Simulation : fréquence observée et modèle

Un modèle probabiliste donne une probabilité p ; une simulation produit une réalisation finie, donc une fréquence observée. Ces deux nombres ne sont pas interchangeables. Pour simuler un succès de probabilité 0,3, on peut tirer un entier uniforme parmi 0 à 9 et déclarer un succès lorsque cet entier est strictement inférieur à 3 : les valeurs 0,1,2 constituent trois issues sur dix.

On répète les tirages indépendamment : chaque essai conserve les mêmes chances. Après n essais, si s sont des succès, la fréquence vaut s/n. Recommencer la simulation peut donner un autre s. Sur de grands nombres d’essais, les fréquences ont tendance à être proches de p, sans garantie d’égalité ni de rapprochement à chaque étape.

Une première série de 10 tirages est 0,7,2,9,1,4,6,2,8,3. Avec succès si x<3, les quatre succès sont 0,2,1,2 : la fréquence est 0,4. Si le 11 e tirage vaut 1, elle devient 5/11, plus éloignée de 0,3 que 0,4. Cet exemple réfute une convergence forcément monotone, pas la tendance sur un grand nombre d’essais.

from random import randrange

def frequence(n):
    succes = 0
    for _ in range(n):
        if randrange(10) < 3:
            succes += 1
    return succes / n

# n doit être strictement positif
for n in [100, 1000, 10000]:
    print(n, frequence(n))

Relancez plusieurs fois. Copiez ce code dans un environnement Python, exécutez-le puis comparez plusieurs résultats.