Le théorème de Pythagore, sa réciproque, et la différence entre les deux

Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit. Le côté opposé à cet angle droit porte un nom particulier : c'est l'hypoténuse. Les deux autres côtés s'appellent les côtés de l'angle droit.

Deux repères pour ne jamais te tromper d'hypoténuse :

• elle est opposée à l'angle droit, c'est-à-dire qu'elle ne le touche pas ;
• elle est le plus long des trois côtés.

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, l'angle droit est au sommet $A$ ; l'hypoténuse est donc $[BC]$, le côté qui ne contient pas $A$. Cette lecture est automatique : « rectangle en $A$ » signifie « hypoténuse $[BC]$ ».

Théorème de Pythagore. Si un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, alors le carré de $BC$ est égal à la somme des carrés de $AB$ et de $AC$.

En mots : dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Ce que « carré » veut dire ici. $BC^{2}$ n'est pas une longueur, c'est une aire : celle du carré construit sur le côté $[BC]$. Le théorème dit donc quelque chose de très concret : l'aire du grand carré est exactement égale à la somme des aires des deux petits. Avec un triangle de côtés $3$, $4$ et $5$ : $9 + 16 = 25$. Les deux petits carrés, découpés et réassemblés, remplissent exactement le grand.

Le mécanisme : pourquoi c'est vrai. Voici l'une des démonstrations les plus anciennes, que tu peux refaire avec du papier.

Prends quatre exemplaires identiques de ton triangle rectangle, dont les côtés de l'angle droit mesurent $b$ et $c$, et l'hypoténuse $a$. Construis un grand carré de côté $b + c$.

• Premier rangement : place les quatre triangles dans les quatre coins, de façon à laisser au centre un carré vide dont chaque côté vaut $a$. La surface vide est donc $a^{2}$.
• Second rangement : place les mêmes quatre triangles autrement, de façon à laisser deux carrés vides, l'un de côté $b$, l'autre de côté $c$. La surface vide est cette fois $b^{2} + c^{2}$.

Dans les deux cas, on a rangé les mêmes quatre triangles dans le même grand carré. La place restante est donc la même :

Ce n'est pas une formule tombée du ciel : c'est un découpage. Le résultat figure déjà, sous une autre forme, dans les Éléments d'Euclide.

À quoi cela sert. À calculer une longueur qu'on ne peut pas mesurer : la diagonale d'un écran, la hauteur atteinte par une échelle, la distance entre deux points d'un terrain. Deux longueurs connues et un angle droit suffisent pour obtenir la troisième.

Calculer l'hypoténuse. C'est le cas direct : on additionne.

Calculer un côté de l'angle droit. C'est le cas où l'on soustrait. Si l'on connaît l'hypoténuse $BC$ et un côté $AB$, on isole l'autre :

Le signe change parce que l'inconnue n'est plus au même endroit de l'égalité. Avant tout calcul, identifie donc l'hypoténuse : c'est elle qui décide si tu additionnes ou si tu soustrais. Un bon contrôle : le résultat d'une soustraction doit être positif ; si tu obtiens un nombre négatif sous la racine, c'est que tu as pris un côté de l'angle droit pour l'hypoténuse.

La racine carrée est la dernière étape, pas une option. Le théorème donne $BC^{2}$, c'est-à-dire une aire. Tant que tu n'as pas pris la racine carrée, tu n'as pas la longueur. Écrire « $BC = 56{,}25$ cm » au lieu de « $BC = 7{,}50$ cm » est l'erreur qui coûte le plus de points au niveau 4e.

La réciproque : celle qui démontre l'angle droit. Le théorème direct suppose l'angle droit ; il ne peut donc jamais servir à le prouver. C'est sa réciproque qui fait ce travail.

Réciproque du théorème de Pythagore. Si, dans un triangle $ABC$, on a $BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}$, alors le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.

La méthode est toujours la même, et l'ordre des étapes n'est pas négociable :

1. repérer le plus long côté : c'est le seul candidat au rôle d'hypoténuse ;
2. calculer séparément le carré de ce plus long côté ;
3. calculer séparément la somme des carrés des deux autres ;
4. comparer les deux nombres obtenus ;
5. conclure en citant la réciproque (ou sa contraposée).

Calculer les deux membres séparément est essentiel : écrire l'égalité d'emblée reviendrait à supposer ce que l'on cherche à démontrer.

La contraposée : celle qui démontre qu'il n'y a PAS d'angle droit.

Contraposée. Si $BC^{2} \neq AB^{2} + AC^{2}$, alors le triangle $ABC$ n'est pas rectangle en $A$.

Elle est immédiate : si le triangle était rectangle en $A$, le théorème direct imposerait l'égalité. C'est la version qu'on utilise pour répondre « non » proprement.

La distinction, en une phrase. Le théorème part de l'angle droit et arrive à une égalité de longueurs. La réciproque part d'une égalité de longueurs et arrive à l'angle droit. Utiliser le théorème direct pour prouver qu'un triangle est rectangle est un raisonnement circulaire : on suppose ce qu'on veut démontrer. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre, et elle est sanctionnée même quand la conclusion est juste, parce que c'est le raisonnement qui est faux.

Les triplets pythagoriciens. Certains triangles rectangles ont trois côtés entiers. Les plus utiles à reconnaître :

Vérifie sur le premier : $3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5^{2}$. En multipliant les trois côtés d'un triplet par un même nombre, on obtient encore un triangle rectangle : $(6\,;8\,;10)$, $(9\,;12\,;15)$, $(1{,}5\,;2\,;2{,}5)$. Reconnaître un triplet fait gagner du temps, mais ne dispense jamais de rédiger : la calculatrice n'est pas une démonstration.

Précision et arrondis. Les longueurs mesurées sont rarement entières. N'arrondis qu'à la toute fin : arrondir $BC^{2}$ avant de prendre la racine décale le résultat. Donne la réponse avec autant de chiffres significatifs que les données, en général trois, et n'oublie ni le symbole $\approx$ quand la valeur est approchée, ni l'unité.

1) Calculer une hypoténuse. Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. On donne $AB = 4{,}50$ cm et $AC = 6{,}00$ cm. Calculer $BC$.

Étape 1 — identifier l'hypoténuse. Le triangle est rectangle en $A$ : l'angle droit est en $A$, donc l'hypoténuse est le côté opposé, $[BC]$. C'est l'inconnue : on va additionner.

Étape 2 — écrire le théorème, en le citant :

Étape 3 — remplacer par les valeurs.

Étape 4 — prendre la racine carrée. À ce stade, on a une aire, pas une longueur.

Donc $BC = 7{,}50$ cm.

Étape 5 — contrôler. L'hypoténuse doit être le côté le plus long : $7{,}50 > 6{,}00 > 4{,}50$. Cohérent. Contrôle supplémentaire : $7{,}50^{2} = 56{,}25$, on retrouve bien la somme.

2) Calculer un côté de l'angle droit. Une échelle de $5{,}00$ m est appuyée contre un mur vertical. Son pied est à $1{,}40$ m du mur. À quelle hauteur le haut de l'échelle touche-t-il le mur ?

Étape 1 — faire un croquis mental et repérer l'angle droit. Le mur est vertical, le sol horizontal : l'angle entre les deux est droit. Le triangle a pour sommets le pied du mur, le pied de l'échelle et le haut de l'échelle. L'angle droit est au pied du mur.

Étape 2 — identifier l'hypoténuse. C'est l'échelle elle-même, $5{,}00$ m : elle est opposée à l'angle droit, et c'est le plus long côté. Comme l'hypoténuse est connue et que l'inconnue est un côté de l'angle droit, on va soustraire.

Étape 3 — écrire le théorème. En notant $h$ la hauteur cherchée et $d = 1{,}40$ m la distance au mur :

Étape 4 — isoler l'inconnue.

Étape 5 — prendre la racine carrée.

L'échelle touche le mur à $4{,}80$ m de hauteur.

Étape 6 — contrôler. La hauteur atteinte doit être inférieure à la longueur de l'échelle : $4{,}80 < 5{,}00$. Cohérent, et plausible physiquement : un pied à $1{,}40$ m du mur donne une échelle presque verticale.

3) Démontrer qu'un triangle est rectangle. Un triangle $DEF$ a pour côtés $DE = 9$ cm, $DF = 12$ cm et $EF = 15$ cm. Ce triangle est-il rectangle ?

Étape 1 — repérer le plus long côté. $15 > 12 > 9$ : le plus long est $[EF]$. Si le triangle est rectangle, ce ne peut être qu'avec $[EF]$ pour hypoténuse, donc avec l'angle droit en $D$.

Étape 2 — calculer les deux membres SÉPARÉMENT. C'est le point de méthode : on ne suppose rien.

Étape 3 — comparer. Les deux résultats sont égaux : $EF^{2} = DE^{2} + DF^{2}$.

Étape 4 — conclure en citant la réciproque. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $DEF$ est rectangle en $D$.

4) Et si les carrés ne s'égalent pas. Un triangle $GHI$ a pour côtés $GH = 6$ cm, $GI = 8$ cm et $HI = 11$ cm.

$121 \neq 100$. D'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $GHI$ n'est pas rectangle en $G$. Or $11 > 8 > 6$ : si ce triangle était rectangle, son plus long côté $[HI]$ serait l'hypoténuse, donc l'angle droit serait en $G$ — le seul sommet possible. Comme il n'est pas rectangle en $G$, il n'est pas rectangle du tout.

Le moment décisif : aux questions 3 et 4, on calcule les deux nombres avant de les comparer. Écrire d'emblée $HI^{2} = GH^{2} + GI^{2}$ serait affirmer l'égalité qu'on est justement en train de tester.

Figure (fig.math.pythagoras-squares, SVG programmatique à produire) : trois panneaux — l'égalité des aires, la démonstration par découpage, et la distinction théorème / réciproque.

• Panneau de gauche — l'égalité des aires. Un triangle rectangle de côtés $3$, $4$ et $5$, l'angle droit marqué par le petit carré d'usage. Sur chacun des trois côtés, un carré construit vers l'extérieur, quadrillé en carreaux unités : $9$ carreaux sur le côté $3$, $16$ sur le côté $4$, $25$ sur l'hypoténuse. Les deux petits carrés sont tramés de deux textures différentes ; le grand carré reprend les deux textures, réparties en $9$ carreaux d'une texture et $16$ de l'autre, pour montrer que la surface se remplit exactement. Sous le panneau : $9 + 16 = 25$.
• Panneau central — la démonstration par rangement. Deux grands carrés de même côté $b + c$, côte à côte, avec les quatre mêmes triangles rectangles à l'intérieur. Dans le premier, les triangles sont aux quatre coins, orientés de façon à laisser au centre un carré vide incliné de côté $a$, hachuré et coté $a$. Dans le second, les mêmes quatre triangles sont regroupés autrement, laissant deux carrés vides accolés, l'un de côté $b$, l'autre de côté $c$, hachurés des deux textures du panneau de gauche. Sous les deux figures, une bande commune : « mêmes quatre triangles, même grand carré $\Rightarrow$ même place restante », puis $a^{2} = b^{2} + c^{2}$.
• Panneau de droite — deux sens de lecture. Deux bandeaux superposés, chacun avec une flèche horizontale épaisse. Bandeau du haut : à gauche un triangle avec l'angle droit marqué, une flèche vers la droite, à droite l'égalité $BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}$ ; étiquette « THÉORÈME : l'angle droit est donné, l'égalité s'en déduit ». Bandeau du bas : à gauche trois longueurs et l'égalité $225 = 225$, une flèche vers la droite, à droite le même triangle avec l'angle droit marqué ; étiquette « RÉCIPROQUE : l'égalité est constatée, l'angle droit s'en déduit ». Les deux flèches pointent dans le même sens de lecture mais partent de données opposées, ce que souligne un liseré : hypothèse à gauche, conclusion à droite.
• Encart d'avertissement, sous le panneau de droite : le bandeau du haut redessiné avec la flèche retournée et barré, sous la mention « le théorème ne démontre jamais l'angle droit ».

Ce qu'il faut lire. À gauche : $BC^{2}$ est une aire, pas une longueur — c'est pour cela qu'il reste une racine carrée à prendre à la fin d'un calcul. Au centre : l'égalité n'est pas une convention, c'est un découpage vérifiable. À droite : ce qui distingue le théorème de sa réciproque n'est pas la formule, qui est la même, mais ce qui est donné et ce qui est démontré. Le liseré hypothèse/conclusion est la seule chose à retenir de ce panneau.

La figure en détail : trois panneaux. À gauche, un triangle rectangle de côtés trois, quatre et cinq porte sur chacun de ses côtés un carré quadrillé en carreaux unités : neuf carreaux, seize carreaux et vingt-cinq carreaux ; le grand carré est rempli de deux textures, neuf carreaux de la première et seize de la seconde, et la légende indique neuf plus seize égale vingt-cinq. Au centre, deux grands carrés de même côté contiennent les quatre mêmes triangles rectangles rangés de deux façons : dans le premier, la place restante forme un carré incliné de côté a ; dans le second, deux carrés de côtés b et c ; la légende conclut que a au carré égale b au carré plus c au carré. À droite, deux bandeaux fléchés : le premier part d'un triangle dont l'angle droit est marqué et aboutit à l'égalité des carrés, étiqueté théorème ; le second part de l'égalité numérique des carrés et aboutit au triangle dont l'angle droit est marqué, étiqueté réciproque. Un encart barré montre le premier bandeau avec sa flèche retournée, sous la mention que le théorème ne démontre jamais l'angle droit.

Domaine de validité. Le théorème ne dit rien d'un triangle qui n'est pas rectangle. Il ne s'applique pas non plus à un quadrilatère, ni à un triangle dont on ignore les angles — dans ce dernier cas, c'est la réciproque qu'il faut envisager, pas le théorème.

Unités. Toutes les longueurs d'un même calcul doivent être exprimées dans la même unité : convertis avant d'élever au carré. Attention, en élevant au carré, on manipule des aires : $1$ m $= 100$ cm, mais $1$ m² $= 10\,000$ cm². Le plus simple est de tout convertir en une seule unité de longueur dès le départ. Le résultat, lui, porte l'unité des données.

Chiffres significatifs. Les chiffres significatifs d'un nombre sont ses chiffres écrits à partir du premier chiffre non nul : $4{,}50$ en a trois. Si les données ont trois chiffres significatifs ($4{,}50$ cm), la réponse en a trois ($7{,}50$ cm). N'arrondis qu'à la fin, après la racine carrée : arrondir le carré décale le résultat. Et écris $\approx$, non $=$, quand la valeur est approchée.

Rédaction attendue. Trois éléments, dans cet ordre : la phrase d'hypothèse (« le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ »), le nom du théorème invoqué, puis le calcul. Pour la réciproque, les deux membres calculés séparément avant toute comparaison.

1. Prendre un côté de l'angle droit pour l'hypoténuse. Écrire $BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}$ quand l'angle droit est en $B$ — donc quand l'hypoténuse est $[AC]$ — fausse tout. L'hypoténuse est opposée à l'angle droit et c'est le plus long côté : deux vérifications indépendantes, fais-les toutes les deux. Symptôme typique : tu trouves un nombre négatif sous la racine, ou une hypoténuse plus courte qu'un autre côté.
2. Oublier la racine carrée. Donner $BC = 56{,}25$ cm au lieu de $BC = 7{,}50$ cm confond une aire et une longueur. Le théorème fournit toujours le carré de l'inconnue : il reste une étape. Relis ta réponse : une hauteur de $23{,}04$ m atteinte par une échelle de $5{,}00$ m n'a aucun sens — $23{,}04$ est le carré de la hauteur, pas la hauteur.
3. Utiliser le théorème direct pour démontrer qu'un triangle est rectangle. C'est un raisonnement circulaire : le théorème suppose l'angle droit. Pour le démontrer, il faut la réciproque, et il faut l'écrire noir sur blanc. Même avec la bonne conclusion, le raisonnement est refusé.
4. Écrire l'égalité avant de l'avoir vérifiée. Dans un exercice de réciproque, commencer par « $EF^{2} = DE^{2} + DF^{2}$ » affirme ce qu'on doit établir. Calcule les deux nombres séparément, puis compare, puis conclus.
5. Additionner au lieu de soustraire. Quand l'hypoténuse est connue et qu'on cherche un côté de l'angle droit, on soustrait : $h^{2} = 5{,}00^{2} - 1{,}40^{2}$. Additionner donnerait une hauteur supérieure à la longueur de l'échelle, ce qui est impossible.
6. Mélanger les unités. $AB = 60$ cm et $AC = 0{,}80$ m ne peuvent pas être élevés au carré tels quels. Convertis d'abord : $0{,}80$ m $= 80$ cm, puis calcule. Convertir après coup, sur des carrés, conduit presque toujours à une erreur de facteur $100$.
7. Arrondir trop tôt. Arrondir $BC^{2}$ puis prendre la racine décale le dernier chiffre significatif. Garde toute la précision dans la calculatrice et n'arrondis que le résultat final.
8. Croire qu'un triangle « qui a l'air » rectangle l'est. Un dessin n'est jamais une démonstration, et une figure d'énoncé n'est pas à l'échelle sauf mention contraire. L'angle droit doit être codé sur la figure, écrit dans l'énoncé, ou démontré par la réciproque.

À quoi t'attendre. L'exercice demande une longueur dans un triangle rectangle : tantôt l'hypoténuse (on additionne), tantôt un côté de l'angle droit (on soustrait). La configuration est soit abstraite — « $ABC$ rectangle en $A$ », l'angle droit étant toujours nommé —, soit décrite en toutes lettres dans un contexte concret : échelle contre un mur, diagonale d'écran, traversée d'un terrain, câble tendu. Une minorité de tirages tombe sur un triplet pythagoricien, avec une réponse entière ; la plupart donnent une valeur décimale à trois chiffres significatifs. Un exercice voisin pose la question inverse en vrai/faux : le triangle est-il rectangle ? C'est la réciproque — ou sa contraposée — qui répond.

Énoncé type. Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. On donne $AB = 3{,}60$ cm et $AC = 4{,}80$ cm. Calculer $BC$, en centimètres, avec trois chiffres significatifs.

Corrigé complet.

1. Identifier l'hypoténuse. Le triangle est rectangle en $A$ : l'angle droit est au sommet $A$, donc l'hypoténuse est le côté opposé, $[BC]$. C'est justement l'inconnue : on va additionner les carrés des deux autres côtés.

2. Citer le théorème avec son hypothèse. Le triangle $ABC$ étant rectangle en $A$, d'après le théorème de Pythagore :

Cette phrase n'est pas décorative : elle montre que tu as le droit d'écrire l'égalité.

3. Remplacer par les valeurs, sans arrondir.

4. Prendre la racine carrée — l'étape qu'on oublie.

Donc $BC = 6{,}00$ cm. Trois chiffres significatifs, comme les données ; l'unité est celle de l'énoncé.

5. Contrôler. L'hypoténuse doit être le côté le plus long : $6{,}00 > 4{,}80 > 3{,}60$. Cohérent. Deuxième contrôle, par le carré : $6{,}00^{2} = 36{,}00$, on retombe sur la somme calculée. (On peut aussi reconnaître ici le triplet $(3\,;4\,;5)$ multiplié par $1{,}2$ — mais cette remarque ne remplace pas la rédaction.)

Auto-contrôle : avant de calculer, réponds à une seule question — « l'inconnue est-elle l'hypoténuse ? ». Si oui, tu additionnes ; si non, tu soustrais. Et après avoir calculé, vérifie que ton résultat est bien une longueur (tu as pris la racine) et que l'hypoténuse reste le plus long des trois côtés. Si ta réponse dépasse l'hypoténuse connue, tu as additionné au lieu de soustraire.