Mais à quoi ça sert… le théorème de Thalès ?
Comment estimer la hauteur d’un objet en restant au sol ?
Mathématiques · 3 min de lecture · Par ESPRIT VIF
Thalès permet de retrouver une longueur grâce à des rapports égaux dans une configuration de droites parallèles. Il faut identifier les alignements et les côtés correspondants. Dans les situations suivantes, les chiffres sont fictifs. Commencer par un croquis : marquer les points, les parallèles et les longueurs connues avant de calculer.
Estimer une hauteur grâce aux ombres
Un poteau vertical projette une ombre de 4,8 m. Au même instant, une tige verticale de 1,5 m projette une ombre de 1,2 m sur le même sol plat et horizontal. Les rayons du Soleil sont considérés comme parallèles.
- Les deux triangles hauteur–ombre ont des côtés verticaux parallèles et des directions d’éclairage identiques : leurs longueurs correspondantes sont proportionnelles.
- L’ombre du poteau est quatre fois celle de la tige : 4,8 ÷ 1,2 = 4.
- Sa hauteur est donc quatre fois 1,5 m, soit 6 m.
Ce que l’on trouveLa hauteur estimée du poteau est 6 m.
Une pente, une tige inclinée ou des mesures prises à des heures différentes invalident ce modèle simple. Les mesures restent approximatives.
Prévoir la largeur d’un motif triangulaire
Sur une affiche, un triangle OAB possède une base AB de 18 cm. On place M sur OA et N sur OB, avec MN parallèle à AB et OM égal aux deux tiers de OA.
- Les triangles OMN et OAB partagent leur sommet O ; leurs bases sont parallèles.
- Le rapport de réduction des longueurs est OM/OA = 2/3.
- Appliquer ce même rapport à la base : MN = 18 × 2/3 = 12 cm.
Ce que l’on trouveLa bande parallèle traverse le motif sur une largeur de 12 cm.
Une bande inclinée ne permettrait pas de conserver ce rapport. Les aires, elles, ne sont pas multipliées par le même facteur que les longueurs.
Partager une longueur sans divisions décimales
On partage un segment AB de 11 cm en cinq parts égales. Sur une demi-droite issue de A, non confondue avec la droite (AB), marquer cinq intervalles égaux jusqu’au point C.
- Relier C à B. Par les quatre repères intermédiaires, tracer les parallèles à CB.
- Thalès conserve les rapports depuis A : les intersections sur AB se trouvent aux fractions 1/5, 2/5, 3/5 et 4/5 de sa longueur.
- Chaque part mesure donc 11 ÷ 5 = 2,2 cm.
Ce que l’on trouveLa construction explique pourquoi les cinq parts sont égales.
Le résultat pratique dépend de la précision des parallèles et des reports. Le théorème justifie la construction idéale.
Une idée à retenir
L’intérêt de Thalès dépasse la mesure d’ombres : il permet de transférer une information entre deux figures reliées. Ce raisonnement ne sert pas dans toutes les situations quotidiennes, mais il développe un réflexe précieux : chercher ce qui reste proportionnel, et surtout vérifier pourquoi cela le reste.
Le petit défi
Dans un triangle OAB, M appartient à OA et N à OB. MN est parallèle à AB, OM = 3 cm, OA = 9 cm et AB = 15 cm. Combien vaut MN ?
Découvrir la réponse expliquée
Le rapport OM/OA vaut 3/9 = 1/3. La longueur correspondante MN vaut donc 15 ÷ 3 = 5 cm.
Passer à la pratique
Le cours explique la méthode. Les exercices permettent de la mettre à l’épreuve.
Théorème de Thalès
Pour aller plus loin
Les situations chiffrées sont des exemples pédagogiques. Ces références permettent d’approfondir les notions utilisées.