Le théorème de Pythagore, sa réciproque, et la différence entre les deux

Dans cette leçon, les triangles sont non dégénérés et situés dans le plan euclidien ; les longueurs données sont considérées exactes dans le modèle. Un triangle rectangle possède un angle droit. Le côté opposé à cet angle droit porte un nom particulier : c'est l'hypoténuse. Les deux autres côtés s'appellent les côtés de l'angle droit.

Deux repères pour ne jamais te tromper d'hypoténuse :

• elle est opposée à l'angle droit, c'est-à-dire qu'elle ne le touche pas ;
• elle est le plus long des trois côtés.

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, l'angle droit est au sommet $A$ ; l'hypoténuse est donc $[BC]$, le côté qui ne contient pas $A$. Cette lecture est automatique : « rectangle en $A$ » signifie « hypoténuse $[BC]$ ».

Théorème de Pythagore. Si un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, alors le carré de $BC$ est égal à la somme des carrés de $AB$ et de $AC$.

En mots : dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Ce que « carré » veut dire ici. $BC^{2}$ n'est pas une longueur, c'est une aire : celle du carré construit sur le côté $[BC]$. Le théorème dit donc quelque chose de très concret : l'aire du grand carré est exactement égale à la somme des aires des deux petits. Avec un triangle de côtés $3$, $4$ et $5$ : $9 + 16 = 25$. Les deux petits carrés, découpés et réassemblés, remplissent exactement le grand.

Le mécanisme : pourquoi c'est vrai. Voici l'une des démonstrations les plus anciennes, que tu peux refaire avec du papier.

Prends quatre exemplaires identiques de ton triangle rectangle, dont les côtés de l'angle droit mesurent $b$ et $c$, et l'hypoténuse $a$. Construis un grand carré de côté $b + c$.

• Premier rangement : place les quatre triangles dans les quatre coins, de façon à laisser au centre un carré vide dont chaque côté vaut $a$. La surface vide est donc $a^{2}$.
• Second rangement : place les mêmes quatre triangles autrement, de façon à laisser deux carrés vides, l'un de côté $b$, l'autre de côté $c$. La surface vide est cette fois $b^{2} + c^{2}$.

Dans les deux cas, on a rangé les mêmes quatre triangles dans le même grand carré. La place restante est donc la même :

Ce n'est pas une formule tombée du ciel : c'est un découpage. Le résultat figure déjà, sous une autre forme, dans les Éléments d'Euclide.

À quoi cela sert. À calculer une longueur qu'on ne peut pas mesurer : la diagonale d'un écran, la hauteur atteinte par une échelle, la distance entre deux points d'un terrain. Deux longueurs connues et un angle droit suffisent pour obtenir la troisième.

Calculer l'hypoténuse. C'est le cas direct : on additionne.

Calculer un côté de l'angle droit. C'est le cas où l'on soustrait. Si l'on connaît l'hypoténuse $BC$ et un côté $AB$, on isole l'autre :

Le signe change parce que l'inconnue n'est plus au même endroit de l'égalité. Avant tout calcul, identifie donc l'hypoténuse : c'est elle qui décide si tu additionnes ou si tu soustrais. Un bon contrôle : le résultat d'une soustraction doit être positif ; un nombre négatif sous la racine signale une incohérence : confusion sur l’hypoténuse, erreur de calcul ou données incompatibles sont des causes possibles.

La racine carrée est la dernière étape, pas une option. Le théorème donne $BC^{2}$, c'est-à-dire une aire. Sans déterminer la racine carrée positive, le calcul du carré ne donne pas encore la longueur. Écrire « $BC = 56{,}25$ cm » au lieu de « $BC = 7{,}50$ cm » est une confusion entre une longueur et son carré.

La réciproque : celle qui démontre l'angle droit. Le théorème direct suppose l'angle droit ; il ne peut donc jamais servir à le prouver. C'est sa réciproque qui fait ce travail.

Réciproque du théorème de Pythagore. Si, dans un triangle $ABC$, on a $BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}$, alors le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.

Voici une méthode de rédaction sûre, sans prétendre qu’elle soit la seule démonstration possible :

1. repérer le plus long côté : c'est le seul candidat au rôle d'hypoténuse ;
2. calculer séparément le carré de ce plus long côté ;
3. calculer séparément la somme des carrés des deux autres ;
4. comparer les deux nombres obtenus ;
5. conclure en citant la réciproque si les carrés sont égaux, ou la contraposée du théorème direct s’ils sont différents.

Calculer les deux membres séparément est essentiel : écrire l'égalité d'emblée reviendrait à supposer ce que l'on cherche à démontrer.

La contraposée : celle qui démontre qu'il n'y a PAS d'angle droit.

Contraposée. Si $BC^{2} \neq AB^{2} + AC^{2}$, alors le triangle $ABC$ n'est pas rectangle en $A$.

Elle est immédiate : si le triangle était rectangle en $A$, le théorème direct imposerait l'égalité. C'est la version qu'on utilise pour répondre « non » proprement.

La distinction, en une phrase. Le théorème part de l'angle droit et arrive à une égalité de longueurs. La réciproque part d'une égalité de longueurs et arrive à l'angle droit. Utiliser le théorème direct pour prouver qu'un triangle est rectangle est un raisonnement circulaire : on suppose ce qu'on veut démontrer. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre, et elle est sanctionnée même quand la conclusion est juste, parce que c'est le raisonnement qui est faux.

Les triplets pythagoriciens. Certains triangles rectangles ont trois côtés entiers. Les plus utiles à reconnaître :

Vérifie sur le premier : $3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5^{2}$. En multipliant les trois côtés d’un triplet par un même nombre strictement positif, on obtient encore un triangle rectangle : $(6\,;8\,;10)$, $(9\,;12\,;15)$, $(1{,}5\,;2\,;2{,}5)$. Reconnaître un triplet fait gagner du temps, mais ne dispense jamais de rédiger : la calculatrice n'est pas une démonstration.

Précision et arrondis. Les longueurs mesurées sont rarement entières. N’arrondis qu'à la toute fin : arrondir le carré avant de prendre la racine peut modifier l’arrondi final. Donne une valeur exacte lorsque c’est demandé ou possible ; pour une approximation, respecte le format explicitement demandé, et n’oublie ni le symbole $\approx$ quand la valeur est approchée, ni l'unité.

Énoncé. Quatre cadres rectangulaires identiques mesurent chacun $9$ m sur $12$ m. On pose dans chaque cadre un câble le long d’une diagonale et on ajoute $0,35$ m par câble pour les attaches. Une bobine de $60$ m suffit-elle ? On néglige les pertes de coupe et on utilise des câbles d’un seul tenant.

Identifier le triangle rectangle. Une diagonale partage un cadre rectangulaire en deux triangles rectangles dont les côtés de l’angle droit mesurent $9$ m et $12$ m. La diagonale $d$ est l’hypoténuse.

Appliquer le théorème.

Les longueurs étant positives, on retient la racine positive.

Intégrer ce qui n’est pas un côté du triangle. Les attaches ajoutent une longueur au câble, pas à la diagonale géométrique. Chaque câble nécessite $15+0,35=15,35$ m. Pour les quatre cadres :

La bobine de $60$ m ne suffit donc pas : il manque $1,40$ m.

Contrôler. Sans les attaches, quatre diagonales consommeraient exactement $4\times15=60$ m ; les quatre marges ajoutent $4\times0,35=1,40$ m. Le carré vérifie aussi la diagonale : $15^2=9^2+12^2$. On a distingué le calcul géométrique de la quantité réellement commandée.

Figure (fig.math.pythagoras-squares, SVG programmatique existant) : trois panneaux — l'égalité des aires, la démonstration par découpage, et la distinction théorème / réciproque.

• Panneau de gauche — l'égalité des aires. Un triangle rectangle de côtés $3$, $4$ et $5$, l'angle droit marqué par le petit carré d'usage. Sur chacun des trois côtés, un carré construit vers l'extérieur, quadrillé en carreaux unités : $9$ carreaux sur le côté $3$, $16$ sur le côté $4$, $25$ sur l'hypoténuse. Les deux petits carrés sont tramés de deux textures différentes ; le grand carré reprend les deux textures, réparties en $9$ carreaux d'une texture et $16$ de l'autre, pour montrer que la surface se remplit exactement. Sous le panneau : $9 + 16 = 25$.
• Panneau central — la démonstration par rangement. Deux grands carrés de même côté $b + c$, côte à côte, avec les quatre mêmes triangles rectangles à l'intérieur. Dans le premier, les triangles sont aux quatre coins, orientés de façon à laisser au centre un carré vide incliné de côté $a$, hachuré et coté $a$. Dans le second, les mêmes quatre triangles sont regroupés autrement, laissant deux carrés vides accolés, l'un de côté $b$, l'autre de côté $c$, hachurés des deux textures du panneau de gauche. Sous les deux figures, une bande commune : « mêmes quatre triangles, même grand carré $\Rightarrow$ même place restante », puis $a^{2} = b^{2} + c^{2}$.
• Panneau de droite — deux sens de lecture. Deux bandeaux superposés, chacun avec une flèche horizontale épaisse. Bandeau du haut : à gauche un triangle avec l'angle droit marqué, une flèche vers la droite, à droite l'égalité $BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}$ ; étiquette « THÉORÈME : l'angle droit est donné, l'égalité s'en déduit ». Bandeau du bas : à gauche trois longueurs et l'égalité $225 = 225$, une flèche vers la droite, à droite le même triangle avec l'angle droit marqué ; étiquette « RÉCIPROQUE : l'égalité est constatée, l'angle droit s'en déduit ». Les deux flèches pointent dans le même sens de lecture mais partent de données opposées, ce que souligne un liseré : hypothèse à gauche, conclusion à droite.
• Encart d'avertissement, sous le panneau de droite : le bandeau du haut redessiné avec la flèche retournée et barré, sous la mention « le théorème ne démontre jamais l'angle droit ».

Ce qu'il faut lire. À gauche : $BC^{2}$ est une aire, pas une longueur — c'est pour cela qu'il reste une racine carrée à prendre à la fin d'un calcul. Au centre : l'égalité n'est pas une convention, c'est un découpage vérifiable. À droite : ce qui distingue le théorème de sa réciproque n'est pas la formule, qui est la même, mais ce qui est donné et ce qui est démontré. Le liseré hypothèse/conclusion est la seule chose à retenir de ce panneau.

La figure en détail : trois panneaux. À gauche, un triangle rectangle de côtés trois, quatre et cinq porte sur chacun de ses côtés un carré quadrillé en carreaux unités : neuf carreaux, seize carreaux et vingt-cinq carreaux ; le grand carré est rempli de deux textures, neuf carreaux de la première et seize de la seconde, et la légende indique neuf plus seize égale vingt-cinq. Au centre, deux grands carrés de même côté contiennent les quatre mêmes triangles rectangles rangés de deux façons : dans le premier, la place restante forme un carré incliné de côté a ; dans le second, deux carrés de côtés b et c ; la légende conclut que a au carré égale b au carré plus c au carré. À droite, deux bandeaux fléchés : le premier part d'un triangle dont l'angle droit est marqué et aboutit à l'égalité des carrés, étiqueté théorème ; le second part de l'égalité numérique des carrés et aboutit au triangle dont l'angle droit est marqué, étiqueté réciproque. Un encart barré montre le premier bandeau avec sa flèche retournée, sous la mention que le théorème ne démontre jamais l'angle droit.