Mathématiques · Quatrième · 1 leçon

Fiche de révision : Espace et géométrie

L’essentiel de chaque leçon du chapitre, tel qu’il est écrit dans le cours : à relire, à imprimer, puis à vérifier par l’entraînement.

Les notions de cette fiche

Théorème de Pythagore — Énoncé, réciproque et contraposée ; calcul d'une longueur dans un triangle rectangle ; démontrer qu'un triangle est ou n'est pas rectangle.

À maîtriser avant de commencer

Ces notions sont utilisées ici. Relisez-les si l’une d’elles vous échappe.

Triangles et angles — Somme des angles d'un triangle, inégalité triangulaire, triangles particuliers, construction au compas et au rapporteur.
Racines carrées — Définition de √a pour a ≥ 0, carrés parfaits, calcul d'une racine carrée à la calculatrice, lien avec le théorème de Pythagore.

Le début de la fiche

Extrait de la leçon « Le théorème de Pythagore, sa réciproque, et la différence entre les deux », tel qu’il figure sur la fiche.

Les relations à retenir

$ABC \text{ rectangle en } A \;\Longrightarrow\; BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}$
$BC = \sqrt{AB^{2} + AC^{2}} \qquad AC = \sqrt{BC^{2} - AB^{2}} \qquad AB = \sqrt{BC^{2} - AC^{2}}$
$\text{Réciproque : } BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} \;\Longrightarrow\; ABC \text{ rectangle en } A$
$\text{Contraposée : } BC^{2} \neq AB^{2} + AC^{2} \;\Longrightarrow\; ABC \text{ n'est pas rectangle en } A$
$\text{Triplets : } 3^{2}+4^{2}=5^{2} \quad 5^{2}+12^{2}=13^{2} \quad 8^{2}+15^{2}=17^{2} \quad 7^{2}+24^{2}=25^{2}$

Tableau : Ce que tu veux faire, L'outil, Ce qu'il faut avoir
Ce que tu veux faire	L'outil	Ce qu'il faut avoir
Calculer l'hypoténuse	théorème, on additionne	l'angle droit donné et les deux côtés
Calculer un côté de l'angle droit	théorème, on soustrait	l'angle droit donné, l'hypoténuse et un côté
Démontrer qu'un triangle est rectangle	réciproque	les trois longueurs, et l'égalité des carrés
Démontrer qu'il ne l'est pas	contraposée	les trois longueurs, et l'inégalité des carrés

Domaine de validité. L’égalité du théorème direct exige un triangle rectangle. La réciproque et la contraposée permettent justement d’examiner si un triangle l’est. Dans un quadrilatère, on peut parfois appliquer le théorème à un triangle rectangle qu’on y a identifié, mais pas directement aux quatre côtés.

Unités. Pour effectuer directement le calcul numérique, exprime les longueurs dans une même unité. Des écritures avec unités différentes restent interprétables si les conversions sont correctement conservées, y compris sur les carrés. Attention, en élevant au carré, on manipule des aires : $1$ m $= 100$ cm, mais $1$ m² $= 10\,000$ cm². Le plus simple est de tout convertir en une seule unité de longueur dès le départ. Le résultat, lui, porte l'unité des données.

Chiffres significatifs. Les chiffres significatifs d'un nombre sont ses chiffres écrits à partir du premier chiffre non nul : $4{,}50$ en a trois. Dans les exercices qui demandent trois chiffres significatifs, on présente la réponse avec ce format, par exemple $7,50$ cm ; cela ne constitue pas une loi générale de propagation des incertitudes. N’arrondis qu'à la fin, après la racine carrée : arrondir le carré décale le résultat. Et écris $\approx$ , non $=$ , quand la valeur est approchée.

Rédaction attendue. Trois éléments, dans cet ordre : la phrase d'hypothèse (« le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ »), le nom du théorème invoqué, puis le calcul. Pour la réciproque, les deux membres calculés séparément avant toute comparaison.

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S’entraîner sur ces notions

S’entraîner : Le théorème de Pythagore, sa réciproque, et la différence entre les deux

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