Statistiques · Licence 2 · 1 exercice vérifié
S’entraîner : Estimation ponctuelle : biais, risque quadratique et maximum de vraisemblance
Chapitre : Statistique inférentielle
Ce que vous travaillez
Estimateur d'un paramètre, réalisation de l'estimateur sur un échantillon observé ; biais, estimateur sans biais, estimateur asymptotiquement sans biais ; risque quadratique et sa décomposition en carré du biais plus variance ; comparaison de deux estimateurs par leur risque ; convergence d'un estimateur ; méthode des moments ; vraisemblance d'un échantillon, log-vraisemblance et estimateur du maximum de vraisemblance, y compris quand le maximum n'est pas atteint en annulant une dérivée ; construction d'un intervalle de confiance pour une moyenne GAUSSIENNE, à variance connue puis à variance estimée (loi de Student) ; le cas de la proportion, qui repose sur le théorème central limite, n'est pas repris ici : il appartient à `math.probability.limit-theorems`.
À maîtriser avant de commencer
Ces notions sont utilisées ici. Relisez-les si l’une d’elles vous échappe.
- Échantillon, statistiques empiriques et lois d'échantillonnage — Modèle statistique et échantillon de variables indépendantes de même loi ; statistique comme fonction de l'échantillon, distinguée du paramètre qu'elle vise ; moyenne empirique et variance empirique corrigée, espérance et variance de la moyenne empirique ; loi du khi-deux comme somme de carrés de variables normales centrées réduites indépendantes, son nombre de degrés de liberté, son espérance ; loi de Student comme rapport d'une normale centrée réduite à la racine d'un khi-deux réduit indépendant, symétrie et convergence vers la loi normale ; loi de Fisher comme rapport de deux khi-deux réduits indépendants ; théorème de Fisher pour un échantillon gaussien — indépendance de la moyenne et de la variance empiriques, loi de chacune — ADMIS à ce niveau.
- Inégalités de concentration et théorèmes limites — Inégalité de Markov, inégalité de Bienaymé-Tchebychev et les hypothèses qui les autorisent ; convergence en probabilité et loi faible des grands nombres ; énoncé de la loi forte des grands nombres et différence entre les deux modes de convergence ; convergence en loi ; théorème central limite pour une suite de variables indépendantes de même loi et de variance finie, portant sur la somme CENTRÉE et RÉDUITE ; approximation d'une loi binomiale et construction d'un intervalle de confiance asymptotique pour une proportion.
- Variations et optimisation — Signe de la dérivée et sens de variation, tableau de variations, extremums locaux, problèmes d'optimisation.
- Fonction logarithme népérien — Réciproque de l'exponentielle, ln(ab) = ln a + ln b, ln(a^n) = n ln a, variations, dérivée 1/x, résolution d'équations e^x = k.
Comment se déroule la séance
Cette séance s’appuie sur 1 exercice vérifié. Chacun produit un nouvel énoncé à chaque ouverture, avec une solution calculée.
Formats de réponse : Réponse numérique (1). Difficulté 5 sur 5. Environ 5 minutes pour un premier passage.
Dans votre compte : aide graduée (indice, rappel de cours, aide au démarrage), corrigé pas à pas après chaque tentative, suivi de vos progrès.
Essayez un exercice, sans compte
Un exercice réel de cette séance, le même pour chaque visiteur. Répondez, puis vérifiez : la correction est calculée, et le corrigé s’affiche après votre tentative.
Difficulté 5 sur 5 · ≈ 5 minutes
Énoncé
On observe 406 variables i.i.d. d’espérance μ et de variance 29. L’estimateur est . Calculez son risque quadratique .
Donnez la valeur numérique demandée, avec au moins six chiffres significatifs si nécessaire.
Votre réponse
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