Écart et rapport interquantiles

Cadre. On compare la même variable, population et période. Les déciles sont des seuils, pas des moyennes. Les présentations en groupes égaux supposent un classement ; avec des ex æquo ou des données discrètes, elles ne garantissent pas exactement 10 % strictement sous chaque seuil. La convention du document doit être respectée.

Rangeons les individus d’une population par niveau de vie croissant. Des quantiles sont les valeurs qui découpent cette liste en groupes d’effectifs égaux.

• La médiane partage la population en deux moitiés : au moins la moitié des observations sont inférieures ou égales au seuil médian et au moins la moitié supérieures ou égales ; les égalités comptent.
• Les déciles la partagent en dix groupes de même effectif. Selon l’INSEE, le premier décile D1 est la valeur sous laquelle se situent $10$ % des observations ; le neuvième décile D9, celle sous laquelle se situent $90$ % des observations. La médiane est le cinquième décile.

Ainsi, D1 est le niveau de vie plafond des $10$ % les plus modestes, et D9 le niveau de vie plancher des $10$ % les plus aisés. Ce sont des valeurs, pas des groupes : le « premier décile » n’est pas « les $10$ % les plus pauvres ».

Pour mesurer la dispersion entre le haut et le bas de la distribution, on compare D9 et D1 de deux façons : par leur écart $D9 - D1$, ou par leur rapport $\dfrac{D9}{D1}$.

L’écart interdécile $D9 - D1$ est une différence, en euros. Il dit de combien d’euros le plancher des plus aisés dépasse le plafond des plus modestes.

Le rapport interdécile $\dfrac{D9}{D1}$ est un quotient, sans unité. Le rapport exige D1 non nul ; son interprétation usuelle de dispersion relative suppose ici D1 strictement positif. Un rapport de $3{,}2$ se lit : « le niveau de vie plancher des $10$ % les plus aisés est égal à $3{,}2$ fois le niveau de vie plafond des $10$ % les plus modestes ». L’INSEE présente ces rapports comme des mesures qui mettent en évidence les écarts entre les plus riches et les plus pauvres.

Pourquoi les deux peuvent diverger. Si tous les niveaux de vie doublent, l’écart double, mais le rapport ne change pas : la dispersion relative est la même. Un pays plus riche peut donc avoir un écart plus grand en euros et un rapport plus faible. Pour comparer entre pays ou dates, il faut d’abord vérifier variable, champ et conventions ; les écarts monétaires exigent aussi une unité et des prix comparables. Le rapport renseigne une dispersion relative ; l’écart reste utile pour dire une distance en euros.

Ce que ces mesures ignorent. Elles ne regardent que deux points de la distribution : elles ne disent rien de ce qui se passe sous D1 (les plus modestes entre eux) ni au-dessus de D9 (par exemple les très hauts revenus).

Transformation fictive d’une distribution. Dans un premier dossier, D1 vaut 200 unités monétaires et D9 vaut 600. On ajoute ensuite 100 à chacune des observations, sans changer leur classement : les deux seuils deviennent 300 et 700.

• Avant : écart $600-200=400$ ; rapport $600/200=3$.
• Après : écart $700-300=400$ ; rapport $700/300=7/3\approx2{,}33$.

Lecture. Le même écart absolu accompagne ici une dispersion relative plus faible. À l’inverse, multiplier tous les niveaux par deux doublerait l’écart et conserverait le rapport. Ces transformations expliquent pourquoi il faut nommer l’indicateur.

Attention aux égalités. Si dix observations valent toutes 100, médiane et déciles valent 100, mais aucune observation n’est strictement inférieure à 100. La présentation « dix groupes égaux » ne doit pas devenir un comptage strictement sous le seuil en présence d’ex æquo.

Limite. Avec D1 nul, D9/D1 n’est pas défini. Même défini, ce rapport ne décrit pas l’ensemble des inégalités au sein de chaque groupe.

Tracez un axe des niveaux de vie, de $0$ à $45\,000$ €. Pour chaque pays, marquez D1 et D9 et reliez-les par un segment.

Le segment du pays B est plus long, mais il commence plus loin de zéro : rapporté à son point de départ, il « s’étire » moins. La longueur du segment est l’écart ; le nombre de fois que D1 tient dans D9 est le rapport.