Mathématiques · Licence 1 · 3 exercices vérifiés

S’entraîner : Algorithme d'Euclide, PGCD et théorème de Bézout

Chapitre : Arithmétique et structures algébriques

Ce que vous travaillez

Division euclidienne dans les entiers relatifs ; PGCD et algorithme d'Euclide ; remontée de l'algorithme donnant un couple de coefficients de Bézout ; théorème de Bézout et son cas particulier des entiers premiers entre eux ; description de TOUS les couples solutions à partir d'un couple particulier, et unique représentant normalisé ; théorème de Gauss ; équation diophantienne du premier degré à deux inconnues : condition d'existence (le PGCD divise le second membre) et ensemble complet des solutions.

Les exercices de cette séance font aussi appel à :

Congruences et anneau des classes de reste — Congruence modulo n, compatibilité avec la somme et le produit, classes de reste et anneau Z/nZ ; critère d'inversibilité (une classe est inversible si et seulement si son représentant est premier avec n) et calcul effectif de l'inverse par Bézout ; résolution de la congruence ax ≡ c modulo n, condition d'existence et NOMBRE exact de solutions modulo n ; petit théorème de Fermat et calcul de puissances modulaires ; théorème des restes chinois sur deux modules premiers entre eux.

À maîtriser avant de commencer

Ces notions sont utilisées ici. Relisez-les si l’une d’elles vous échappe.

Divisibilité et nombres premiers — Critères de divisibilité, diviseurs et multiples, décomposition en produit de facteurs premiers, fractions irréductibles.
Opérations sur les entiers — Additionner, soustraire, multiplier et diviser des entiers naturels ; priorités opératoires ; division euclidienne.

Comment se déroule la séance

Cette séance s’appuie sur 3 exercices vérifiés. Chacun produit un nouvel énoncé à chaque ouverture, avec une solution calculée.

Formats de réponse : Réponse numérique (2), QCM (1). Difficulté 4 sur 5. Environ 16 minutes pour un premier passage.

Dans votre compte : aide graduée (indice, rappel de cours, aide au démarrage), corrigé pas à pas après chaque tentative, suivi de vos progrès.

Essayez un exercice, sans compte

Un exercice réel de cette séance, le même pour chaque visiteur. Répondez, puis vérifiez : la correction est calculée, et le corrigé s’affiche après votre tentative.

Difficulté 4 sur 5 · ≈ 6 minutes

Énoncé

Soient $a = 144$ et $b = 98$ deux entiers naturels non nuls, et $d = \mathrm{pgcd}(a, b)$ . Les couples $(u\,;\,v)$ d'entiers relatifs vérifiant $au + bv = d$ sont en nombre infini, mais un seul d'entre eux vérifie de plus $0 \leq u < \dfrac{b}{d}$ .

Déterminer le coefficient $u$ de ce couple.

Votre réponse

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