Mais à quoi ça sert… le théorème de Pythagore ?
Comment connaître la diagonale d’un rectangle sans la mesurer directement ?
Mathématiques · 3 min de lecture · Par ESPRIT VIF
Une diagonale traverse un écran, une parcelle dessinée ou une case de jeu. Sa longueur ne s’obtient pas en additionnant les deux côtés. Pythagore relie les trois côtés d’un triangle rectangle : si a et b forment l’angle droit et si c est le côté opposé, alors c² = a² + b². Les exemples qui suivent sont fictifs, avec des dimensions choisies pour rendre les calculs exacts. Commencer toujours par repérer l’angle droit : c’est lui qui autorise la relation.
Prévoir une diagonale dans une maquette
On dessine un panneau rectangulaire de 48 cm sur 36 cm pour une maquette. Un trait doit relier deux sommets opposés. Les deux côtés sont connus. Quelle est la longueur du trait ?
- La diagonale et deux côtés du panneau forment un triangle rectangle. La diagonale est son hypoténuse.
- Calculer son carré : 48² + 36² = 2 304 + 1 296 = 3 600.
- Chercher la longueur positive dont le carré vaut 3 600 : elle vaut 60.
Ce que l’on trouveLe trait diagonal mesure exactement 60 cm dans ce dessin idéal.
Le calcul suppose un vrai rectangle. Il ne renseigne ni sur une marge de découpe ni sur l’épaisseur d’un matériau.
Comparer un détour et un passage direct
Sur le plan fictif d’un jardin, deux allées perpendiculaires mesurent 30 m et 40 m. Un passage rectiligne autorisé relie leurs extrémités, sans obstacle ni dénivelé.
- Le trajet par les deux allées mesure 30 + 40 = 70 m.
- Le passage diagonal mesure la racine carrée de 30² + 40², soit la racine carrée de 2 500.
- Comparer 50 m au trajet de 70 m : la différence est 20 m.
Ce que l’on trouveDans ce modèle, le passage direct économise 20 m de trajet.
Une distance géométrique ne garantit pas qu’un passage existe ou soit accessible. Ici, cette possibilité fait partie des hypothèses.
Contrôler un angle sur un dessin
Un triangle tracé sur papier possède des côtés annoncés de 9 cm, 12 cm et 15 cm. On cherche à vérifier si le plus grand angle est droit.
- Le plus grand côté est celui de 15 cm.
- Comparer 9² + 12² = 81 + 144 = 225 et 15² = 225.
- L’égalité permet d’utiliser la réciproque : le triangle est rectangle.
Ce que l’on trouveL’angle opposé au côté de 15 cm est droit.
Des mesures réelles arrondies donnent seulement un contrôle approché ; elles ne démontrent pas une perpendicularité exacte.
Une idée à retenir
Le théorème permet de transformer une situation spatiale en problème calculable, puis à vérifier que les hypothèses retenues correspondent au dessin. Cette habitude sert aussi quand un résultat paraît plausible mais repose sur un angle droit qui n’existe pas.
Le petit défi
Un rectangle mesure 5 cm sur 12 cm. Quelle est sa diagonale ?
Découvrir la réponse expliquée
5² + 12² = 25 + 144 = 169. La diagonale est positive et 13² = 169.
Passer à la pratique
Le cours explique la méthode. Les exercices permettent de la mettre à l’épreuve.
Théorème de Pythagore
Pour aller plus loin
Les situations chiffrées sont des exemples pédagogiques. Ces références permettent d’approfondir les notions utilisées.