Un repère avec l'axe des abscisses gradué de $0$ à $10$ (légende « $x$, côté en cm ») et l'axe des ordonnées gradué de $0$ à $26$ (légende « $A(x)$, aire en cm² »). La courbe est une arche passant par les points $(1\,;\,9)$, $(3\,;\,21)$, $(5\,;\,25)$, $(7\,;\,21)$ et $(9\,;\,9)$, symétrique par rapport à la droite verticale passant par le point d'abscisse $5$. Ses deux extrémités, en $(0\,;\,0)$ et $(10\,;\,0)$, sont marquées par des cercles évidés : ces deux valeurs sont exclues. Une mention le rappelle juste sous l'axe : « $0 < x < 10$ : un côté nul ne fait pas un rectangle ».
• La lecture d'une image est tracée en trait pointillé fin : de $x = 3$ sur l'axe horizontal, on monte jusqu'à la courbe, puis on part vers la gauche jusqu'à $21$ sur l'axe vertical. Deux petites flèches donnent le sens du parcours.
• La lecture des antécédents est tracée en trait tireté épais : de $21$ sur l'axe vertical, on va vers la droite ; la droite horizontale coupe la courbe en deux points, et de chacun on redescend, vers $x = 3$ et vers $x = 7$. Les deux points d'intersection sont marqués par un disque plein.
• En bas du panneau, une phrase encadrée : « une droite verticale ne coupe la courbe qu'une fois : chaque $x$ a une seule image. Une droite horizontale peut la couper deux fois : $21$ a deux antécédents. »

Ce qu'il faut lire. Les deux tracés partent d'axes différents et se lisent sur des axes différents : c'est la traduction géométrique exacte de la différence entre image et antécédent. Le sommet de l'arche, à $(5\,;\,25)$, est le seul point où la droite horizontale ne coupe la courbe qu'une fois — c'est le carré, le seul rectangle de périmètre $20$ cm à réaliser son aire maximale.

La figure en détail : à gauche, un schéma de machine étiquetée f, contenant le programme multiplier par moins 3 puis ajouter 7 ; le nombre 2 entre à gauche sous le mot antécédent, le nombre 1 sort à droite sous le mot image. À droite, un repère où l'axe horizontal donne le côté x en centimètres de 0 à 10 et l'axe vertical l'aire en centimètres carrés de 0 à 26. Une courbe en forme d'arche monte jusqu'au point de coordonnées 5 et 25, puis redescend ; ses deux extrémités, aux points 0 et 0 puis 10 et 0, sont marquées par des cercles évidés, parce que ces deux valeurs sont exclues — un côté nul ne fait pas un rectangle. Sous l'axe figure la mention 0 strictement inférieur à x strictement inférieur à 10. Un tracé pointillé part de 3 sur l'axe horizontal, monte jusqu'à la courbe et rejoint 21 sur l'axe vertical. Un tracé tireté part de 21 sur l'axe vertical et coupe la courbe en deux points, d'abscisses 3 et 7.