Mathématiques · Seconde · 1 leçon

Fiche de révision : Fonctions

L’essentiel de chaque leçon du chapitre, tel qu’il est écrit dans le cours : à relire, à imprimer, puis à vérifier par l’entraînement.

Les notions de cette fiche

Fonctions de référence — Carré, inverse, racine carrée, cube : courbes, sens de variation, parité ; variations et extremums d'une fonction sur un intervalle.

À maîtriser avant de commencer

Ces notions sont utilisées ici. Relisez-les si l’une d’elles vous échappe.

Notion de fonction — Image, antécédent, variable ; représentations (formule, tableau, courbe) ; lire et exploiter un graphique.

Le début de la fiche

Extrait de la leçon « Fonctions de référence : carré, inverse, racine carrée, cube », tel qu’il figure sur la fiche.

Les relations à retenir

$f(x) = x^2 \text{ sur } \mathbb{R} : \text{décroissante sur } ]-\infty\ ;\ 0], \text{ croissante sur } [0\ ;\ +\infty[$
$f(x) = \frac{1}{x} \text{ sur } \mathbb{R}^{\ast} : \text{décroissante sur } ]-\infty\ ;\ 0[ \text{ et sur } ]0\ ;\ +\infty[ \text{ séparément}$
$f(x) = \sqrt{x} \text{ sur } [0\ ;\ +\infty[ : \text{croissante}$
$f(x) = x^3 \text{ sur } \mathbb{R} : \text{croissante}$
$f \text{ croissante sur } I \text{ et } a < b \text{ dans } I \implies f(a) \leq f(b) \qquad f \text{ décroissante} \implies f(a) \geq f(b)$
$f \text{ paire} : f(-x) = f(x) \qquad f \text{ impaire} : f(-x) = -f(x)$

Tableau : Fonction, Ensemble de définition, Variations, Parité
Fonction	Ensemble de définition	Variations	Parité
$x^2$	$\mathbb{R}$	décroît sur $]-\infty\ ;\ 0]$ , croît sur $[0\ ;\ +\infty[$	paire
$\dfrac{1}{x}$	$\mathbb{R}^{\ast}$	décroît sur chacun des deux intervalles	impaire
$\sqrt{x}$	$[0\ ;\ +\infty[$	croît	ni l'une ni l'autre
$x^3$	$\mathbb{R}$	croît	impaire

Domaine de validité. Pour utiliser directement un tableau de variations présenté par intervalles, on compare deux nombres appartenant à un même intervalle où le sens de variation est connu. Cette condition suffit à appliquer cette partie du tableau ; elle n’interdit pas qu’une fonction soit monotone sur un ensemble troué lorsque cela est établi autrement. Dès que l'ensemble de travail chevauche $0$ pour la fonction carré, ou réunit les deux intervalles de la fonction inverse, ces seules informations ne déterminent pas toujours l’ordre. Il faut examiner aussi les signes, la parité ou d’autres contraintes ; des valeurs numériques ne sont pas systématiquement nécessaires.

Écritures et unités. Les quatre fonctions de référence opèrent sur des nombres sans dimension : aucune unité n'intervient dans ce chapitre. Les images se donnent en valeur exacte quand c'est possible ( $\sqrt{9} = 3$ , $\frac{1}{4} = 0{,}25$ ) ; sinon on garde l'écriture exacte ( $\sqrt{5}$ , $\frac{1}{3}$ ) plutôt qu'un arrondi, sauf si l'énoncé demande une valeur approchée — auquel cas on écrit $\approx$ et jamais $=$ .

Un contrôle gratuit. Après toute comparaison par la monotonie, remplacez $a$ et $b$ par deux valeurs simples de l'intervalle et vérifiez l'inégalité obtenue. Ce test peut révéler une incohérence, mais une seule paire vérifiée ne démontre pas une propriété pour tout l’intervalle.

Les pièges à éviter et la version imprimable sont réservés à votre compte.

S’entraîner sur ces notions

S’entraîner : Fonctions de référence : carré, inverse, racine carrée, cube

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