Le logarithme népérien : retrouver un exposant

L’exponentielle transforme un réel $y$ en un nombre strictement positif $e^y$. Elle est continue, strictement croissante et prend toutes les valeurs strictement positives. Ainsi, pour chaque $x>0$, il existe un unique réel $y$ tel que $e^y=x$.

Le logarithme népérien de $x$, noté $\ln x$, est ce réel $y$. La fonction logarithme est donc la fonction réciproque de l’exponentielle : elle permet de remonter du résultat à l’exposant. On a $\ln x=y$ si et seulement si $e^y=x$, avec $x>0$.

Puisque $e^0=1$, on obtient $\ln1=0$. Puisque $e^1=e$, on a $\ln e=1$. Plus généralement, $\ln(e^y)=y$ pour tout réel $y$, et $e^{\ln x}=x$ pour tout $x>0$. Les domaines différents de ces deux identités sont essentiels.

L’exponentielle ne vaut jamais zéro et ne prend jamais de valeur négative. Il n’existe donc pas de logarithme népérien réel de zéro ou d’un nombre négatif. En revanche, un logarithme peut être négatif : $\ln(e^{-2})=-2$, bien que son argument $e^{-2}$ soit positif.

Enfin, « réciproque » ne signifie pas « inverse multiplicatif ». Le logarithme permet de retrouver l’entrée de l’exponentielle ; la fonction $x\mapsto1/e^x$ calcule autre chose, à savoir $e^{-x}$.

Pourquoi le logarithme transforme-t-il un produit en somme ? Pour $a>0$ et $b>0$, écrivons $a=e^{\ln a}$ et $b=e^{\ln b}$. La règle de l’exponentielle donne $ab=e^{\ln a+\ln b}$. Prendre le logarithme conduit à $\ln(ab)=\ln a+\ln b$.

On en déduit $\ln(a/b)=\ln a-\ln b$ et $\ln(a^n)=n\ln a$ pour un entier relatif $n$, avec $a>0$. En particulier, $\ln(1/a)=-\ln a$ et $\ln(\sqrt a)=\frac12\ln a$. Aucune propriété semblable ne transforme une somme à l’intérieur du logarithme en somme de logarithmes.

La dérivabilité du logarithme est admise au programme. En dérivant $e^{\ln x}=x$ pour $x>0$, la règle de composition donne $e^{\ln x}(\ln x)'=1$. Comme $e^{\ln x}=x$, on obtient $(\ln x)'=1/x$. Cette dérivée est positive : le logarithme est strictement croissant. Il est négatif sur $]0;1[$, nul en un et positif sur $]1;+\infty[$.

Ses limites sont $\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty$ et $\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$. Il croît sans borne mais plus lentement que toute puissance entière positive : pour $n\geq1$, $\lim_{x\to+\infty}(\ln x)/x^n=0$. À l’autre extrémité, $\lim_{x\to0^+}x^n\ln x=0$. Ces résultats de croissance comparée sont admis ici.

Le logarithme décimal, noté $\log_{10}$, cherche un exposant de dix : $\log_{10}(10)=1$. En revanche, $\ln(10)$ n’est pas égal à un.

Énoncé construit. Résoudre $\ln(2x-1)=2$ et donner une valeur arrondie au centième.

1. Déterminer le domaine. Il faut $2x-1>0$, donc $x>1/2$. On cherche uniquement sur $]1/2;+\infty[$.

2. Revenir à l’exponentielle. Par définition du logarithme, $\ln(2x-1)=2$ équivaut à $2x-1=e^2$.

3. Isoler l’inconnue. On trouve $x=(e^2+1)/2$. Cette solution est dans le domaine car $e^2>0$.

4. Arrondir à la fin. Le calcul donne $x\approx4{,}19$. La forme avec $e^2$ est exacte ; la décimale est seulement une approximation.

5. Vérifier avec la forme exacte. En remplaçant $x$ par $(e^2+1)/2$, on obtient $2x-1=e^2$, puis $\ln(e^2)=2$.

Pour une inéquation comme $\ln(2x-1)<2$, le domaine reste obligatoire. La croissance stricte permet d’écrire $2x-1<e^2$, donc l’ensemble des solutions est $]1/2;(e^2+1)/2[$. La borne inférieure vient du domaine, pas de l’inéquation transformée.

Dans un repère orthonormé, le dessin montre les courbes $y=e^x$ et $y=\ln x$, ainsi que la droite $y=x$. La symétrie par rapport à cette droite échange les coordonnées : le point $(0;1)$ de l’exponentielle correspond au point $(1;0)$ du logarithme, et $(1;e)$ correspond à $(e;1)$.

L’exponentielle reste au-dessus de l’axe horizontal ; le logarithme reste à droite de l’axe vertical. Près de zéro, du côté positif, la courbe du logarithme descend sans borne. Elle monte ensuite de plus en plus lentement. Les courbes et la droite sont nommées et distinguées par leurs traits.

La lecture de ce dessin vectoriel suffit à retrouver les domaines et le sens de variation : échanger entrée et sortie explique la réciprocité. La courbe logarithmique ne traverse jamais l’axe vertical.