Fonctions de référence : carré, inverse, racine carrée, cube

Au collège, tu as rencontré la notion de fonction : un procédé qui, à chaque nombre $x$ d'un ensemble de départ, associe un unique nombre, noté $f(x)$ et appelé l'image de $x$. Tu as surtout travaillé les fonctions affines, de la forme $f(x) = ax + b$. En seconde, quatre nouvelles fonctions deviennent des outils de tous les jours. On les appelle fonctions de référence, parce que beaucoup de fonctions rencontrées ensuite s'y ramènent.

Avant de les présenter, un vocabulaire précis. L'ensemble de définition d'une fonction est l'ensemble des nombres qui ont une image — ceux pour lesquels le calcul est possible. On note $\mathbb{R}$ l'ensemble de tous les nombres réels, et $\mathbb{R}^{\ast}$ l'ensemble des réels non nuls, c'est-à-dire $\mathbb{R}$ privé de $0$.

Les quatre fonctions de référence.

1. La fonction carré : $f(x) = x^2$, définie sur $\mathbb{R}$. Tout nombre a un carré.

1. La fonction inverse : $f(x) = \dfrac{1}{x}$, définie sur $\mathbb{R}^{\ast}$. Le nombre $0$ est exclu : diviser par zéro n'a pas de sens, donc $0$ n'a pas d'image.

1. La fonction racine carrée : $f(x) = \sqrt{x}$, définie sur $[0\ ;\ +\infty[$. Un nombre strictement négatif n'a pas de racine carrée réelle : l'ensemble de définition s'arrête à $0$, qui est inclus car $\sqrt{0} = 0$.

1. La fonction cube : $f(x) = x^3$, définie sur $\mathbb{R}$.

Le sens de variation, défini proprement. Dire qu'une fonction « monte » ou « descend » ne suffit plus en seconde : il faut dire où, et ce que cela signifie exactement.

Une fonction $f$ est croissante sur un intervalle $I$ lorsque, pour tous réels $a$ et $b$ de $I$ tels que $a < b$, on a $f(a) \leq f(b)$. Elle est décroissante sur $I$ lorsque, dans les mêmes conditions, $f(a) \geq f(b)$.

Autrement dit : une fonction croissante conserve l'ordre des nombres, une fonction décroissante le renverse. Quand l'inégalité entre les images est stricte, on dit que la fonction est strictement croissante ou décroissante. C'est le cas des quatre fonctions de référence sur les intervalles ci-dessous.

Les variations des quatre fonctions — ce sont des propriétés du cours, à connaître :

• la fonction carré est décroissante sur $]-\infty\ ;\ 0]$ et croissante sur $[0\ ;\ +\infty[$ ; elle atteint en $0$ son minimum, qui vaut $0$ ;
• la fonction inverse est décroissante sur $]-\infty\ ;\ 0[$ et décroissante sur $]0\ ;\ +\infty[$ — sur chacun des deux intervalles séparément, on y reviendra ;
• la fonction racine carrée est croissante sur $[0\ ;\ +\infty[$ tout entier ;
• la fonction cube est croissante sur $\mathbb{R}$ tout entier.

Retiens dès maintenant la différence de nature entre ces énoncés : racine carrée et cube sont croissantes partout où elles existent ; carré et inverse changent de comportement de part et d'autre de $0$. C'est cette différence qui fait tout l'intérêt — et toute la difficulté — du chapitre.

Comparer deux images sans les calculer. C'est la compétence centrale du chapitre. Si $a$ et $b$ sont deux réels d'un intervalle $I$ avec $a < b$, et si l'on connaît le sens de variation de $f$ sur $I$ tout entier, alors la comparaison est immédiate, sans le moindre calcul :

• $f$ croissante sur $I$ : l'ordre est conservé, donc $f(a) < f(b)$ ;
• $f$ décroissante sur $I$ : l'ordre est renversé, donc $f(a) > f(b)$.

Par exemple, si $a$ et $b$ sont deux réels de $[3\ ;\ 8]$ avec $a < b$, alors $a^2 < b^2$ : l'intervalle $[3\ ;\ 8]$ est entièrement contenu dans $[0\ ;\ +\infty[$, où la fonction carré est croissante. Aucune valeur de $a$ ni de $b$ n'est nécessaire.

Quand la monotonie ne tranche pas. Prenons maintenant $a$ et $b$ dans $[-4\ ;\ 3]$ avec $a < b$, et comparons $a^2$ et $b^2$. L'intervalle contient $0$ : la fonction carré y décroît puis y croît, elle n'est pas monotone sur $[-4\ ;\ 3]$. Et de fait, les deux ordres sont possibles : avec $a = -3$ et $b = 1$, on a $a^2 = 9 > 1 = b^2$ ; avec $a = -1$ et $b = 2$, on a $a^2 = 1 < 4 = b^2$. On ne peut pas conclure — et c'est une réponse mathématiquement complète, pas un aveu d'échec. Savoir reconnaître qu'une question est indécidable avec les informations données fait partie du travail.

Le cas de la fonction inverse mérite un arrêt. Elle est décroissante sur $]-\infty\ ;\ 0[$ et décroissante sur $]0\ ;\ +\infty[$, mais il serait faux de dire qu'elle est décroissante sur $\mathbb{R}^{\ast}$ tout entier. Vérifie sur un exemple : $-2 < 1$, et pourtant $\dfrac{1}{-2} = -0{,}5 < 1 = \dfrac{1}{1}$. L'ordre est conservé, pas renversé : entre un nombre négatif et un nombre positif, l'inverse ne se comporte pas comme une fonction décroissante. La raison est simple : l'inverse d'un négatif est négatif, l'inverse d'un positif est positif, et tout négatif est inférieur à tout positif. La décroissance de la fonction inverse ne vaut donc qu'à l'intérieur de chacun des deux intervalles, jamais de l'un à l'autre.

La parité : une symétrie qui se calcule. On dit qu'une fonction $f$ est paire lorsque, pour tout $x$ de son ensemble de définition, $-x$ en fait aussi partie et $f(-x) = f(x)$ : deux nombres opposés ont la même image. On dit que $f$ est impaire lorsque, dans les mêmes conditions, $f(-x) = -f(x)$ : deux nombres opposés ont des images opposées.

• La fonction carré est paire : $(-x)^2 = x^2$. Sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
• Les fonctions inverse et cube sont impaires : $\dfrac{1}{-x} = -\dfrac{1}{x}$ et $(-x)^3 = -x^3$. Leurs courbes sont symétriques par rapport à l'origine du repère.
• La fonction racine carrée n'est ni paire ni impaire : son ensemble de définition $[0\ ;\ +\infty[$ ne contient pas les opposés de ses éléments, la question ne se pose même pas.

La parité est un outil de comparaison à part entière : si $x > 0$, alors $x^2 = (-x)^2$ sans calcul (fonction paire), et $(-x)^3 < x^3$ puisque $(-x)^3 = -x^3$ est négatif quand $x^3$ est positif.

Ne confonds jamais le signe et le sens de variation. « $f$ est positive sur $I$ » signifie que ses images sont positives ; « $f$ est croissante sur $I$ » signifie que ses images se rangent dans le même ordre que les nombres de départ. Les deux propriétés sont indépendantes : la fonction carré est positive sur $\mathbb{R}$ tout entier, et pourtant elle décroît sur $]-\infty\ ;\ 0]$. Une phrase comme « $x^2$ est positif donc ça augmente » n'a aucun sens mathématique.

Énoncé. On considère la fonction inverse $f$, définie sur $\mathbb{R}^{\ast}$ par $f(x) = \dfrac{1}{x}$, et la fonction carré $g$, définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x^2$.

1. Soient $a$ et $b$ deux réels de $[2\ ;\ 9]$ tels que $a < b$. Comparer $f(a)$ et $f(b)$. 2) Soient $a$ et $b$ deux réels non nuls tels que $a < b$. Peut-on comparer $f(a)$ et $f(b)$ ? 3) Ranger dans l'ordre croissant les quatre images $g(-3)$ ; $g(-0{,}5)$ ; $g(1)$ ; $g(2{,}5)$.

1) Comparer sur un intervalle où la monotonie vaut.

Étape 1 — situer l'intervalle. $[2\ ;\ 9]$ est entièrement contenu dans $]0\ ;\ +\infty[$ : il ne contient pas $0$ et ne touche pas les négatifs.

Étape 2 — invoquer la propriété du cours. Sur $]0\ ;\ +\infty[$, la fonction inverse est décroissante.

Étape 3 — conclure. Une fonction décroissante renverse l'ordre : de $a < b$ on déduit

Aucun calcul d'image n'a été nécessaire — et aucun n'était possible, puisque $a$ et $b$ n'ont pas de valeurs.

Contrôle rapide : avec $a = 2$ et $b = 4$, on aurait $f(a) = 0{,}5$ et $f(b) = 0{,}25$, et l'on a bien $0{,}5 > 0{,}25$.

2) Reconnaître un cas indécidable.

Cette fois, $a$ et $b$ sont seulement « non nuls » : ils peuvent être de signes contraires. Or la fonction inverse n'est pas monotone sur $\mathbb{R}^{\ast}$ : elle est décroissante sur chacun des deux intervalles $]-\infty\ ;\ 0[$ et $]0\ ;\ +\infty[$, mais pas de l'un à l'autre. Deux exemples le prouvent : avec $a = -2$ et $b = -1$, on a $f(a) = -0{,}5 > -1 = f(b)$ ; avec $a = -2$ et $b = 1$, on a $f(a) = -0{,}5 < 1 = f(b)$. Les deux ordres sont possibles : on ne peut pas conclure. C'est la réponse attendue, complète et justifiée par les deux contre-exemples.

3) Ranger quatre images de la fonction carré.

Étape 1 — refuser le réflexe. Les abscisses rangées valent $-3 < -0{,}5 < 1 < 2{,}5$. Ce n'est pas l'ordre des images : les quatre nombres sont de part et d'autre de $0$, là où la fonction carré n'est pas monotone.

Étape 2 — calculer chaque image.

Étape 3 — ranger les valeurs, puis réécrire avec les notations.

Le moment décisif : le plus petit nombre de départ, $-3$, a la plus grande image. Sur un ensemble à cheval sur $0$, l'ordre des carrés ne suit pas l'ordre des nombres — c'est la distance à zéro qui commande, et $-3$ est le plus éloigné de zéro des quatre.

Figure (SVG programmatique à produire) : quatre panneaux de même taille, un par fonction de référence, chacun contenant un repère orthonormé gradué de $-3$ à $3$ sur chaque axe, la courbe en trait plein, et sous le repère une flèche de variation résumant le comportement.

• Panneau 1 — la fonction carré. La parabole d'équation $y = x^2$, qui descend de la gauche jusqu'à l'origine puis remonte à droite, passant par $(-2\ ;\ 4)$, $(-1\ ;\ 1)$, $(0\ ;\ 0)$, $(1\ ;\ 1)$ et $(2\ ;\ 4)$. L'axe des ordonnées est repris en trait tireté fin avec la mention « axe de symétrie » ; les deux points $(-1{,}5\ ;\ 2{,}25)$ et $(1{,}5\ ;\ 2{,}25)$ sont marqués et reliés par un segment horizontal en pointillés pour matérialiser la parité. Le point $(0\ ;\ 0)$ porte l'étiquette « minimum ». Sous le repère, deux flèches : l'une qui descend au-dessus de l'intervalle des négatifs, l'autre qui monte au-dessus des positifs.
• Panneau 2 — la fonction inverse. L'hyperbole d'équation $y = 1/x$, en deux branches : l'une dans le quart en bas à gauche du repère, passant par $(-2\ ;\ -0{,}5)$ et $(-0{,}5\ ;\ -2)$, l'autre dans le quart en haut à droite, passant par $(0{,}5\ ;\ 2)$ et $(2\ ;\ 0{,}5)$. Les deux axes sont soulignés en trait tireté : la courbe s'en approche sans jamais les toucher. Une pastille barrée sur l'origine rappelle que $0$ n'a pas d'image. Sous le repère, deux flèches descendantes séparées par un espace vide au-dessus de $0$, et la légende « décroissante sur chaque intervalle — pas d'un intervalle à l'autre » ; les points $(-2\ ;\ -0{,}5)$ et $(1\ ;\ 1)$ sont marqués pour montrer qu'entre eux, l'ordre des images suit celui des abscisses.
• Panneau 3 — la fonction racine carrée. La demi-courbe d'équation $y = \sqrt{x}$, qui part de l'origine (point plein : $0$ a bien une image) et monte vers la droite en s'aplatissant, passant par $(1\ ;\ 1)$ et $(4\ ;\ 2)$ — ce panneau étend son axe horizontal jusqu'à $4$. La moitié gauche du repère est grisée avec la mention « pas d'image pour $x < 0$ ». Sous le repère, une seule flèche montante sur $[0\ ;\ +\infty[$.
• Panneau 4 — la fonction cube. La courbe d'équation $y = x^3$, qui monte de gauche à droite en traversant l'origine, passant par $(-1\ ;\ -1)$, $(0\ ;\ 0)$ et $(1\ ;\ 1)$ ; l'axe vertical de ce panneau est gradué jusqu'à $\pm 8$ pour accueillir $(\pm 2\ ;\ \pm 8)$. Les deux points $(-1{,}5\ ;\ -3{,}375)$ et $(1{,}5\ ;\ 3{,}375)$ sont marqués et reliés par un segment en pointillés passant par l'origine, avec la mention « symétrie par rapport à l'origine ». Sous le repère, une seule flèche montante sur $\mathbb{R}$ tout entier.

Ce qu'il faut lire. Les quatre panneaux racontent la même opposition que le cours : à droite, racine carrée et cube montent d'un bout à l'autre — une seule flèche, aucune subtilité. À gauche, carré et inverse exigent de couper en deux : la parabole descend puis monte, l'hyperbole descend sur chaque branche mais saute en passant d'une branche à l'autre. Les flèches de variation sous chaque repère sont exactement ce qu'il faut avoir en tête avant de comparer deux images : si l'intervalle de travail tient sous une seule flèche, la comparaison est immédiate ; s'il en chevauche deux, elle est impossible sans calcul.

Domaine de validité. La règle « croissante conserve l'ordre, décroissante le renverse » ne s'applique que si les deux nombres comparés appartiennent à un même intervalle sur lequel le sens de variation est connu et ne change pas. Dès que l'ensemble de travail chevauche $0$ pour la fonction carré, ou réunit les deux intervalles de la fonction inverse, aucune conclusion générale n'est possible : il faut soit des valeurs, soit renoncer.

Écritures et unités. Les quatre fonctions de référence opèrent sur des nombres sans dimension : aucune unité n'intervient dans ce chapitre. Les images se donnent en valeur exacte quand c'est possible ($\sqrt{9} = 3$, $\frac{1}{4} = 0{,}25$) ; sinon on garde l'écriture exacte ($\sqrt{5}$, $\frac{1}{3}$) plutôt qu'un arrondi, sauf si l'énoncé demande une valeur approchée — auquel cas on écrit $\approx$ et jamais $=$.

Un contrôle gratuit. Après toute comparaison par la monotonie, remplace $a$ et $b$ par deux valeurs simples de l'intervalle et vérifie l'inégalité obtenue. Trois secondes de calcul mental, et l'erreur de sens — croissante lue comme décroissante — ne survit jamais à ce test.

1. Croire que la fonction carré est croissante sur $\mathbb{R}$. C'est l'erreur la plus répandue du chapitre. Contre-exemple immédiat : $-3 < -1$ et pourtant $(-3)^2 = 9 > 1 = (-1)^2$. Sur les négatifs, élever au carré renverse l'ordre. La fonction carré ne croît que sur $[0\ ;\ +\infty[$ ; sur $]-\infty\ ;\ 0]$, elle décroît.
2. Penser que la fonction inverse est décroissante sur $\mathbb{R}^{\ast}$ tout entier. Elle est décroissante sur chacun des deux intervalles $]-\infty\ ;\ 0[$ et $]0\ ;\ +\infty[$, séparément. Entre deux nombres de signes contraires, la règle tombe : $-2 < 1$ et $\frac{1}{-2} = -0{,}5 < 1 = \frac{1}{1}$ — l'ordre est conservé, pas renversé. Un sens de variation ne se recolle jamais par-dessus un trou de l'ensemble de définition.
3. Confondre « $f$ est positive » et « $f$ est croissante ». Le signe dit où se trouvent les images (au-dessus ou en dessous de zéro) ; le sens de variation dit comment elles se rangent. La fonction carré est positive partout et décroissante sur les négatifs : les deux propriétés cohabitent sans se contredire.
4. Calculer $\sqrt{x}$ ou $\frac{1}{x}$ hors de l'ensemble de définition. $\sqrt{-4}$ n'existe pas dans $\mathbb{R}$, et $\frac{1}{0}$ n'existe pas du tout. Avant tout calcul d'image, vérifie que le nombre appartient à l'ensemble de définition — c'est la première question à se poser, pas la dernière.
5. Ranger des images en rangeant les abscisses. Sur un ensemble où la fonction est monotone, les deux ordres coïncident (ou s'inversent exactement) ; partout ailleurs, non. Ranger $g(-3)$, $g(-0{,}5)$, $g(1)$, $g(2{,}5)$ pour la fonction carré exige de calculer : le plus petit nombre, $-3$, donne la plus grande image.
6. Répondre « on ne peut pas conclure » par prudence, sans preuve. Cette réponse est correcte seulement quand elle est justifiée : deux choix de valeurs donnant les deux ordres contraires. Sans ces contre-exemples, elle ne vaut pas mieux qu'une réponse au hasard — et quand l'intervalle tient d'un seul côté de $0$, elle est tout simplement fausse.
7. Écrire $f(a) < f(b)$ parce que « $a < b$ et $f$ décroissante » sans renverser. Une fonction décroissante renverse l'inégalité : $a < b$ donne $f(a) > f(b)$. Relis toujours ta conclusion en te demandant : ai-je conservé ou retourné le sens ? La moitié des erreurs de ce chapitre sont des inégalités écrites dans le bon cadre mais dans le mauvais sens.

Le modèle. L'exercice associé à cette leçon tire une fonction de référence, un intervalle (ou la seule information « réels non nuls »), et deux réels $a < b$ dont les valeurs ne sont jamais données. Quatre réponses sont proposées : $f(a) < f(b)$, $f(a) > f(b)$, $f(a) = f(b)$, ou « on ne peut pas conclure » — et selon le tirage, chacune peut être la bonne. Une variante remplace la comparaison de $f(a)$ et $f(b)$ par celle de $f(-x)$ et $f(x)$ : c'est la parité qui tranche alors. Un second modèle, voisin, demande de ranger quatre images d'une même fonction calculées en des abscisses de part et d'autre de $0$.

Énoncé type. On considère la fonction carré $f$, définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$. Soient $a$ et $b$ deux réels de $[-7\ ;\ -2]$ tels que $a < b$. Comparer $f(a)$ et $f(b)$.

Corrigé complet.

1. Situer l'intervalle. $[-7\ ;\ -2]$ est entièrement contenu dans $]-\infty\ ;\ 0]$ : tous ses éléments sont négatifs, et $0$ n'en fait pas partie. C'est la vérification décisive — elle conditionne tout le reste.

2. Invoquer la propriété du cours. Sur $]-\infty\ ;\ 0]$, la fonction carré est décroissante. Attention : elle est positive sur cet intervalle (tous les carrés le sont), et cela ne l'empêche nullement de décroître — le signe des images et leur ordre sont deux questions distinctes.

3. Appliquer la définition de la décroissance. Une fonction décroissante renverse l'ordre : puisque $a < b$,

4. Contrôler avec des valeurs. Prenons $a = -5$ et $b = -3$, deux éléments de l'intervalle avec $a < b$ : $f(a) = 25$ et $f(b) = 9$, et l'on a bien $25 > 9$. La conclusion tient.

Auto-contrôle : si tu as répondu $f(a) < f(b)$, tu as probablement appliqué « la fonction carré est croissante » sans regarder l'intervalle — elle ne l'est que sur les positifs. Si tu as répondu « on ne peut pas conclure », vérifie si l'intervalle contient $0$ : ici il ne le contient pas, la monotonie tranche, et il faut conclure. Cette option n'est la bonne que lorsque deux choix de valeurs peuvent donner les deux ordres contraires.