Triangles et angles : somme, cas particuliers, existence

Découpe un triangle en papier, n'importe lequel. Arrache ses trois coins. Pose-les côte à côte, pointe contre pointe, sur une même ligne droite.

Ils forment exactement un demi-tour, sans trou ni chevauchement.

La propriété fondamentale. Dans n'importe quel triangle, la somme des mesures des trois angles vaut $180°$. Grand ou petit, allongé ou trapu : cela ne change rien.

Le nombre $180°$ n'est pas choisi au hasard : c'est la mesure d'un angle plat, celui que forme une demi-droite avec son prolongement — autrement dit, une ligne droite.

À quoi cela sert immédiatement. Si l'on connaît deux angles d'un triangle, le troisième se calcule aussitôt. Dans un triangle dont deux angles mesurent $60°$ et $80°$ :

Le troisième angle mesure $40°$.

Une conséquence utile. Un triangle ne peut pas avoir deux angles droits : $90° + 90° = 180°$ ne laisserait rien pour le troisième. Il ne peut pas non plus avoir deux angles obtus, c'est-à-dire deux angles supérieurs à $90°$. Tout triangle possède donc au moins deux angles aigus, c'est-à-dire inférieurs à $90°$.

Le vocabulaire des angles. Un angle aigu mesure moins de $90°$. Un angle droit mesure exactement $90°$ ; on le marque d'un petit carré. Un angle obtus mesure plus de $90°$ et moins de $180°$.

Nommer les angles d'un triangle. Dans le triangle $ABC$, l'angle de sommet $A$ se note $\widehat{A}$. Le petit chapeau signale qu'il s'agit d'un angle, et non du point lui-même. Le côté opposé à ce sommet se note $[BC]$ : les crochets indiquent un segment, c'est-à-dire la portion de droite comprise entre deux points.

Un second fait, tout aussi important. Trois longueurs quelconques ne forment pas toujours un triangle. Prends trois baguettes de $2$ cm, $3$ cm et $9$ cm : les deux petites, même mises bout à bout, sont trop courtes pour rejoindre les extrémités de la grande. Aucun triangle n'existe. Ce point fait l'objet de la partie suivante.

Le triangle isocèle. Un triangle est isocèle quand deux de ses côtés ont la même longueur. Le sommet commun à ces deux côtés s'appelle le sommet principal ; le troisième côté est la base.

La propriété à retenir : dans un triangle isocèle, les deux angles à la base ont la même mesure.

Cela permet de tout calculer à partir d'un seul angle. Si l'angle au sommet principal mesure $40°$, il reste $180 - 40 = 140°$ à partager également entre les deux angles à la base, soit $140 \div 2 = 70°$ chacun.

Dans l'autre sens : si un angle à la base mesure $70°$, l'autre aussi, et l'angle au sommet principal vaut $180 - 70 - 70 = 40°$.

Le triangle équilatéral. Ses trois côtés ont la même longueur, et ses trois angles mesurent chacun $180 \div 3 = 60°$. C'est un cas particulier de triangle isocèle.

Le triangle rectangle. Il possède un angle droit. Comme cet angle occupe déjà $90°$ des $180°$ disponibles, il reste exactement $90°$ à partager entre les deux autres angles :

Si l'un des deux angles aigus mesure $35°$, l'autre mesure $90 - 35 = 55°$.

Un triangle peut être à la fois rectangle et isocèle. C'est un point qui surprend souvent. Il suffit que les deux angles aigus soient égaux : ils mesurent alors $90 \div 2 = 45°$ chacun. Le triangle a un angle droit et deux côtés de même longueur. Rien ne s'y oppose : « rectangle » parle d'un angle, « isocèle » parle de deux côtés, et ces deux propriétés ne se contredisent pas.

L'inégalité triangulaire. Voici la condition d'existence d'un triangle. Un triangle dont les côtés mesurent $a$, $b$ et $c$ existe si, et seulement si, la longueur du plus grand côté est strictement inférieure à la somme des deux autres.

Pourquoi ? Imagine que tu partes d'un point et que tu doives rejoindre un autre point distant de $c$. Le chemin direct mesure $c$. Passer par un troisième point te fait parcourir $a + b$. Or le chemin direct est toujours le plus court : donc $c < a + b$.

Le cas d'égalité ne donne pas de triangle. Si $a + b = c$ exactement, les deux petits côtés se rabattent sur le grand : les trois points sont alignés, et la figure est un segment « aplati », pas un triangle. C'est le cas le plus souvent raté, parce qu'on croit que le triangle est « tout juste » possible. Il ne l'est pas.

Un exemple de chaque cas.

• $5$ cm, $6$ cm, $8$ cm : le plus grand côté est $8$, et $5 + 6 = 11 > 8$. Le triangle existe.
• $4$ cm, $7$ cm, $11$ cm : le plus grand est $11$, et $4 + 7 = 11$. Égalité : pas de triangle.
• $3$ cm, $4$ cm, $9$ cm : le plus grand est $9$, et $3 + 4 = 7 < 9$. Pas de triangle.

Il suffit de tester le plus grand côté. Une fois le plus long côté repéré, une seule comparaison suffit : les deux autres inégalités sont alors automatiquement vérifiées, puisque chacun des petits côtés est déjà plus court que le grand.

Mesurer et construire. Un angle se mesure au rapporteur, un demi-disque gradué que l'on pose en faisant coïncider son centre avec le sommet de l'angle et sa ligne de base avec l'un des côtés. Un rapporteur porte deux graduations, l'une croissant de gauche à droite, l'autre de droite à gauche. Il faut lire celle qui part de $0$ sur le côté posé — sinon on lit $180°$ moins la vraie mesure. Le contrôle est simple : un angle qui a l'air aigu doit donner une mesure inférieure à $90°$.

Pour construire un triangle dont on connaît les trois côtés, on trace d'abord le plus grand au double décimètre, puis on ouvre le compas à la longueur du deuxième côté depuis une extrémité, et à celle du troisième depuis l'autre extrémité. Les deux arcs se coupent au troisième sommet — à condition, bien sûr, que l'inégalité triangulaire soit satisfaite. Si elle ne l'est pas, les arcs ne se rencontrent jamais : la construction elle-même prouve l'impossibilité.

Énoncé.

1. Le triangle $RST$ est isocèle en $R$ : les côtés $[RS]$ et $[RT]$ ont la même longueur. L'angle $\widehat{S}$, à la base, mesure $38°$. Calculer les mesures des deux autres angles.

2. Un élève affirme qu'il peut construire un triangle dont les côtés mesurent $6{,}5$ cm, $4{,}2$ cm et $10{,}7$ cm. A-t-il raison ?

Question 1.

1. Identifier les angles à la base. Le sommet principal est $R$, puisque le triangle est isocèle en $R$. Les angles à la base sont donc $\widehat{S}$ et $\widehat{T}$.

2. Utiliser la propriété du triangle isocèle. Les deux angles à la base ont la même mesure :

3. Utiliser la somme des angles.

4. Calculer.

Donc $\widehat{R} = 104°$.

5. Contrôler. On additionne les trois angles trouvés : $38 + 38 + 104 = 180$. La somme est correcte.

6. Contrôler autrement. L'angle au sommet principal est obtus, donc supérieur à $90°$ : c'est cohérent avec des angles à la base assez petits. Un triangle isocèle très « écrasé » a bien un angle large au sommet.

Question 2.

1. Repérer le plus grand côté. Les trois longueurs sont $6{,}5$ ; $4{,}2$ ; $10{,}7$. La plus grande est $10{,}7$ cm.

2. Additionner les deux autres.

3. Comparer. La somme des deux petits côtés vaut exactement la longueur du grand côté : $10{,}7 = 10{,}7$.

4. Conclure. L'inégalité triangulaire demande une inégalité stricte. Ici, il y a égalité : les trois points sont alignés et la figure est aplatie. Le triangle n'existe pas. L'élève a tort.

5. Se le représenter. Rabats les deux petites baguettes sur la grande : elles la recouvrent exactement, bout à bout. Aucune surface ne se forme entre elles. Il n'y a pas de triangle, seulement un segment.

6. Voir l'erreur qu'on a évitée. Beaucoup d'élèves concluent « oui, tout juste ». Le cas d'égalité est précisément celui où la réponse est non.

Figure (fig.math.triangle-angle-sum, SVG programmatique à produire) : trois panneaux montrant la somme des angles, les triangles particuliers et l'inégalité triangulaire.

• Panneau 1, la somme des angles. À gauche, un triangle quelconque $ABC$ nettement scalène, ses trois angles colorés de trois teintes distinctes et marqués $47°$, $88°$ et $45°$, avec un petit arc à chaque sommet. À droite, les trois mêmes secteurs angulaires détachés et posés côte à côte, pointes jointes, sur une ligne droite horizontale : ils la recouvrent exactement. Sous la ligne, la mention « angle plat : $180°$ » et le calcul $47 + 88 + 45 = 180$.
• Panneau 2, les triangles particuliers. Trois petits triangles alignés, chacun avec ses marques.
• Un triangle isocèle $RST$, avec un trait de codage identique sur $[RS]$ et $[RT]$, et deux arcs identiques marquant $\widehat{S}$ et $\widehat{T}$ à $38°$ ; l'angle au sommet $R$ porte $104°$.
• Un triangle équilatéral, ses trois côtés codés du même trait, ses trois angles marqués $60°$.
• Un triangle rectangle isocèle, avec le petit carré de l'angle droit au sommet $A$, les deux côtés $[AB]$ et $[AC]$ codés identiques, et les deux angles aigus marqués $45°$. Une légende sous ce troisième triangle indique « rectangle et isocèle : les deux ne s'excluent pas ».
• Panneau 3, l'inégalité triangulaire. Trois lignes, chacune montrant trois segments de longueurs proportionnelles aux valeurs, d'abord posés bout à bout puis refermés.
• $5$, $6$, $8$ : les deux petits segments articulés se rejoignent nettement au-dessus du grand ; le triangle est tracé plein. Mention $5 + 6 = 11 > 8$, verdict « existe ».
• $6{,}5$, $4{,}2$, $10{,}7$ : les deux petits segments retombent exactement sur le grand, alignés ; la figure est un segment épais sans surface. Mention $6{,}5 + 4{,}2 = 10{,}7$, verdict « aplati, n'existe pas ».
• $3$, $4$, $9$ : les deux petits segments, même écartés au maximum, laissent un espace visible avant l'extrémité du grand, marqué par une double flèche. Mention $3 + 4 = 7 < 9$, verdict « n'existe pas ».
• Encart du rapporteur, en bas à droite, séparé par un filet : un rapporteur posé sur un angle aigu, ses deux graduations lisibles, celle qui part de zéro sur le côté posé entourée et donnant $47°$, l'autre barrée et donnant $133°$. Légende : « lis la graduation qui part de $0$ sur le côté posé ».

Ce qu'il faut lire. Le premier panneau montre que la somme $180°$ n'est pas une formule à retenir mais un fait de découpage. Le troisième montre que le cas d'égalité produit un segment, et non un triangle « tout juste » : il n'y a aucune surface entre les segments.

La figure en détail : trois panneaux. Le premier montre un triangle quelconque dont les trois angles, de trois teintes différentes, mesurent quarante-sept, quatre-vingt-huit et quarante-cinq degrés ; à droite, les trois secteurs angulaires détachés sont posés pointes jointes sur une ligne droite qu'ils recouvrent exactement, sous la mention angle plat de cent quatre-vingts degrés. Le deuxième panneau aligne trois triangles : un triangle isocèle dont les deux angles à la base valent trente-huit degrés et l'angle au sommet cent quatre degrés ; un triangle équilatéral aux trois angles de soixante degrés ; un triangle à la fois rectangle et isocèle, marqué d'un angle droit et de deux angles de quarante-cinq degrés. Le troisième panneau montre trois essais de fermeture : cinq, six et huit centimètres se referment en un triangle plein ; six virgule cinq, quatre virgule deux et dix virgule sept retombent exactement alignés en un segment sans surface ; trois, quatre et neuf laissent un espace visible avant l'extrémité du grand côté. En bas à droite, un rapporteur posé sur un angle aigu montre deux graduations, celle partant de zéro sur le côté posé donnant quarante-sept degrés est entourée, l'autre donnant cent trente-trois degrés est barrée.

Unité. Les angles se mesurent en degrés, de symbole $°$, écrit collé au nombre. Le degré n'est pas une unité du Système international, mais c'est l'unité d'usage au collège, et aucune conversion n'est demandée.

Domaine de validité. La somme des angles vaut $180°$ dans tout triangle tracé sur une feuille plane, sans exception. Chaque angle d'un triangle est strictement compris entre $0°$ et $180°$.

Le mot « strictement ». L'inégalité triangulaire est stricte : la longueur du plus grand côté doit être inférieure, et non « inférieure ou égale », à la somme des deux autres. Le cas d'égalité donne trois points alignés, donc aucun triangle.

Ce qui n'est pas au programme cette année. Le calcul d'une longueur à partir des deux autres (théorème de Pythagore) est un contenu de 4e ; les rapports trigonométriques et le théorème de Thalès sont des contenus de 3e. Ici, on calcule des angles et on teste des existences.

1. Conclure qu'un triangle existe sans vérifier l'inégalité triangulaire. Trois nombres écrits côte à côte ne font pas un triangle. Repère le plus grand côté et compare-le à la somme des deux autres, systématiquement, avant toute construction.
2. Accepter le cas d'égalité. Avec $6{,}5$ ; $4{,}2$ et $10{,}7$, la somme des deux petits vaut exactement le grand : la figure est aplatie, il n'y a pas de triangle. L'inégalité doit être stricte.
3. Lire la mauvaise graduation du rapporteur. Un rapporteur porte deux séries de nombres. Si tu lis $133°$ pour un angle visiblement aigu, tu as lu la mauvaise : la bonne mesure est $180 - 133 = 47°$. Contrôle toujours en regardant si l'angle est aigu ou obtus avant d'annoncer sa mesure.
4. Croire qu'un triangle rectangle ne peut pas être isocèle. Il le peut : ses deux angles aigus valent alors $45°$ chacun. « Rectangle » décrit un angle, « isocèle » décrit deux côtés ; ces deux qualités sont compatibles.
5. Se tromper d'angles dans un triangle isocèle. Les angles égaux sont ceux de la base, c'est-à-dire les deux qui ne sont pas au sommet principal. Confondre l'angle au sommet avec un angle à la base fausse tout le calcul.
6. Oublier de diviser par deux — ou diviser en trop. Si l'on connaît l'angle au sommet principal, on retranche puis on divise par deux. Si l'on connaît un angle à la base, on le retranche deux fois et on ne divise pas. Demande-toi toujours laquelle des deux données tu possèdes.
7. Additionner les trois angles au lieu de retrancher. La somme vaut $180°$ : pour trouver le troisième angle, on retranche les deux connus de $180°$.
8. Négliger le contrôle final. Après avoir trouvé un angle, additionne les trois : si tu n'obtiens pas $180°$, il y a une erreur. Ce contrôle prend cinq secondes et attrape presque toutes les fautes de calcul.

À quoi t'attendre. L'exercice tire au sort l'une de quatre situations : un triangle quelconque dont deux angles sont donnés, un triangle isocèle dont l'angle au sommet principal est donné, un triangle isocèle dont un angle à la base est donné, ou un triangle rectangle dont un angle aigu est donné. La figure n'est pas dessinée : l'énoncé nomme les trois sommets et décrit le cas particulier en toutes lettres. La réponse est un nombre de degrés. Un exercice voisin donne trois longueurs et demande, par vrai ou faux, si le triangle est constructible.

Énoncé type. Dans un triangle $ABC$, l'angle $\widehat{A}$ mesure $47°$ et l'angle $\widehat{C}$ mesure $88°$. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{B}$, en degrés.

Corrigé complet.

1. Rappeler la propriété. Dans n'importe quel triangle, la somme des mesures des trois angles vaut $180°$.

2. L'écrire pour ce triangle.

3. Isoler l'angle cherché.

4. Calculer. On retranche dans l'ordre :

Donc $\widehat{B} = 45°$.

5. Répondre avec l'unité. L'angle $\widehat{B}$ mesure $45$ degrés. Un angle sans unité n'est pas une mesure.

6. Contrôler. On additionne les trois angles :

La somme est bien celle attendue.

7. Contrôler la vraisemblance. Les trois angles trouvés ($47°$, $88°$ et $45°$) sont tous aigus : chacun mesure moins de $90°$. C'est tout à fait possible : un triangle possède toujours au moins deux angles aigus, et il peut n'avoir aucun angle obtus.

Auto-contrôle : additionne toujours tes trois angles à la fin. Si la somme ne fait pas $180°$, l'erreur est dans le calcul, pas dans la propriété. Et si tu trouves un angle négatif ou supérieur à $180°$, c'est que tu as additionné là où il fallait retrancher.