Le taux de variation annuel moyen

Cadre. Les deux niveaux sont strictement positifs et comparables ; la durée n est positive, mesurée en années entre les dates effectivement observées. Le taux t des formules est décimal : multiplier par 100 pour l’exprimer en pourcentage. Il s’agit d’un taux composé équivalent, pas d’une prévision.

Une grandeur passe de $50\,000$ en 2016 à $62\,000$ en 2022 : elle a augmenté de $24$ % en six ans. Les évolutions annuelles réelles ont pu être très irrégulières. Le taux de variation annuel moyen répond à une autre question : quel taux constant, appliqué chaque année, aurait conduit de la valeur de départ à la valeur d’arrivée ?

Appliquer $n$ fois le même taux $t$, c’est multiplier $n$ fois par $(1 + t)$. Il faut donc :

Ici $CM_{global} = 1{,}24$ et $n = 6$ : $t = 1{,}24^{1/6} - 1 \approx 0{,}0365$, soit environ $3{,}65$ % par an.

Comme les variations successives se composent, on prend une racine du coefficient global, et non une division du taux global.

Compter les intervalles, pas les millésimes. De 2016 à 2022, il y a $2022 - 2016 = 6$ années de variation, même si l’on cite $7$ millésimes (2016, 2017… 2022). Compter $7$ donnerait $1{,}24^{1/7} - 1 \approx 3{,}12$ %, un taux trop faible.

Pourquoi la division est fausse. Diviser le taux global par le nombre d’années ($24 \div 6 = 4$ %) revient à additionner des taux successifs. Or $4$ % par an pendant six ans donneraient $1{,}04^6 \approx 1{,}265$, soit $+26{,}5$ % : trop. Pour plus d’un intervalle et un coefficient global positif différent de 1, cette division donne un taux algébrique trop élevé : hausse trop forte ou baisse trop faible. Pour un seul intervalle, ou une évolution nulle, les résultats coïncident. Une baisse de $30$ % en six ans ne correspond pas à $-5$ % par an mais à $0{,}7^{1/6} - 1 \approx -5{,}77$ % par an.

Ce que le taux moyen ne dit pas. Le taux annuel moyen est un rythme équivalent. Il ne signifie pas que la grandeur a réellement augmenté de $3{,}65$ % chaque année : certaines années ont pu connaître une baisse, d’autres une forte hausse.

À quoi il sert. Il permet de comparer des évolutions sur des périodes de longueurs différentes : $+24$ % en six ans et $+30$ % en dix ans ne se comparent pas directement, leurs taux annuels moyens peuvent être comparés, à grandeur, définition et périmètre comparables ; ils ne suffisent pas à expliquer les causes de l’écart.

Mêmes niveaux extrêmes, années contrastées. Une activité fictive passe d’un indice 200 en 2020 à 250 en 2021, puis revient à 200 en 2022.

1. Les variations observées. La première vaut $(250/200-1)\times100=25$ % ; la seconde vaut $(200/250-1)\times100=-20$ %.

2. Le rythme annuel composé équivalent. Il y a deux intervalles. Le rapport final/initial vaut 1, donc $t=1^{1/2}-1=0$. Le taux annuel moyen composé est nul ; aucune des deux variations observées n’est pourtant nulle.

3. Pourquoi la moyenne arithmétique ne convient pas. $(25-20)/2=2{,}5$ %. Appliquer +2,5 % deux fois donnerait $200\times1{,}025^2=210{,}125$, pas 200. Moyenne arithmétique des taux observés et rythme composé équivalent répondent à deux questions différentes.

Limite. Ce taux nul ne promet aucune stabilité future et ne décrit pas le niveau intermédiaire de 250.

On peut tester chaque taux candidat en l’appliquant $6$ fois à $50\,000$ :

Un taux candidat doit redonner la valeur d’arrivée à la précision de ses arrondis près. Cette vérification peut départager des propositions suffisamment distinctes sans calculer de racine ; si les données et les taux arrondis sont trop proches, elle ne garantit pas un choix unique.