Variations et optimisation : la dérivée comme outil

La leçon précédente a fait de la dérivée un objet : $f'(a)$ est la pente de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$. Cette leçon en fait un outil. La question qu'elle résout est simple à formuler : comment savoir, par le calcul et sans tracer la courbe, où une fonction monte, où elle descend, et où elle atteint son plus grand ou son plus petit résultat ?

L'idée. Pour une fonction dérivable croissante sur un intervalle, les pentes des tangentes sont positives ou nulles ; pour une fonction dérivable décroissante, elles sont négatives ou nulles. Et si la courbe est horizontale sur un intervalle (fonction constante), toutes les pentes sont nulles. Puisque la pente de la tangente en $a$ est $f'(a)$, le signe de $f'$ contient le sens de variation de $f$. C'est le théorème central de l'année.

Théorème utilisé ici sans démonstration. Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Si $f'(x) \geqslant 0$ pour tout $x$ de $I$, alors $f$ est croissante sur $I$. Si $f'(x) \leqslant 0$ pour tout $x$ de $I$, alors $f$ est décroissante sur $I$. Si $f'(x) = 0$ pour tout $x$ de $I$, alors $f$ est constante sur $I$.

Le mot intervalle n'est pas décoratif. La fonction inverse $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ a une dérivée $-\dfrac{1}{x^2}$ strictement négative partout où elle est définie, et pourtant elle n'est pas décroissante sur $\mathbb{R}^*$ : $-1 < 1$ et $f(-1) = -1 < 1 = f(1)$. Elle est décroissante sur $]-\infty\ ;\ 0[$ et décroissante sur $]0\ ;\ +\infty[$, séparément. Le théorème s’applique sur chaque intervalle ; il ne suffit pas à comparer des points situés dans des composantes distinctes. Une autre preuve peut néanmoins établir une monotonie sur un ensemble troué, comme pour $f(x)=x$ sur $\mathbb R^*$.

Le premier exemple, à la main. Prenons $f(x) = x^2$. On sait que $f'(x) = 2x$. Ce nombre est négatif pour $x < 0$, nul en $0$, positif pour $x > 0$. Le théorème conclut : $f$ est décroissante sur $]-\infty\ ;\ 0]$ et croissante sur $[0\ ;\ +\infty[$ — ce que la parabole montrait déjà en seconde, mais qui est maintenant démontré, et par une méthode qui marchera pour des fonctions dont on ne connaît pas la courbe.

Le tableau de variations. On range ce raisonnement dans un tableau à trois lignes : la ligne des valeurs de $x$ (avec les bornes de l'ensemble de définition et les valeurs qui annulent $f'$), la ligne du signe de $f'$, la ligne des variations de $f$ (une flèche montante ou descendante par intervalle, et aux extrémités des flèches les valeurs de $f$ que l'on sait calculer). Pour $f(x) = x^2$ : $x$ va de $-\infty$ à $+\infty$ avec $0$ au milieu ; $f'$ est notée $-$ puis $0$ puis $+$ ; $f$ descend jusqu'à $f(0) = 0$ puis remonte. Le tableau n'est pas un dessin : c'est un résumé de preuve, chaque flèche y étant justifiée par le signe écrit juste au-dessus.

Deux précisions utiles. D'abord, la dérivée peut s'annuler en un point isolé sans casser la monotonie : $x \mapsto x^3$ a pour dérivée $3x^2 \geqslant 0$, nulle seulement en $0$, et elle est croissante sur $\mathbb{R}$ tout entier (elle est même strictement croissante). Ensuite, la réciproque du théorème est vraie : si $f$ dérivable est croissante sur $I$, alors $f' \geqslant 0$ sur $I$ — une tangente ne peut pas descendre là où la courbe monte.

Extremum local. On dit que $f$ admet un maximum local en $a$ lorsque $f(a)$ est la plus grande valeur de $f$ sur un intervalle ouvert contenant $a$ — « autour de $a$ », pas nécessairement sur tout l'ensemble de définition. Même définition, avec « plus petite », pour un minimum local. Un tableau montrant une montée suivie d’une descente met en évidence un maximum local ; les variations inverses donnent un minimum. Cette image n’exclut pas les plateaux, qui fournissent des extrema locaux non stricts.

Une condition nécessaire. Si $f$ est dérivable et admet un extremum local en $a$, avec $a$ à l'intérieur de l'intervalle (pas à une borne), alors $f'(a) = 0$ : la tangente au sommet d'une bosse est horizontale. C'est pourquoi la première chose à faire est de résoudre $f'(x) = 0$ — les extremums sont à chercher parmi ces solutions.

Mais pas suffisante. L’annulation fournit des candidats, pas un verdict. Reprenons $f(x) = x^3$ : $f'(0) = 0$, la tangente en $0$ est horizontale, et pourtant $f$ n'a aucun extremum en $0$ — elle est croissante avant, croissante après, elle ne fait que ralentir un instant. Ce qui manque, c'est le changement de signe de $f'$ : pour $x^3$, $f'(x) = 3x^2$ est positive des deux côtés de $0$.

Critère suffisant. Si $f$ est dérivable près d’un point intérieur $a$ et si $f'$ est strictement positive juste à gauche et strictement négative juste à droite, $f$ admet un maximum local en $a$ ; avec les signes inverses, un minimum local. Ce changement de signe n’est pas une condition nécessaire générale : une fonction constante admet par exemple des maxima et minima locaux non stricts sans changement de signe.

La conclusion se lit donc sur la ligne du signe, jamais sur la seule équation $f'(a) = 0$.

Local ou global ? Pour une fonction continue sur un intervalle fermé borné $[u;v]$, le maximum global et le minimum global sont atteints. Si elle est dérivable à l’intérieur, un extremum global intérieur satisfait $f'(a)=0$ ; il faut donc comparer ces candidats et les bornes. Un changement de signe peut qualifier un candidat, mais ne remplace pas cette comparaison. C'est le point où beaucoup de copies se perdent : une fonction peut être croissante sur tout l'intervalle autorisé, et son maximum est alors en $v$, sans qu'aucune dérivée ne s'annule nulle part. Le tableau de variations, avec ses valeurs aux bornes, tranche à coup sûr.

La méthode pour un problème d'optimisation. Un problème d'optimisation demande la valeur d'une variable qui rend une grandeur (aire, recette, volume, coût) la plus grande ou la plus petite possible. Le protocole, dans l'ordre :

1. Choisir la variable $x$ et écrire la grandeur comme une fonction de $x$ : $g(x)$. C'est l'étape de modélisation, souvent la plus délicate — les contraintes de l'énoncé (un périmètre fixé, une plaque de largeur donnée) servent à éliminer les autres inconnues.
2. Préciser l'intervalle où $x$ peut varier : une longueur est positive, un côté ne dépasse pas le mur, un prix a un plafond. Le domaine admissible doit être identifié : il peut être un intervalle, un autre ensemble ou un ensemble discret. La méthode présentée ici traite les intervalles ; des valeurs entières imposent ensuite une comparaison des candidats admissibles.
3. Dériver $g$ et résoudre $g'(x) = 0$.
4. Étudier le signe de $g'$ sur l'intervalle et dresser le tableau de variations, valeurs aux bornes comprises.
5. Conclure en distinguant deux réponses : la valeur de $x$ qui réalise l'optimum, et la valeur optimale $g(x)$ elle-même. L'énoncé demande l'une ou l'autre — lisez-le attentivement.

Dans les problèmes quadratiques de ce parcours, $g(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq0$ : sa dérivée $2ax + b$ s'annule en $-\dfrac{b}{2a}$, ce qui retrouve l'abscisse du sommet de la parabole vue au chapitre du second degré. Les deux chapitres disent la même chose ; la dérivée a l'avantage de marcher aussi au degré 3, où la parabole n'aide plus.

Énoncé. Une feuille carrée de 10 cm de côté est découpée aux quatre coins en carrés de côté $x$, puis pliée pour former une boîte ouverte. La machine impose $0{,}5\leqslant x\leqslant1{,}5$ cm. Déterminez le volume maximal autorisé. Comparez au cas où la machine accepte jusqu’à 2 cm.

Modéliser. La hauteur vaut $x$ et les deux côtés du fond valent $10-2x$, positifs sur les deux intervalles étudiés. Le volume est

Dériver et lire les signes.

Sur $[0{,}5;1{,}5]$, les deux facteurs sont positifs. Le volume augmente donc jusqu’à la borne 1,5 :

Le point stationnaire $x=5/3$ est hors du premier intervalle autorisé.

Modifier seulement la contrainte. Sur $[0{,}5;2]$, le facteur $10-2x$ reste positif, tandis que $10-6x$ change de signe en $5/3$. Le maximum est alors atteint en $x=5/3$ :

Les bornes donnent $V(0{,}5)=40{,}5$ et $V(2)=72$, toutes deux inférieures. La valeur $x=5$, autre zéro de la dérivée, ne fait partie d’aucun des deux domaines.

Conclure. La même fonction donne deux réponses selon les contraintes : 73,5 cm³ au premier réglage, environ 74,07 cm³ au second. La dérivée trouve des candidats ; le domaine et les valeurs comparées déterminent l’optimum.

Figure (SVG programmatique existant) : deux panneaux superposés, qui mettent en regard la courbe, le signe de la dérivée et le tableau de variations de un exemple de polynôme cubique puis une contrainte d’intervalle sur une aire, distincts du guidage.

• Panneau du haut — la fonction $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$. Un repère orthonormé, $x$ de $-1{,}5$ à $3{,}5$, $y$ de $-1$ à $5$, quadrillage léger. La courbe en trait plein épais. Deux tangentes horizontales en tirets, l'une au point $(0\ ;\ 4)$, l'autre au point $(2\ ;\ 0)$, chacune avec son point de contact marqué d'un petit disque et coté. Sous l'axe des abscisses, une bande de signe alignée sur la courbe : hachurée dans un sens et marquée « $f' > 0$ » de part et d'autre de $[0\ ;\ 2]$, hachurée dans l'autre sens et marquée « $f' < 0$ » entre $0$ et $2$ ; les deux frontières de la bande tombent exactement sous les points de contact des tangentes. À droite, le tableau de variations dessiné à la règle : ligne $x$ ($-\infty$, $0$, $2$, $+\infty$), ligne « signe de $f'$ » ($+$, $0$, $-$, $0$, $+$), ligne « variations de $f$ » avec trois flèches et les valeurs $4$ et $0$ aux sommets. Un trait de rappel relie le « $0$ » de la ligne du signe au point $(0\ ;\ 4)$ de la courbe. En médaillon, une petite vignette de $y = x^3$ avec sa tangente horizontale en l'origine et la mention « $f'(0) = 0$ sans extremum : $f'$ ne change pas de signe ».
• Panneau du bas — l'aire de l'enclos $\mathcal{A}(x) = x(40 - 2x)$. Axe des $x$ de $0$ à $20$ (mètres), axe des ordonnées de $0$ à $220$ (mètres carrés). La parabole en trait plein, son sommet $(10\ ;\ 200)$ marqué et coté « aire maximale sans contrainte ». La zone $[14\ ;\ 20]$ est surlignée d'un fond clair, bordée à gauche d'un trait vertical épais coté « mur de $12$ m : $x \geqslant 14$ ». Sur cette zone, la parabole ne fait que descendre ; le point $(14\ ;\ 168)$ est marqué d'un disque plein et coté « maximum sur l'intervalle autorisé ». Le sommet $(10\ ;\ 200)$, hors de la zone, est barré d'une croix légère avec la mention « hors intervalle ». Sous l'axe, le schéma de l'enclos : le mur en trait épais, les trois côtés de grillage en trait fin, cotés $x$, $x$ et $40 - 2x$.

Ce qu'il faut lire. Sur le panneau du haut, les trois objets — courbe, bande de signe, tableau — sont alignés : la courbe monte exactement là où la bande dit $f' > 0$, et le tableau n'est que la transcription de cette bande. Les tangentes horizontales tombent aux frontières, ni avant ni après : c'est le changement de signe, visible, qui fait l'extremum — et la vignette de $x^3$ montre une tangente horizontale sans changement de signe, donc sans sommet. Sur le panneau du bas, le sommet de la parabole existe toujours, mais il est hors de la zone autorisée : le maximum utile est au bord, en $x = 14$. La croix sur le sommet est le rappel de la troisième erreur du chapitre.

La figure en détail : en haut, la courbe d'une fonction de degré trois qui monte, atteint un sommet en abscisse zéro à la hauteur quatre, redescend jusqu'à un creux en abscisse deux à la hauteur zéro, puis remonte ; deux segments horizontaux en pointillés touchent la courbe au sommet et au creux. Sous la courbe, une bande indique où la dérivée est positive (à gauche de zéro et à droite de deux) et où elle est négative (entre zéro et deux). À droite, un tableau à trois lignes reprend ces informations avec des flèches montante, descendante, montante. En bas, une parabole tournée vers le bas représente l'aire d'un enclos selon la longueur d'un côté ; son sommet est en abscisse dix, hauteur deux cents, mais une zone claire commence en abscisse quatorze et s'étend vers la droite : dans cette zone, la parabole descend, et son point le plus haut est au bord gauche, en abscisse quatorze, hauteur cent soixante-huit.