Le théorème de Thalès : quand deux triangles se ressemblent

Prends un triangle $ABC$ non aplati. Pour commencer par une réduction, place $M$ strictement entre $A$ et $B$, et $N$ strictement entre $A$ et $C$, de telle sorte que $(MN)$ soit parallèle à $(BC)$.

Que se passe-t-il alors ? Le petit triangle $AMN$ a exactement la même forme que le grand triangle $ABC$ : mêmes angles, seule la taille change. C'est une réduction du grand — ou, dans l'autre sens, le grand est un agrandissement du petit.

Théorème de Thalès. Deux droites distinctes se coupent en $A$. Sur la première, on place $B$ et $M$, tous deux différents de $A$ ; sur la seconde, $C$ et $N$, tous deux différents de $A$. Si les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, alors les trois rapports suivants sont égaux.

Ces trois quotients sont égaux à un même nombre, que l'on appelle le coefficient de réduction (ou d'agrandissement) et que l'on note souvent $k$. Les longueurs de $AMN$ s’obtiennent en multipliant les longueurs correspondantes de $ABC$ par $k>0$. Il y a réduction si $k<1$, agrandissement si $k>1$, et mêmes dimensions si $k=1$ ; un papillon ne garantit pas que $AMN$ est le plus petit.

Le mécanisme. Ce n'est pas une coïncidence de dessin. Les deux droites qui se coupent en $A$ s'appellent les sécantes : ce sont elles qui portent $M$ et $B$ d'un côté, $N$ et $C$ de l'autre. Le parallélisme force alors les angles à se conserver. Dans la configuration où $M$ est entre $A$ et $B$, l'angle en $A$ est commun aux deux triangles, et les angles en $M$ et en $B$ sont correspondants pour les droites parallèles $(MN)$ et $(BC)$ coupées par la sécante $(AB)$ : deux angles correspondants entre parallèles sont égaux, tu l'as vu en 5e. Même chose en $N$ et en $C$. (Dans l'autre configuration, celle du papillon, les angles en $A$ ne sont pas confondus mais opposés par le sommet, donc égaux eux aussi ; et les angles en $M$ et en $B$ sont alternes-internes — de part et d'autre de la sécante, entre les deux parallèles — donc égaux également. La conclusion ne change pas.) Trois angles identiques : les deux triangles ont la même forme, et une seule taille les sépare. Ce facteur d'échelle unique, c'est $k$, et il est le même pour les trois côtés. Voilà pourquoi on écrit trois rapports et pourquoi ils sont tous égaux.

Deux triangles qui ont les mêmes angles portent d'ailleurs un nom : on dit qu'ils sont semblables, et leurs côtés sont alors proportionnels deux à deux. Le théorème de Thalès en est le cas particulier où les deux triangles ont un sommet commun et des côtés parallèles.

Deux dessins pour un seul théorème. Voici les deux configurations travaillées ici ; le théorème couvre aussi un agrandissement avec $M$ au-delà de $B$ et $N$ au-delà de $C$ sur les mêmes demi-droites :

• la configuration « triangle » (ou « en entonnoir ») : $M$ est entre $A$ et $B$, $N$ est entre $A$ et $C$. Le petit triangle est emboîté dans le grand ;
• la configuration « papillon » : $A$ est entre $M$ et $B$, et aussi entre $N$ et $C$. Les deux triangles sont alors de part et d'autre de $A$, pointe contre pointe, comme deux ailes.

Le théorème et ses trois rapports sont identiques dans les deux cas. Seul le dessin change.

Écrire les trois rapports sans se tromper. La méthode sûre : lis les deux triangles dans le même ordre de sommets, $AMN$ au-dessus, $ABC$ au-dessous, sans présumer lequel est le plus grand.

$M$ correspond à $B$, $N$ correspond à $C$, $A$ correspond à $A$. Une fois cette correspondance posée, chaque rapport s'écrit tout seul. Les deux premiers rapports vivent sur les sécantes ; le troisième, $MN/BC$, est le seul qui fasse intervenir les segments parallèles — c'est celui qu'on oublie le plus souvent, alors que c'est souvent celui dont on a besoin.

Un rapport est un nombre sans unité. $AM/AB$ compare deux longueurs ; si elles sont exprimées dans la même unité, le résultat n'a pas d'unité. Pour diviser les valeurs numériques seules, exprime d’abord les longueurs dans la même unité. Un quotient de grandeurs comme $3\,\text{cm}/60\,\text{mm}$ reste valable si tu conserves et convertis les unités : il vaut $0{,}5$, et non $3/60$.

Le produit en croix. Une fois l'égalité de deux rapports écrite, on isole l'inconnue :

Choisis l'égalité qui contient les trois longueurs connues et l'inconnue, et pas une autre : sinon tu obtiens une équation à deux inconnues.

La réciproque : celle qui démontre le parallélisme. Le théorème direct part du parallélisme. Il ne peut donc jamais servir à le prouver — ce serait un raisonnement circulaire. C'est la réciproque qui fait ce travail.

Réciproque du théorème de Thalès. Dans la configuration de deux sécantes distinctes définie plus haut, si les points $A$, $M$, $B$ d’une part et $A$, $N$, $C$ d’autre part sont alignés dans le même ordre, et si les deux rapports ci-dessous sont égaux, alors les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

La condition « dans le même ordre » est indispensable : elle interdit qu'un point soit du bon côté de $A$ et l'autre du mauvais, cas dans lequel les rapports pourraient être égaux sans aucun parallélisme.

La contraposée : celle qui démontre le non-parallélisme. Sous les hypothèses d’alignement sur les deux sécantes distinctes, avec les points différents de $A$, si les deux rapports ne sont pas égaux, alors les droites ne sont pas parallèles. C'est immédiat : si elles l'étaient, le théorème direct imposerait l'égalité. Cette version est celle que l'on utilise le plus souvent en exercice, pour répondre « non » proprement.

Agrandissement et réduction : l'effet sur les aires. Si les longueurs sont multipliées par $k$, les aires sont multipliées par $k^{2}$ et les volumes par $k^{3}$. Avec $k = 0{,}6$, le petit triangle a des côtés valant $60\ \%$ de ceux du grand, mais une aire valant seulement $0{,}6^{2} = 0{,}36$, soit $36\ \%$. C'est contre-intuitif et c'est très souvent demandé.

Un repère de lecture. Les Éléments d’Euclide, livre VI, proposition 2, présentent une parallèle à un côté d’un triangle et la proportionnalité des segments correspondants. Le raisonnement géométrique permet de comprendre le résultat au-delà de son nom.

Énoncé. Dans un triangle $ABC$, $M$ est un point du côté $[AB]$ et $N$ un point du côté $[AC]$, tels que la droite $(MN)$ est parallèle à la droite $(BC)$. On donne $AM = 3{,}6$ cm, $AB = 6{,}0$ cm et $BC = 8{,}5$ cm. Calculer $MN$.

1. Vérifier les hypothèses avant tout. Le théorème de Thalès exige deux choses, et les deux sont dans l'énoncé : $M$ appartient à $(AB)$ et $N$ appartient à $(AC)$, les deux droites se coupant en $A$ ; et $(MN)$ est parallèle à $(BC)$. Sans cette seconde phrase, rien de ce qui suit ne serait permis.

2. Écrire les trois rapports, en lisant $AMN$ au-dessus et $ABC$ au-dessous :

3. Choisir la bonne égalité. L'inconnue est $MN$, et les longueurs connues sont $AM$, $AB$ et $BC$. Le rapport $AN/AC$ ne contient que des inconnues : on l'écarte. Il reste

4. Calculer d'abord le coefficient de réduction.

Ce nombre est sans unité : les deux longueurs étaient en centimètres, elles se sont simplifiées. Le triangle $AMN$ est donc une réduction de $ABC$ au coefficient $0{,}6$.

5. En déduire $MN$, par produit en croix :

Donc $MN = 5{,}1$ cm — sans oublier l'unité, qui est celle des longueurs de l'énoncé.

6. Contrôler la vraisemblance. $AMN$ est une réduction de $ABC$, donc $MN$ doit être plus petit que $BC$ : $5{,}1 < 8{,}5$, c'est cohérent. Autre contrôle : $5{,}1 = 0{,}6 \times 8{,}5$, on retrouve bien le coefficient.

7. Une question de plus : et l'aire ? Si l'aire du triangle $ABC$ vaut $22$ cm², celle de $AMN$ vaut

Le petit triangle a des côtés valant $60\ \%$ de ceux du grand, mais une aire ne valant que $36\ \%$ de la sienne.

8. Et en configuration papillon ? Rien ne change dans les rapports. Autre situation, pour s'en convaincre : les points $M$, $A$, $B$ sont alignés dans cet ordre, les points $N$, $A$, $C$ aussi, et $(MN)$ est parallèle à $(BC)$. On donne $AM = 3{,}0$ cm, $AB = 7{,}5$ cm et $AC = 10{,}0$ cm. Alors

9. Et pour prouver un parallélisme ? On change de théorème. Dans un nouveau dossier, les alignements $M,A,B$ et $N,A,C$ dans cet ordre sont donnés, mais aucun parallélisme n’est établi. Si l’on mesure $AM = 3{,}0$ cm, $AB = 7{,}5$ cm, $AN = 4{,}4$ cm et $AC = 10{,}0$ cm, on calcule les deux rapports séparément :

Ils ne sont pas égaux. Or, si $(MN)$ était parallèle à $(BC)$, le théorème de Thalès imposerait leur égalité. Donc $(MN)$ n'est pas parallèle à $(BC)$.

Lire la figure (fig.math.thales-configurations) : les deux dessins du théorème, alignés horizontalement et légendés de la même façon, pour que la comparaison saute aux yeux.

• Panneau de gauche — configuration « triangle », titrée ainsi. Le point $A$ est en haut. Deux demi-droites partent de $A$ vers le bas, l'une vers la gauche jusqu'à $B$, l'autre vers la droite jusqu'à $C$. Le segment $[BC]$ ferme le grand triangle. Sur $[AB]$, le point $M$ est placé aux six dixièmes du trajet depuis $A$ ; sur $[AC]$, le point $N$ à la même proportion. Le segment $[MN]$ est tracé en trait épais, $[BC]$ également ; deux chevrons identiques sont posés au milieu de chacun pour marquer le parallélisme — le codage habituel, indépendant de la couleur. Les longueurs de l'exemple sont cotées : $AM = 3{,}6$ cm et $MB = 2{,}4$ cm le long de $[AB]$, avec une accolade extérieure indiquant $AB = 6{,}0$ cm ; $BC = 8{,}5$ cm sous le segment ; $MN = ?$ sur le segment intérieur.
• Panneau de droite — configuration « papillon », titrée ainsi. Le point $A$ est au centre. Deux droites se croisent en $A$ : sur la première, $M$ en haut à gauche et $B$ en bas à droite ; sur la seconde, $N$ en haut à droite et $C$ en bas à gauche. On obtient deux triangles opposés par le sommet $A$ : $AMN$ en haut, $ABC$ en bas. Les segments $[MN]$ et $[BC]$ portent les mêmes chevrons de parallélisme. Les longueurs $AM = 3{,}0$ cm, $AB = 7{,}5$ cm, $AC = 10{,}0$ cm sont cotées, et $AN = ?$.
• Sous les deux panneaux, une bande commune encadrée porte, en grand, l'unique égalité valable des deux côtés :

avec la mention « la même égalité dans les deux configurations ».

• Un encart d'avertissement en bas à droite montre un contre-exemple : la même figure « triangle », mais sans les chevrons, et avec la mention barrée « sans parallélisme, pas de Thalès ». Le segment intérieur y est tracé en pointillés fins pour bien le distinguer.

Ce qu'il faut lire. Les deux dessins n'ont rien à voir visuellement, et pourtant l'égalité écrite en bas est la même. Ce qui compte n'est pas la place des points, c'est la correspondance $M \leftrightarrow B$, $N \leftrightarrow C$. Repère aussi, à gauche, que $AM$ et $MB$ sont deux morceaux différents de $AB$ : dans le rapport, c'est la longueur totale $AB$ qui doit figurer, pas le morceau $MB$. À droite, au contraire, $AM$ n'est pas un morceau de $AB$ : les deux segments sont de part et d'autre de $A$.

La figure en détail : deux figures côte à côte. À gauche, un triangle ABC de sommet A en haut ; un point M sur le côté AB et un point N sur le côté AC déterminent un segment MN parallèle à BC, marqué par des chevrons identiques sur les deux segments ; les longueurs indiquées sont AM égale 3,6 centimètres, MB égale 2,4 centimètres, AB égale 6,0 centimètres, BC égale 8,5 centimètres, et MN est l'inconnue. À droite, deux droites se croisent au point A ; sur l'une, M et B sont de part et d'autre de A ; sur l'autre, N et C sont de part et d'autre de A ; les segments MN et BC, également marqués par des chevrons, forment deux triangles opposés par le sommet ; les longueurs indiquées sont AM égale 3,0 centimètres, AB égale 7,5 centimètres, AC égale 10,0 centimètres, et AN est l'inconnue. Sous les deux figures, une bande unique porte l'égalité AM sur AB égale AN sur AC égale MN sur BC.