La racine carrée : le nombre dont on connaît le carré

Élever au carré, tu sais faire : $7^{2} = 49$. La racine carrée pose la question inverse : quel nombre, élevé au carré, donne $49$ ?

Deux nombres conviennent, $7$ et $-7$, puisque $(-7)^{2} = 49$ aussi. Pour que la réponse soit unique, on choisit le positif. D'où la définition :

Pour un nombre $a$ positif ou nul, la racine carrée de $a$, notée $\sqrt{a}$, est l'unique nombre positif dont le carré vaut $a$.

Le symbole $\sqrt{\phantom{a}}$ s'appelle le radical, et le nombre placé dessous s'appelle le radicande. La barre horizontale du radical joue le rôle d'une parenthèse : tout ce qui est dessous doit être calculé avant de prendre la racine.

Deux conséquences immédiates. Puisque $\sqrt{a}$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$ :

Pourquoi un nombre négatif n'a pas de racine carrée. Un carré n'est jamais négatif : le carré d'un nombre positif est positif, et le carré d'un nombre négatif l'est aussi (deux facteurs négatifs). Aucun nombre ne peut donc avoir un carré égal à $-9$ : $\sqrt{-9}$ n'existe pas. Ta calculatrice affichera un message d'erreur, et elle aura raison.

Le mécanisme, avec une aire. L'exemple le plus parlant est géométrique. L'aire d'un carré de côté $c$ vaut $c^{2}$. Donc, si l'on connaît l'aire et qu'on cherche le côté, on prend la racine carrée :

Un carré d'aire $36$ cm² a un côté de $6$ cm. C'est aussi la raison pour laquelle on retient « racine carrée » : elle fait passer de l'aire d'un carré à son côté. Et le choix du nombre positif prend ici tout son sens : une longueur ne peut pas être négative.

Les carrés parfaits. Un carré parfait est un nombre entier qui est le carré d'un entier. Ce sont les racines qu'on doit savoir donner sans calculatrice.

Apprends ce tableau : il sert dans presque tous les exercices de Pythagore.

Quand le radicande n'est pas un carré parfait. $\sqrt{50}$ n'est pas un entier, et ce n'est même pas un nombre décimal : son écriture décimale ne s'arrête jamais et ne se répète pas. On ne peut donc en donner qu'une valeur approchée. La calculatrice affiche $7{,}071\,067\,81\ldots$ ; ce n'est pas la valeur exacte, seulement les premières décimales. La valeur exacte, elle, s'écrit $\sqrt{50}$ — et on la laisse ainsi tant qu'on peut.

Encadrer entre deux entiers consécutifs. Sans calculatrice, on situe $\sqrt{N}$ entre deux entiers en encadrant $N$ par deux carrés parfaits consécutifs. Pour $N = 50$ :

Comme l'ordre des nombres positifs est conservé quand on prend les racines carrées, on en déduit

Cette méthode donne le premier chiffre gratuitement, et c'est un contrôle imparable de tout résultat de calculatrice.

Arrondir. « Arrondir au centième » veut dire garder deux décimales, en regardant la troisième : si elle vaut $5$ ou plus, on augmente la deuxième décimale de $1$ ; sinon on la laisse. La calculatrice donne $\sqrt{23} \approx 4{,}795\,8$ ; la troisième décimale est $5$, donc l'arrondi au centième est $4{,}80$. On écrit bien $4{,}80$ et non $4{,}8$ : le zéro final indique qu'on a répondu au centième, comme demandé.

Attention à la différence entre arrondir et tronquer. Tronquer, c'est couper les décimales suivantes sans regarder ($4{,}79$) ; arrondir, c'est choisir la valeur la plus proche ($4{,}80$). Quand l'énoncé dit « arrondi », la troncature est fausse.

Ce qu'il ne faut pas inventer. La racine carrée ne se distribue pas sur une addition :

$5 \neq 7$ : la règle inventée est fausse, et le contre-exemple le prouve définitivement. La barre du radical fonctionne comme une parenthèse : on calcule d'abord dessous, ensuite on prend la racine.

De manière générale, aucune propriété de calcul sur les racines carrées n'est à connaître en 4e. Tu n'as besoin que de trois choses : la définition, la table des carrés parfaits, et la calculatrice. Si tu te surprends à écrire une règle sur les racines que tu n'as pas vue en cours, c'est probablement qu'elle est fausse.

Racine carrée d'un carré : attention au signe. Pour un nombre positif, la racine et le carré s'annulent : $\sqrt{5^{2}} = \sqrt{25} = 5$. Mais avec un nombre négatif, le résultat n'est pas celui qu'on attend :

C'est logique : une racine carrée est toujours positive, par définition. Retiens la règle sous sa forme utile en 4e : $\sqrt{a^{2}} = a$ si $a$ est positif — et le carré d'un nombre efface son signe.

À quoi cela sert tout de suite. Le théorème de Pythagore fournit un carré de longueur ($BC^{2} = 25$) ; c'est la racine carrée qui donne la longueur ($BC = 5$). Sans racine carrée, un calcul de Pythagore reste inachevé. C'est d'ailleurs pour cela que la racine carrée est introduite en 4e, juste à côté de Pythagore.

Énoncé. 1) Calculer $\sqrt{144}$ sans calculatrice. 2) Un massif de fleurs carré a une aire de $20{,}0$ m² ; calculer son côté en mètres, avec trois chiffres significatifs. 3) Calculer $\sqrt{9 + 16}$ sans calculatrice. 4) Donner la valeur arrondie au centième de $\sqrt{23}$. 5) Encadrer $\sqrt{50}$ entre deux entiers consécutifs.

1) $\sqrt{144}$. On cherche le nombre positif dont le carré vaut $144$. Le tableau des carrés parfaits donne $12^{2} = 144$.

Contrôle : $12 \times 12 = 144$. Correct. Et $\sqrt{144}$ n'est pas $72$ : diviser par $2$ n'a rien à voir avec prendre la racine carrée.

2) Le côté du massif. L'aire d'un carré de côté $c$ vaut $c^{2}$. On cherche donc $c$ tel que

$20$ n'est pas un carré parfait : la calculatrice est nécessaire. Elle affiche $4{,}472\,135\,9\ldots$ ; avec trois chiffres significatifs,

Contrôle par encadrement : $16 < 20 < 25$, donc $4 < \sqrt{20} < 5$. La valeur $4{,}47$ est bien dans cet intervalle. Contrôle direct : $4{,}47^{2} = 19{,}98$, très proche de $20{,}0$ — l'écart vient de l'arrondi.

3) $\sqrt{9 + 16}$. La barre du radical est une parenthèse : on calcule d'abord dessous.

Le piège : $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$. Sept n'est pas cinq. La racine d'une somme n'est pas la somme des racines, et ce calcul le prouve.

4) $\sqrt{23}$ arrondi au centième. $23$ n'est pas un carré parfait. La calculatrice donne

On veut deux décimales : on regarde la troisième, qui vaut $5$. Elle est supérieure ou égale à $5$, donc on augmente la deuxième décimale de $1$ : $9 + 1 = 10$, ce qui fait passer $4{,}79$ à $4{,}80$.

On écrit $4{,}80$ et non $4{,}8$ : la consigne demandait le centième, le zéro final le montre.

5) Encadrement de $\sqrt{50}$. On cherche deux carrés parfaits consécutifs qui encadrent $50$ : $49$ et $64$, c'est-à-dire $7^{2}$ et $8^{2}$.

Le plus petit des deux entiers est $7$. Contrôle à la calculatrice : $\sqrt{50} \approx 7{,}07$, bien situé entre $7$ et $8$.

Figure (fig.math.square-root-area, SVG programmatique à produire) : trois panneaux qui donnent à la racine carrée un sens géométrique, un rang sur la droite numérique, et un contre-exemple.

• Panneau de gauche — la racine carrée est un côté. Deux carrés dessinés à l'échelle, côte à côte. Le premier, d'aire $36$, est quadrillé en $36$ petits carrés unités ; son côté est coté $6$, et une double flèche horizontale porte la mention « $\sqrt{36} = 6$ ». Le second, d'aire $20$, est dessiné à la même échelle mais sans quadrillage possible : son côté, coté $\approx 4{,}47$, tombe entre deux lignes du quadrillage, qui restent visibles en pointillés fins. Une légende sous les deux carrés : « l'aire est donnée, le côté se calcule ».
• Panneau central — encadrer $\sqrt{50}$. Une droite graduée horizontale de $6$ à $9$, avec les entiers marqués. Trois carrés miniatures posés au-dessus de la droite, chacun relié à sa position : le carré d'aire $49$ au-dessus de $7$, le carré d'aire $64$ au-dessus de $8$, et entre eux un carré d'aire $50$ dont le côté est très légèrement plus grand que celui du carré $49$. Un segment épais couvre l'intervalle allant de $7$ à $8$ et porte la mention « $7 < \sqrt{50} < 8$ » ; le point $\sqrt{50} \approx 7{,}07$ est marqué d'une croix, tout près de $7$. Sous la droite, la ligne $49 < 50 < 64$.
• Panneau de droite — le contre-exemple. Trois carrés d'aires $9$, $16$ et $25$, dessinés à la même échelle. Les deux premiers sont accolés horizontalement, côtés $3$ et $4$ mis bout à bout, pour un total de $7$ ; le troisième, d'aire $25$, a un côté de $5$, matérialisé par un segment placé sous les deux premiers, visiblement plus court. Une accolade sur les deux premiers porte $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$, une accolade sur le troisième porte $\sqrt{9+16} = 5$, et la mention barrée « $\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ » clôt le panneau. Les aires $9$ et $16$ sont tramées différemment l'une de l'autre.

Ce qu'il faut lire. À gauche : la racine carrée n'est pas une opération abstraite, c'est le passage de l'aire d'un carré à son côté — et une longueur ne peut pas être négative, ce qui explique qu'on choisisse le nombre positif. Au centre : $\sqrt{50}$ est à peine plus grand que $7$, pas au milieu de l'intervalle ; l'encadrement par les carrés parfaits est un vrai contrôle. À droite : deux segments mis bout à bout ($3$ puis $4$) mesurent $7$, alors que le côté du carré d'aire $25$ ne mesure que $5$ — l'écart se voit à l'œil, la règle inventée est visiblement fausse.

La figure en détail : trois panneaux. À gauche, deux carrés dessinés à la même échelle : l'un d'aire trente-six, quadrillé en trente-six carrés unités, de côté six ; l'autre d'aire vingt, de côté environ quatre virgule quarante-sept, dont le côté ne tombe pas sur une ligne du quadrillage resté en pointillés. Au centre, une droite graduée de six à neuf portant trois carrés miniatures d'aires quarante-neuf, cinquante et soixante-quatre reliés à leurs positions ; un segment épais couvre l'intervalle de sept à huit et une croix marque racine de cinquante, environ sept virgule zéro sept, tout près de sept. À droite, un carré d'aire neuf de côté trois et un carré d'aire seize de côté quatre sont accolés, leurs côtés formant une longueur totale de sept ; en dessous, un segment de longueur cinq représente le côté du carré d'aire vingt-cinq, visiblement plus court, ce qui montre que la racine d'une somme n'est pas la somme des racines.

Domaine de validité. $\sqrt{a}$ n'existe que pour $a \geq 0$. La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas parmi les nombres que tu connais — et n'existera pas davantage au lycée dans l'ensemble des nombres réels.

Ce qui n'est PAS au programme du collège. Aucune propriété de calcul sur les racines : ni $\sqrt{a \times b}$, ni $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$, ni la simplification d'une racine du type $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$. Ces outils arrivent au lycée. En 4e, une racine se calcule (carré parfait), s'encadre (carrés parfaits voisins) ou s'approche (calculatrice).

Unités. La racine carrée d'une aire donne une longueur : si l'aire est en m², le côté est en m. Le vrai danger n'est pas l'ordre des opérations, c'est la conversion des unités d'aire. Retiens que $1$ m² $= 10\,000$ cm², et non $100$ cm² : une aire se convertit en multipliant ou divisant par $10\,000$, pas par $100$. Ainsi $40\,000$ cm² $= 4{,}00$ m², dont la racine vaut $2{,}00$ m ; on retrouve bien $\sqrt{40\,000\ \text{cm}^{2}} = 200$ cm $= 2{,}00$ m. L'erreur serait d'écrire $40\,000$ cm² $= 400$ m², qui donnerait un côté de $20$ m.

Chiffres significatifs. Les chiffres significatifs d'un résultat sont ses chiffres écrits à partir du premier chiffre non nul : $4{,}47$ en a trois, $0{,}0447$ aussi. Une racine carrée obtenue à la calculatrice est presque toujours approchée : donne-la avec le nombre de chiffres significatifs des données (trois, le plus souvent) et note le résultat avec le symbole $\approx$, pas avec $=$. N'arrondis qu'à la fin.

1. Écrire $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$. C'est faux, et le contre-exemple est imparable : $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, alors que $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$. La barre du radical est une parenthèse : calcule d'abord dessous. Cette erreur est particulièrement coûteuse en Pythagore, où l'on additionne précisément deux carrés sous une racine.
2. Chercher la racine carrée d'un nombre négatif. $\sqrt{-9}$ n'existe pas : aucun carré n'est négatif. Si un calcul de Pythagore te conduit à une racine de nombre négatif, ce n'est pas la racine qui est en cause, c'est ton égalité de départ — tu as sans doute pris un côté de l'angle droit pour l'hypoténuse.
3. Croire que la racine carrée est une division par deux. $\sqrt{144} = 12$, pas $72$. La racine carrée défait le carré, pas la multiplication par $2$. Le contrôle est immédiat : $12^{2} = 144$, alors que $72^{2} = 5\,184$.
4. Oublier que $\sqrt{a^{2}} = a$ suppose $a$ positif. $\sqrt{(-3)^{2}} = \sqrt{9} = 3$, et non $-3$ : une racine carrée est toujours positive. Le carré efface le signe, la racine ne le rend pas.
5. Confondre arrondir et tronquer. $\sqrt{23} \approx 4{,}795\,8$ : au centième, cela donne $4{,}80$, pas $4{,}79$. On regarde la troisième décimale pour décider.
6. Écrire $4{,}8$ quand on demande le centième. $4{,}8$ est une valeur au dixième. Le zéro final de $4{,}80$ n'est pas décoratif : il dit à quelle précision tu as répondu.
7. Écrire $=$ au lieu de $\approx$. $\sqrt{23} = 4{,}80$ est faux : $4{,}80^{2} = 23{,}04$, pas $23$. La valeur exacte est $\sqrt{23}$ ; $4{,}80$ n'en est qu'une valeur approchée.
8. Inventer une règle de calcul sur les racines. En 4e, il n'y en a aucune à connaître. Une égalité du type $\sqrt{2} + \sqrt{8} = \sqrt{10}$ écrite de mémoire est fausse : $1{,}41 + 2{,}83 = 4{,}24$, alors que $\sqrt{10} \approx 3{,}16$. Calcule chaque racine séparément à la calculatrice, puis fais l'opération demandée.

À quoi t'attendre. L'exercice tire quatre situations : la racine d'un carré parfait (à donner sans calculatrice), le côté d'un carré dont l'aire est donnée dans un contexte réaliste (trois chiffres significatifs), une racine du type $\sqrt{a + b}$ où $a$, $b$ et $a + b$ sont tous des carrés parfaits — l'erreur « racine de la somme » y produit une valeur différente, donc détectable —, et une valeur arrondie au centième à la calculatrice. Un exercice voisin demande l'encadrement de $\sqrt{N}$ entre deux entiers consécutifs.

Énoncé type. Calculer, sans calculatrice :

Corrigé complet.

1. Traduire la question. $\sqrt{144}$ est le nombre positif dont le carré vaut $144$. La question n'est donc pas « que faire de $144$ ? » mais « quel nombre au carré donne $144$ ? ».

2. Chercher dans la table des carrés parfaits. $11^{2} = 121$, trop petit. $12^{2} = 144$ : c'est exactement le radicande.

3. Conclure.

4. Vérifier par le carré. $12 \times 12 = 144$. La vérification d'une racine carrée est toujours la même : on élève la réponse au carré et on doit retomber sur le radicande. C'est immédiat et sans risque.

5. Contrôler la vraisemblance. $144$ est compris entre $100 = 10^{2}$ et $196 = 14^{2}$, donc sa racine est entre $10$ et $14$. La réponse $12$ est bien dans cet intervalle. Une réponse comme $72$ ou $288$ serait éliminée d'un coup d'œil.

Auto-contrôle : quelle que soit la variante tirée, élève ta réponse au carré. Si le radicande était une somme, calcule-la d'abord : $\sqrt{16 + 9}$ vaut $\sqrt{25} = 5$, jamais $4 + 3 = 7$. Et si la question demande un arrondi, vérifie que tu as bien le nombre de décimales demandé, zéros finaux compris.