Le taux de variation cumulé

Cadre. La même grandeur, unité et définition sont conservées entre les dates. On part d’une valeur positive ; les taux successifs et réciproques usuels supposent des bases non nulles. Les taux sont donnés et restent fixés lorsqu’on compare des ordres d’application ; une règle dépendant de la date ou du niveau demanderait une autre analyse.

Une grandeur évolue souvent en plusieurs étapes : $+12$ % une année, $-8$ % la suivante, $+5$ % la troisième. Le taux de variation cumulé mesure l’évolution globale entre la première et la dernière date.

Chaque taux s’applique à une valeur déjà modifiée par les évolutions précédentes. On ne peut donc pas additionner les taux ; on multiplie les coefficients multiplicateurs :

Exemple : deux hausses successives de $10$ % donnent $1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21$, soit $+21$ %. Le point supplémentaire vient de ce que la seconde hausse porte aussi sur les $10$ % gagnés la première année.

Une hausse et une baisse de même taux ne se compensent pas. $+15$ % puis $-15$ % donnent $1{,}15 \times 0{,}85 = 0{,}9775$, soit $-2{,}25$ % : la baisse porte sur une valeur plus grande que la hausse.

Même produit, trajectoires différentes. Pour des coefficients donnés et inchangés, la multiplication étant commutative, $-8$ % puis $+12$ % donnent le même résultat global que $+12$ % puis $-8$ %. Les niveaux intermédiaires diffèrent ; on ne peut pas en déduire une trésorerie ou une moyenne identique.

Le taux réciproque. Quel taux faut-il appliquer pour revenir au niveau de départ ? Si le coefficient initial est strictement positif, il faut un coefficient $CM_{retour}$ tel que $CM \times CM_{retour} = 1$, donc

Après une baisse de $20$ % ($CM = 0{,}8$), il faut $\dfrac{1}{0{,}8} = 1{,}25$, soit une hausse de $25$ %. Après une hausse de $25$ %, il faut une baisse de $20$ %. Le taux réciproque d’une hausse est toujours une baisse plus faible en valeur absolue ; celui d’une baisse partielle, une hausse plus forte. Après une baisse de 100 %, aucun taux fini appliqué à zéro ne rétablit un niveau initial positif.

Deux trajectoires fictives, un même point d’arrivée. On suit un montant initial de 200 €.

Dans les deux cas, $1{,}25\times0{,}8=1$ : le taux cumulé est nul. Pourtant le niveau intermédiaire n’est pas le même. Un besoin de trésorerie au milieu du parcours pourrait donc différer ; la commutativité du produit ne rend pas toutes les situations économiques interchangeables.

La limite du retour. Un troisième parcours perd 100 % du montant : il arrive à zéro. Tout coefficient fini appliqué ensuite donne encore zéro. Le taux réciproque n’existe pas ici : on ne divise pas par $CM=0$.

Partez d’une valeur de $100$ et appliquez chaque coefficient à la valeur de l’étape précédente :

La valeur finale, $108{,}192$, se lit directement comme un indice : $+8{,}192$ % par rapport au départ. On voit que la baisse de $8$ % retire $8{,}96$ et non $8$ : elle s’applique à $112$, pas à $100$.