La racine carrée : le nombre dont on connaît le carré

Élever au carré, on sait faire : $7^{2} = 49$. La racine carrée pose la question inverse : quel nombre, élevé au carré, donne $49$ ?

Deux nombres conviennent, $7$ et $-7$, puisque $(-7)^{2} = 49$ aussi. Pour que la réponse soit unique, on choisit le nombre positif ou nul. D'où la définition :

Pour un nombre $a$ positif ou nul, la racine carrée de $a$, notée $\sqrt{a}$, est l’unique nombre positif ou nul dont le carré vaut $a$.

Le symbole $\sqrt{\phantom{a}}$ s'appelle le radical, et le nombre placé dessous s'appelle le radicande. La barre horizontale du radical joue le rôle d'une parenthèse : tout ce qui est dessous doit être calculé avant de prendre la racine.

Deux conséquences immédiates. Puisque $\sqrt{a}$ est le nombre positif ou nul dont le carré vaut $a$ :

Pourquoi un nombre négatif n'a pas de racine carrée. Un carré n'est jamais négatif : le carré d'un nombre positif est positif, et le carré d'un nombre négatif l'est aussi (deux facteurs négatifs). Aucun nombre ne peut donc avoir un carré égal à $-9$ : $\sqrt{-9}$ n’existe pas dans les nombres réels étudiés ici. Une calculatrice réglée sur les réels affiche une erreur ; un autre cadre, celui des nombres complexes, dépasse cette leçon.

Le mécanisme, avec une aire. L'exemple le plus parlant est géométrique. L'aire d'un carré de côté $c$ vaut $c^{2}$. Donc, si l'on connaît l'aire et qu'on cherche le côté, on prend la racine carrée :

Un carré d'aire $36$ cm² a un côté de $6$ cm. C'est aussi la raison pour laquelle on retient « racine carrée » : elle fait passer de l'aire d'un carré à son côté. Et le choix du nombre positif prend ici tout son sens : une longueur ne peut pas être négative.

Les carrés parfaits. Un carré parfait est un nombre entier qui est le carré d'un entier. Ce sont les racines qu'on doit savoir donner sans calculatrice.

Ce tableau est à apprendre : il sert dans presque tous les exercices de Pythagore.

Quand le radicande n'est pas un carré parfait. $\sqrt{50}$ n'est pas un entier, et ce n'est même pas un nombre décimal : son écriture décimale ne s'arrête jamais et ne se répète pas. On ne peut donc en donner qu'une valeur approchée. La calculatrice affiche $7{,}071\,067\,81\ldots$ ; ce n'est pas la valeur exacte, seulement les premières décimales. La valeur exacte, elle, s'écrit $\sqrt{50}$ — et on la laisse ainsi tant qu'on peut.

Encadrer entre deux entiers consécutifs. Sans calculatrice, on situe $\sqrt{N}$ entre deux entiers en encadrant $N$ par deux carrés parfaits consécutifs. Pour $N = 50$ :

Comme l'ordre des nombres positifs est conservé quand on prend les racines carrées, on en déduit

Cette méthode donne le premier chiffre gratuitement, et c'est un contrôle imparable de tout résultat de calculatrice.

Arrondir. « Arrondir au centième » veut dire garder deux décimales, en regardant la troisième : si elle vaut $5$ ou plus, on augmente la deuxième décimale de $1$ ; sinon on la laisse. La calculatrice donne $\sqrt{23} \approx 4{,}795\,8$ ; la troisième décimale est $5$, donc l'arrondi au centième est $4{,}80$. Pour afficher explicitement le rang demandé, on écrit $4{,}80$. Le nombre $4{,}8$ a la même valeur, mais n’affiche pas à lui seul la convention de précision utilisée.

Attention à la différence entre arrondir et tronquer. Tronquer, c'est couper les décimales suivantes sans regarder ($4{,}79$) ; arrondir, c'est choisir la valeur la plus proche ($4{,}80$). Quand l'énoncé dit « arrondi », la troncature est fausse.

Ce qu'il ne faut pas inventer. La racine carrée ne se distribue pas sur une addition :

$5 \neq 7$ : la règle inventée est fausse, et le contre-exemple le prouve définitivement. La barre du radical fonctionne comme une parenthèse : on calcule d’abord dessous, ensuite on prend la racine.

Dans ce parcours introductif, on utilise la définition, les carrés parfaits, l’encadrement et la calculatrice. D’autres règles algébriques existent sous des conditions précises ; on ne doit pas les deviner à partir de la forme d’une formule. Un contre-exemple permet de réfuter une identité proposée.

Racine carrée d'un carré : attention au signe. Pour un nombre positif, la racine et le carré s'annulent : $\sqrt{5^{2}} = \sqrt{25} = 5$. Mais avec un nombre négatif, le résultat n'est pas celui qu'on attend :

C'est logique : une racine carrée réelle est toujours positive ou nulle, par définition. Il faut retenir la règle sous sa forme utile en 4e : $\sqrt{a^{2}} = a$ si $a \geq 0$ — et le carré d'un nombre efface son signe.

À quoi cela sert tout de suite. Le théorème de Pythagore fournit un carré de longueur ($BC^{2} = 25$) ; c'est la racine carrée qui donne la longueur ($BC = 5$). Sans racine carrée, un calcul de Pythagore reste inachevé. C'est d'ailleurs pour cela que la racine carrée est introduite en 4e, juste à côté de Pythagore.

Énoncé. Une terrasse carrée a une aire de $72$ m², considérée exacte dans ce modèle. Un côté longe un mur ; on clôture les trois autres côtés. Des rouleaux contiennent chacun $25$ m de clôture. Un seul rouleau suffit-il ? Donner aussi la longueur nécessaire au centième de mètre.

Passer de l’aire au côté. La longueur $c$ est positive et vérifie $c^2=72$. Donc

Comme $8^2<72<9^2$, on a $8<c<9$. Cet encadrement vérifie l’ordre de grandeur, mais ne suffit pas encore à décider si trois côtés dépassent $25$ m.

Composer avant d’arrondir. La longueur cherchée est

Pour l’approximation demandée, on utilise ici la calculatrice. On conserve la valeur non arrondie du côté pendant le calcul, puis on arrondit seulement le résultat : $L\approx25,46$ m.

Décider. $25,455844>25$ : un rouleau ne suffit pas. Deux rouleaux sont nécessaires, en supposant qu’on peut utiliser des morceaux et qu’aucune marge supplémentaire n’est demandée.

Contrôle exact de la décision. Toutes les longueurs sont positives ; comparer $3\sqrt{72}$ à $25$ revient à comparer leurs carrés : $9\times72=648>625=25^2$. Le dépassement est donc certain dans le modèle, indépendamment de l’arrondi affiché.

Figure (fig.math.square-root-area, SVG programmatique existant) : trois panneaux qui donnent à la racine carrée un sens géométrique, un rang sur la droite numérique, et un contre-exemple.

• Panneau de gauche — la racine carrée est un côté. Deux carrés dessinés à l'échelle, côte à côte. Le premier, d'aire $36$, est quadrillé en $36$ petits carrés unités ; son côté est coté $6$, et une double flèche horizontale porte la mention « $\sqrt{36} = 6$ ». Le second, d'aire $20$, est dessiné à la même échelle mais sans alignement sur le même quadrillage unité : son côté, coté $\approx 4{,}47$, tombe entre deux lignes du quadrillage, qui restent visibles en pointillés fins. Une légende sous les deux carrés : « l'aire est donnée, le côté se calcule ».
• Panneau central — encadrer $\sqrt{50}$. Une droite graduée horizontale de $6$ à $9$, avec les entiers marqués. Trois carrés miniatures posés au-dessus de la droite, chacun relié à sa position : le carré d'aire $49$ au-dessus de $7$, le carré d'aire $64$ au-dessus de $8$, et entre eux un carré d'aire $50$ dont le côté est très légèrement plus grand que celui du carré $49$. Un segment épais couvre l'intervalle allant de $7$ à $8$ et porte la mention « $7 < \sqrt{50} < 8$ » ; le point $\sqrt{50} \approx 7{,}07$ est marqué d'une croix, tout près de $7$. Sous la droite, la ligne $49 < 50 < 64$.
• Panneau de droite — le contre-exemple. Trois carrés d'aires $9$, $16$ et $25$, dessinés à la même échelle. Les deux premiers sont accolés horizontalement, côtés $3$ et $4$ mis bout à bout, pour un total de $7$ ; le troisième, d'aire $25$, a un côté de $5$, matérialisé par un segment placé sous les deux premiers, visiblement plus court. Une accolade sur les deux premiers porte $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$, une accolade sur le troisième porte $\sqrt{9+16} = 5$, et la mention barrée « $\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ » clôt le panneau. Les aires $9$ et $16$ sont tramées différemment l'une de l'autre.

Ce qu'il faut lire. À gauche : la racine carrée n'est pas une opération abstraite, c'est le passage de l'aire d'un carré à son côté — et une longueur ne peut pas être négative, ce qui explique qu'on choisisse le nombre positif. Au centre : $\sqrt{50}$ est à peine plus grand que $7$, pas au milieu de l'intervalle ; l'encadrement par les carrés parfaits est un vrai contrôle. À droite : deux segments mis bout à bout ($3$ puis $4$) mesurent $7$, alors que le côté du carré d'aire $25$ ne mesure que $5$ — l'écart se voit à l'œil, la règle inventée est visiblement fausse.

La figure en détail : trois panneaux. À gauche, deux carrés dessinés à la même échelle : l'un d'aire trente-six, quadrillé en trente-six carrés unités, de côté six ; l'autre d'aire vingt, de côté environ quatre virgule quarante-sept, dont le côté ne tombe pas sur une ligne du quadrillage resté en pointillés. Au centre, une droite graduée de six à neuf portant trois carrés miniatures d'aires quarante-neuf, cinquante et soixante-quatre reliés à leurs positions ; un segment épais couvre l'intervalle de sept à huit et une croix marque racine de cinquante, environ sept virgule zéro sept, tout près de sept. À droite, un carré d'aire neuf de côté trois et un carré d'aire seize de côté quatre sont accolés, leurs côtés formant une longueur totale de sept ; en dessous, un segment de longueur cinq représente le côté du carré d'aire vingt-cinq, visiblement plus court, ce qui montre que la racine d'une somme n'est pas la somme des racines.