Mathématiques · Seconde · 1 leçon

Fiche de révision : Nombres et calculs, algèbre

L’essentiel de chaque leçon du chapitre, tel qu’il est écrit dans le cours : à relire, à imprimer, puis à vérifier par l’entraînement.

Les notions de cette fiche

Racines carrées — Définition de √a pour a ≥ 0, carrés parfaits, calcul d'une racine carrée à la calculatrice, lien avec le théorème de Pythagore.

À maîtriser avant de commencer

Ces notions sont utilisées ici. Relisez-les si l’une d’elles vous échappe.

Puissances à exposant entier — Définition de a^n et a^(−n), règles de calcul (produit, quotient, puissance de puissance), puissances de 10.

Le début de la fiche

Extrait de la leçon « La racine carrée : le nombre dont on connaît le carré », tel qu’il figure sur la fiche.

Les relations à retenir

$\sqrt{a} \text{ est défini pour } a \geq 0 \; : \; \sqrt{a} \geq 0 \quad \text{et} \quad \left(\sqrt{a}\right)^{2} = a$
$\sqrt{a} = b \iff b \geq 0 \text{ et } b^{2} = a$
$\sqrt{a^{2}} = a \quad \text{si } a \geq 0 \qquad \text{(exemple : } \sqrt{(-3)^{2}} = 3\text{)}$
$p^{2} < N < (p+1)^{2} \;\Longrightarrow\; p < \sqrt{N} < p+1 \quad (p\in\mathbb{N})$
$\sqrt{9+16} = 5 \neq 7 = \sqrt{9}+\sqrt{16} \quad \text{(contre-exemple à une identité générale)}$

Tableau : Ce qu'on cherche, Comment faire, Exemple
Ce qu'on cherche	Comment faire	Exemple
La racine d'un carré parfait	par cœur, avec la table	$\sqrt{144} = 12$
Le côté d'un carré d'aire connue	racine carrée de l'aire	aire $20{,}0$ m² $\Rightarrow$ côté $4{,}47$ m
Situer une racine sans calculatrice	encadrer par deux carrés parfaits	$7 < \sqrt{50} < 8$
Une valeur arrondie	calculatrice, puis règle de l'arrondi	$\sqrt{23} \approx 4{,}80$

Domaine de validité. $\sqrt{a}$ n'existe que pour $a \geq 0$ . La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas parmi les nombres que l'on connaît — et n'existera pas davantage au lycée dans l'ensemble des nombres réels.

Limite du parcours retenu. La simplification des produits, quotients et radicaux n’est pas développée ici. On travaille la définition, les carrés parfaits, l’encadrement et les approximations ; cela ne signifie pas que toute autre propriété soit fausse ou interdite.

Unités. La racine carrée d'une aire donne une longueur : si l'aire est en m², le côté est en m. Le vrai danger n'est pas l'ordre des opérations, c'est la conversion des unités d'aire. Il faut retenir que $1$ m² $= 10\,000$ cm², et non $100$ cm² : entre les cm² et les m², on multiplie ou divise par $10\,000$ , pas par $100$ . Le facteur dépend des deux unités d’aire choisies. Ainsi $40\,000$ cm² $= 4{,}00$ m², dont la racine vaut $2{,}00$ m ; on retrouve bien $\sqrt{40\,000\ \text{cm}^{2}} = 200$ cm $= 2{,}00$ m. L'erreur serait d'écrire $40\,000$ cm² $= 400$ m², qui donnerait un côté de $20$ m.

Chiffres significatifs. Les chiffres significatifs d'un résultat sont ses chiffres écrits à partir du premier chiffre non nul : $4{,}47$ en a trois, $0{,}0447$ aussi. Une racine carrée obtenue à la calculatrice est presque toujours approchée : on la donne avec le nombre de chiffres significatifs des données (trois, le plus souvent) et on note le résultat avec le symbole $\approx$ , pas avec $=$ . On n’arrondit qu'à la fin.

Les pièges à éviter et la version imprimable sont réservés à votre compte.

S’entraîner sur ces notions

S’entraîner : La racine carrée : le nombre dont on connaît le carré

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