Moyenne simple et moyenne pondérée

La moyenne arithmétique simple de $n$ valeurs est leur somme divisée par $n$ : chaque valeur compte une fois. La moyenne de $12$, $15$ et $18$ est $\dfrac{12 + 15 + 18}{3} = 15$.

Souvent, les valeurs ne pèsent pas autant les unes que les autres. Une entreprise fictive connaît le salaire moyen de chacun de ses trois groupes de salariés, mais les groupes n’ont pas le même effectif. Le salaire moyen de l’ensemble doit donner plus de poids au groupe le plus nombreux : on calcule une moyenne pondérée.

Chaque valeur $x_i$ est multipliée par son poids $n_i$ (un effectif, une part, un coefficient), puis on divise par la somme des poids. La moyenne simple est le cas particulier où tous les poids sont égaux.

La moyenne pondérée se rapproche des valeurs des groupes les plus nombreux. Quand les valeurs les plus élevées appartiennent aux groupes les moins nombreux, et les plus faibles aux plus nombreux, la moyenne pondérée est plus basse que la moyenne simple des moyennes de groupes ; dans le cas inverse, elle est plus haute. Avec trois groupes ou plus, il faut regarder tous les poids : si le groupe intermédiaire est très nombreux, c’est vers sa valeur que la moyenne pondérée est tirée. Elle reste toujours comprise entre la plus petite et la plus grande moyenne de groupe.

Des poids en parts. On peut pondérer par des parts au lieu d’effectifs : si $50$ % des salariés gagnent en moyenne $1\,850$ €, $33{,}3$ % gagnent $2\,100$ € et $16{,}7$ % gagnent $3\,900$ €, on multiplie chaque salaire par sa part et l’on divise par la somme des parts (soit $100$ %). Le résultat est le même qu’avec les effectifs, aux arrondis près.

Moyenne de moyennes, moyenne de taux. Faire la moyenne simple de moyennes ou de taux calculés sur des ensembles de tailles différentes est une erreur courante : on obtient un nombre qui ne décrit aucune population réelle.

Ce qu’une moyenne cache. Une moyenne résume une distribution par un seul nombre. Elle est sensible aux valeurs extrêmes et ne dit rien de la dispersion : deux groupes de même moyenne peuvent être très différents.

Énoncé (données fictives).

Calculer le salaire mensuel net moyen de l’ensemble des salariés.

1) La somme pondérée. $120 \times 1\,850 + 80 \times 2\,100 + 40 \times 3\,900 = 222\,000 + 168\,000 + 156\,000 = 546\,000$ €. C’est la masse salariale mensuelle nette.

2) L’effectif total. $120 + 80 + 40 = 240$ salariés.

3) La moyenne. $\dfrac{546\,000}{240} = 2\,275$ €.

Contrôle. La moyenne simple des trois salaires, $\dfrac{1\,850 + 2\,100 + 3\,900}{3} \approx 2\,616{,}7$ €, est trop haute : elle donne aux $40$ cadres le même poids qu’aux $120$ ouvriers.

Représentez chaque groupe par un rectangle dont la largeur est l’effectif et la hauteur le salaire moyen. L’aire de chaque rectangle est la masse salariale du groupe.

La moyenne pondérée est la hauteur d’un rectangle unique de largeur $240$ et de même aire totale. Le rectangle des cadres est haut mais étroit : il tire peu la moyenne vers le haut.