Fiche de révision : Statistique inférentielle

Les notions de cette fiche

• Échantillon, statistiques empiriques et lois d'échantillonnage — Modèle statistique et échantillon de variables indépendantes de même loi ; statistique comme fonction de l'échantillon, distinguée du paramètre qu'elle vise ; moyenne empirique et variance empirique corrigée, espérance et variance de la moyenne empirique ; loi du khi-deux comme somme de carrés de variables normales centrées réduites indépendantes, son nombre de degrés de liberté, son espérance ; loi de Student comme rapport d'une normale centrée réduite à la racine d'un khi-deux réduit indépendant, symétrie et convergence vers la loi normale ; loi de Fisher comme rapport de deux khi-deux réduits indépendants ; théorème de Fisher pour un échantillon gaussien — indépendance de la moyenne et de la variance empiriques, loi de chacune — ADMIS à ce niveau.
• Tests du khi-deux : ajustement à une loi et indépendance de deux caractères — Effectifs observés et effectifs théoriques ; statistique du khi-deux comme somme, sur les classes, du carré de l'écart divisé par l'effectif théorique ; test d'ajustement d'une distribution observée à une loi donnée, degrés de liberté et retrait d'un degré par paramètre estimé sur les données ; tableau de contingence à deux caractères qualitatifs, effectifs théoriques sous l'hypothèse d'indépendance obtenus par les marges, degrés de liberté du test d'indépendance ; conditions de validité portant sur les effectifs THÉORIQUES et regroupement des classes trop peu fournies ; lecture du résultat comme une liaison, jamais comme une causalité ni comme une mesure d'intensité.
• Estimation ponctuelle : biais, risque quadratique et maximum de vraisemblance — Estimateur d'un paramètre, réalisation de l'estimateur sur un échantillon observé ; biais, estimateur sans biais, estimateur asymptotiquement sans biais ; risque quadratique et sa décomposition en carré du biais plus variance ; comparaison de deux estimateurs par leur risque ; convergence d'un estimateur ; méthode des moments ; vraisemblance d'un échantillon, log-vraisemblance et estimateur du maximum de vraisemblance, y compris quand le maximum n'est pas atteint en annulant une dérivée ; construction d'un intervalle de confiance pour une moyenne GAUSSIENNE, à variance connue puis à variance estimée (loi de Student) ; le cas de la proportion, qui repose sur le théorème central limite, n'est pas repris ici : il appartient à `math.probability.limit-theorems`.
• Tests d'hypothèses : risques, région critique et p-valeur — Hypothèse nulle et hypothèse alternative, dissymétrie assumée entre les deux ; statistique de test et région critique ; risque de première espèce (rejeter une hypothèse nulle vraie) et risque de seconde espèce (ne pas rejeter une hypothèse nulle fausse), puissance d'un test et son lien avec la taille de l'échantillon ; test unilatéral et test bilatéral ; p-valeur et sa lecture correcte ; test de conformité d'une moyenne, à variance connue puis estimée (test de Student), test de conformité d'une proportion, test de comparaison de deux moyennes ; ce qu'un test ne dit pas — une différence significative n'est pas une différence importante.

À maîtriser avant de commencer

Ces notions sont utilisées ici. Relisez-les si l’une d’elles vous échappe.

• Inégalités de concentration et théorèmes limites — Inégalité de Markov, inégalité de Bienaymé-Tchebychev et les hypothèses qui les autorisent ; convergence en probabilité et loi faible des grands nombres ; énoncé de la loi forte des grands nombres et différence entre les deux modes de convergence ; convergence en loi ; théorème central limite pour une suite de variables indépendantes de même loi et de variance finie, portant sur la somme CENTRÉE et RÉDUITE ; approximation d'une loi binomiale et construction d'un intervalle de confiance asymptotique pour une proportion.
• Variables aléatoires à densité — Variable aléatoire réelle à densité, fonction de répartition et lien avec la densité ; probabilité d'un intervalle comme intégrale de la densité, et conséquence sur la probabilité d'une valeur isolée ; espérance et variance comme intégrales ; lois usuelles : uniforme sur un intervalle, exponentielle et son absence de mémoire, normale et lecture d'une table après centrage et réduction ; simulation d'une loi par inversion de la fonction de répartition.
• Dispersion : étendue, quartiles, écart-type — Étendue, quartiles et écart interquartile, écart-type, comparaison de séries, diagramme en boîte.
• Statistique à deux variables : covariance, corrélation et moindres carrés — Série statistique double et nuage de points ; covariance et coefficient de corrélation linéaire, encadrement entre −1 et 1 et lecture de son signe ; droite de régression obtenue par la méthode des moindres carrés, passage par le point moyen ; coefficient de détermination et part de variance expliquée ; limites : une corrélation n'est pas une causalité, elle ne mesure qu'une liaison LINÉAIRE, et un point aberrant la déplace fortement.
• Variations et optimisation — Signe de la dérivée et sens de variation, tableau de variations, extremums locaux, problèmes d'optimisation.
• Fonction logarithme népérien — Réciproque de l'exponentielle, ln(ab) = ln a + ln b, ln(a^n) = n ln a, variations, dérivée 1/x, résolution d'équations e^x = k.

S’entraîner sur ces notions

• S’entraîner : Échantillons, statistiques empiriques et fluctuations
• S’entraîner : Tests du khi-deux : ajustement et indépendance
• S’entraîner : Estimateurs, biais et risque quadratique
• S’entraîner : Hypothèses, seuil et valeur-p

Pour aller plus loin

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