Triangles et angles : somme, cas particuliers, existence

Pour explorer la propriété, découpe un triangle en papier et rapproche ses trois coins, pointes jointes. La précision du geste limite l’observation ; la propriété mathématique porte sur des triangles idéaux du plan euclidien.

Dans le modèle géométrique idéal, leurs angles réunis forment un demi-tour. Une démonstration peut utiliser une parallèle à un côté et les angles alternes-internes ; le découpage en donne une illustration.

La propriété fondamentale. Dans tout triangle non dégénéré du plan euclidien, la somme des mesures des trois angles vaut $180°$. Grand ou petit, allongé ou trapu : cela ne change rien.

Le nombre $180°$ n'est pas choisi au hasard : c'est la mesure d'un angle plat, celui que forme une demi-droite avec son prolongement — autrement dit, une ligne droite.

À quoi cela sert immédiatement. Si l'on connaît deux angles d'un triangle, le troisième se calcule aussitôt. Dans un triangle dont deux angles mesurent $60°$ et $80°$ :

Le troisième angle mesure $40°$.

Une conséquence utile. Un triangle ne peut pas avoir deux angles droits : $90° + 90° = 180°$ ne laisserait rien pour le troisième. Il ne peut pas non plus avoir deux angles obtus, c'est-à-dire deux angles supérieurs à $90°$. Tout triangle possède donc au moins deux angles aigus, c'est-à-dire inférieurs à $90°$.

Le vocabulaire des angles. Un angle aigu a une mesure strictement comprise entre $0°$ et $90°$. Un angle droit mesure exactement $90°$ ; on le marque d'un petit carré. Un angle obtus mesure plus de $90°$ et moins de $180°$.

Nommer les angles d'un triangle. Dans le triangle $ABC$, l'angle de sommet $A$ se note $\widehat{A}$. Le petit chapeau signale qu'il s'agit d'un angle, et non du point lui-même. Le côté opposé à ce sommet se note $[BC]$ : les crochets indiquent un segment, c'est-à-dire la portion de droite comprise entre deux points.

Un second fait, tout aussi important. Trois longueurs quelconques ne forment pas toujours un triangle. Prends trois baguettes de $2$ cm, $3$ cm et $9$ cm : les deux petites, même mises bout à bout, sont trop courtes pour rejoindre les extrémités de la grande. Aucun triangle n'existe. Ce point fait l'objet de la partie suivante.

Le triangle isocèle. Un triangle est isocèle quand deux de ses côtés ont la même longueur. Le sommet commun à ces deux côtés s'appelle le sommet principal ; le troisième côté est la base.

La propriété à retenir : dans un triangle isocèle, les deux angles à la base ont la même mesure.

Cela permet de tout calculer à partir d'un seul angle. Si l'angle au sommet principal mesure $40°$, il reste $180 - 40 = 140°$ à partager également entre les deux angles à la base, soit $140 \div 2 = 70°$ chacun.

Dans l'autre sens : si un angle à la base mesure $70°$, l'autre aussi, et l'angle au sommet principal vaut $180 - 70 - 70 = 40°$.

Le triangle équilatéral. Ses trois côtés ont la même longueur, et ses trois angles mesurent chacun $180 \div 3 = 60°$. C'est un cas particulier de triangle isocèle.

Le triangle rectangle. Il possède un angle droit. Comme cet angle occupe déjà $90°$ des $180°$ disponibles, il reste exactement $90°$ à partager entre les deux autres angles :

Si l'un des deux angles aigus mesure $35°$, l'autre mesure $90 - 35 = 55°$.

Un triangle peut être à la fois rectangle et isocèle. C'est un point qui surprend souvent. Il suffit que les deux angles aigus soient égaux : ils mesurent alors $90 \div 2 = 45°$ chacun. Le triangle a un angle droit et deux côtés de même longueur. Rien ne s'y oppose : « rectangle » parle d'un angle, « isocèle » parle de deux côtés, et ces deux propriétés ne se contredisent pas.

L'inégalité triangulaire. Voici la condition d'existence d'un triangle. Pour trois longueurs strictement positives $a$, $b$ et $c$, un triangle non dégénéré existe si, et seulement si, la longueur du plus grand côté est strictement inférieure à la somme des deux autres.

Pourquoi ? Imagine un trajet entre deux points distants de $c$. Le chemin direct mesure $c$. Passer par un troisième point fait parcourir $a + b$. Si le troisième point n’est pas sur le segment direct, ce détour est strictement plus long : $c<a+b$. Le cas aligné explique la possibilité d’égalité hors du triangle non dégénéré.

Le cas d'égalité ne donne pas de triangle. Si $a + b = c$ exactement, les deux petits côtés se rabattent sur le grand : les trois points sont alignés, et la figure est un segment « aplati », pas un triangle. C'est le cas le plus souvent raté, parce qu'on croit que le triangle est « tout juste » possible. Il ne l'est pas.

Un exemple de chaque cas.

• $5$ cm, $6$ cm, $8$ cm : le plus grand côté est $8$, et $5 + 6 = 11 > 8$. Le triangle existe.
• $4$ cm, $7$ cm, $11$ cm : le plus grand est $11$, et $4 + 7 = 11$. Égalité : pas de triangle.
• $3$ cm, $4$ cm, $9$ cm : le plus grand est $9$, et $3 + 4 = 7 < 9$. Pas de triangle.

Il suffit de tester le plus grand côté. Une fois le plus long côté repéré, une seule comparaison suffit : les deux autres inégalités sont alors automatiquement vérifiées, puisque les longueurs sont positives et que chacun des deux autres côtés est inférieur ou égal au plus grand.

Mesurer et construire. Un angle se mesure au rapporteur, un demi-disque gradué que l'on pose en faisant coïncider son centre avec le sommet de l'angle et sa ligne de base avec l'un des côtés. Le rapporteur semi-circulaire représenté ici porte deux graduations, l'une croissant de gauche à droite, l'autre de droite à gauche. Il faut lire celle qui part de $0$ sur le côté posé — sinon on lit $180°$ moins la vraie mesure. Le contrôle est simple : un angle qui a l'air aigu doit donner une mesure inférieure à $90°$.

Pour construire un triangle dont on connaît les trois côtés, on trace d'abord le plus grand au double décimètre, puis on ouvre le compas à la longueur du deuxième côté depuis une extrémité, et à celle du troisième depuis l'autre extrémité. Les deux arcs se coupent au troisième sommet — à condition, bien sûr, que l'inégalité triangulaire soit satisfaite. Si les deux petites longueurs ont une somme égale à la grande, les cercles sont tangents en un point de la base : la figure reste alignée. Si la somme est plus petite, les cercles ne se rencontrent pas. Dans les deux cas, aucun triangle non dégénéré n’est construit.

Énoncé. Deux triangles $ABC$ et $DBC$ ont la même base $[BC]$ ; leurs sommets $A$ et $D$ sont de part et d’autre de la droite $(BC)$. On donne $AB=AC$ et $DB=DC$. L’angle au sommet $A$ vaut $46°$ et celui au sommet $D$ vaut $82°$. Quelle est la mesure de l’angle intérieur au sommet $B$ du quadrilatère $ABDC$ ? On considère la figure convexe ainsi formée.

Calculer dans le premier triangle. $ABC$ est isocèle en $A$. Les deux angles à sa base sont égaux :

Calculer dans le second triangle. $DBC$ est isocèle en $D$. De même,

Les sommets principaux sont différents : il faut repérer les bons angles avant de partager par deux.

Assembler les angles adjacents. La demi-droite $[BC)$ est à l’intérieur de l’angle du quadrilatère au sommet $B$, car les sommets $A$ et $D$ sont de part et d’autre de la base. Ainsi,

Contrôle. Dans $ABC$, $46+67+67=180$ ; dans $DBC$, $82+49+49=180$. L’angle composé de $116°$ est obtus, bien que les deux angles qui le constituent soient aigus : on ne doit pas appliquer à ce quadrilatère la somme $180°$ réservée à un seul triangle.

Figure (fig.math.triangle-angle-sum, SVG programmatique existant) : trois panneaux montrant la somme des angles, les triangles particuliers et l'inégalité triangulaire.

• Panneau 1, la somme des angles. À gauche, un triangle quelconque $ABC$ nettement scalène, ses trois angles colorés de trois teintes distinctes et marqués $47°$, $88°$ et $45°$, avec un petit arc à chaque sommet. À droite, les trois mêmes secteurs angulaires détachés et posés côte à côte, pointes jointes, sur une ligne droite horizontale : ils la recouvrent exactement. Sous la ligne, la mention « angle plat : $180°$ » et le calcul $47 + 88 + 45 = 180$.
• Panneau 2, les triangles particuliers. Trois petits triangles alignés, chacun avec ses marques.
• Un triangle isocèle $RST$, avec un trait de codage identique sur $[RS]$ et $[RT]$, et deux arcs identiques marquant $\widehat{S}$ et $\widehat{T}$ à $38°$ ; l'angle au sommet $R$ porte $104°$.
• Un triangle équilatéral, ses trois côtés codés du même trait, ses trois angles marqués $60°$.
• Un triangle rectangle isocèle, avec le petit carré de l'angle droit au sommet $A$, les deux côtés $[AB]$ et $[AC]$ codés identiques, et les deux angles aigus marqués $45°$. Une légende sous ce troisième triangle indique « rectangle et isocèle : les deux ne s'excluent pas ».
• Panneau 3, l'inégalité triangulaire. Trois lignes, chacune montrant trois segments de longueurs proportionnelles aux valeurs, d'abord posés bout à bout puis refermés.
• $5$, $6$, $8$ : les deux petits segments articulés se rejoignent nettement au-dessus du grand ; le triangle est tracé plein. Mention $5 + 6 = 11 > 8$, verdict « existe ».
• $6{,}5$, $4{,}2$, $10{,}7$ : les deux petits segments retombent exactement sur le grand, alignés ; la figure est un segment épais sans surface. Mention $6{,}5 + 4{,}2 = 10{,}7$, verdict « aplati, n'existe pas ».
• $3$, $4$, $9$ : les deux petits segments, même écartés au maximum, laissent un espace visible avant l'extrémité du grand, marqué par une double flèche. Mention $3 + 4 = 7 < 9$, verdict « n'existe pas ».
• Encart du rapporteur, en bas à droite, séparé par un filet : un rapporteur posé sur un angle aigu, ses deux graduations lisibles, celle qui part de zéro sur le côté posé entourée et donnant $47°$, l'autre barrée et donnant $133°$. Légende : « lis la graduation qui part de $0$ sur le côté posé ».

Ce qu'il faut lire. Le premier panneau illustre la somme des angles par un découpage idéal ; le dessin ne remplace pas la démonstration géométrique de la propriété. Le troisième montre que le cas d'égalité produit un segment, et non un triangle « tout juste » : il n'y a aucune surface entre les segments.

La figure en détail : trois panneaux. Le premier montre un triangle quelconque dont les trois angles, de trois teintes différentes, mesurent quarante-sept, quatre-vingt-huit et quarante-cinq degrés ; à droite, les trois secteurs angulaires détachés sont posés pointes jointes sur une ligne droite qu'ils recouvrent exactement, sous la mention angle plat de cent quatre-vingts degrés. Le deuxième panneau aligne trois triangles : un triangle isocèle dont les deux angles à la base valent trente-huit degrés et l'angle au sommet cent quatre degrés ; un triangle équilatéral aux trois angles de soixante degrés ; un triangle à la fois rectangle et isocèle, marqué d'un angle droit et de deux angles de quarante-cinq degrés. Le troisième panneau montre trois essais de fermeture : cinq, six et huit centimètres se referment en un triangle plein ; six virgule cinq, quatre virgule deux et dix virgule sept retombent exactement alignés en un segment sans surface ; trois, quatre et neuf laissent un espace visible avant l'extrémité du grand côté. En bas à droite, un rapporteur posé sur un angle aigu montre deux graduations, celle partant de zéro sur le côté posé donnant quarante-sept degrés est entourée, l'autre donnant cent trente-trois degrés est barrée.