Tests du khi-deux : ajustement et indépendance

Un test du khi-deux compare des effectifs observés $O_i$ à des effectifs attendus $E_i$ sous une hypothèse nulle $H_0$. La statistique de Pearson est $Q=\sum (O_i-E_i)^2/E_i$. Les écarts sont élevés au carré : toutes les contributions sont positives ou nulles. Une grande valeur de $Q$ signale une discordance avec $H_0$, mais ne mesure pas à elle seule l'importance pratique d'un effet.

Pour un ajustement, $H_0$ impose des probabilités $p_i$ et $E_i=np_i$. Pour l'indépendance de deux caractères, les catégories forment un tableau et les effectifs attendus sont calculés à partir des marges. Dans les deux cas, les données sont des comptages dans des catégories exclusives.

Sous l'indépendance, l'effectif attendu de la case $(i,j)$ est $E_{ij}=n_{i\cdot}n_{\cdot j}/n$. Pour un tableau de $r$ lignes et $c$ colonnes, le nombre de degrés de liberté est $(r-1)(c-1)$. Pour un ajustement à $k$ probabilités entièrement fixées, il vaut $k-1$ ; l'estimation de paramètres sur les mêmes données peut le réduire.

La référence au khi-deux est asymptotique. Il faut des observations indépendantes et des effectifs attendus suffisamment grands ; exiger ici tous les $E_i\geq5$ est une règle de prudence simple, pas un théorème universel. À faibles effectifs, envisagez un test exact, une simulation adaptée ou des regroupements justifiés avant l'analyse. La valeur-p est une probabilité calculée sous $H_0$, pas la probabilité que $H_0$ soit vraie.

Un jeu fictif de $90$ observations réparties en trois catégories donne $(36,24,30)$. On teste des probabilités fixées $(1/3,1/3,1/3)$. Les trois effectifs attendus valent $30$ ; ils dépassent $5$.

Les contributions sont $36/30=1{,}2$, $36/30=1{,}2$ et $0$, donc $Q=2{,}4$. Il y a $3-1=2$ degrés de liberté. Au seuil $5\%$, la borne critique fournie est $5{,}991$ ; comme $2{,}4<5{,}991$, on ne rejette pas $H_0$. Pour deux degrés de liberté, la valeur-p vaut ici $e^{-2{,}4/2}\simeq0{,}301$.

Cette conclusion ne prouve pas l'égalité parfaite des probabilités. Elle indique seulement que les données ne donnent pas, à ce seuil, une discordance suffisante pour rejeter le modèle annoncé.

La figure présente les trois effectifs observés et les effectifs attendus de l'exemple, puis leurs contributions au khi-deux. La première catégorie est au-dessus de l'attendu, la deuxième au-dessous, mais leurs contributions sont identiques : le carré efface le signe de l'écart. La troisième coïncide avec l'attendu et contribue zéro.

Repérez que $Q$ additionne des écarts relatifs aux effectifs attendus. Un écart de six observations n'a pas le même poids lorsque l'attendu vaut $30$ ou $300$.