Fonctions de référence : carré, inverse, racine carrée, cube

Au collège, vous avez rencontré la notion de fonction : un procédé qui, à chaque nombre $x$ d'un ensemble de départ, associe un unique nombre, noté $f(x)$ et appelé l'image de $x$. Vous avez surtout travaillé les fonctions affines, de la forme $f(x) = ax + b$. En seconde, quatre nouvelles fonctions deviennent des outils de tous les jours. On les appelle fonctions de référence, parce que beaucoup de fonctions rencontrées ensuite s'y ramènent.

Avant de les présenter, un vocabulaire précis. L'ensemble de définition d'une fonction est l'ensemble des nombres qui ont une image — ceux pour lesquels le calcul est possible. On note $\mathbb{R}$ l'ensemble de tous les nombres réels, et $\mathbb{R}^{\ast}$ l'ensemble des réels non nuls, c'est-à-dire $\mathbb{R}$ privé de $0$.

Les quatre fonctions de référence.

1. La fonction carré : $f(x) = x^2$, définie sur $\mathbb{R}$. Tout nombre a un carré.

1. La fonction inverse : $f(x) = \dfrac{1}{x}$, définie sur $\mathbb{R}^{\ast}$. Le nombre $0$ est exclu : diviser par zéro n'a pas de sens, donc $0$ n'a pas d'image.

1. La fonction racine carrée : $f(x) = \sqrt{x}$, définie sur $[0\ ;\ +\infty[$. Un nombre strictement négatif n'a pas de racine carrée réelle : l'ensemble de définition s'arrête à $0$, qui est inclus car $\sqrt{0} = 0$.

1. La fonction cube : $f(x) = x^3$, définie sur $\mathbb{R}$.

Le sens de variation, défini proprement. Dire qu'une fonction « monte » ou « descend » ne suffit plus en seconde : il faut dire où, et ce que cela signifie exactement.

Une fonction $f$ est croissante sur un intervalle $I$ lorsque, pour tous réels $a$ et $b$ de $I$ tels que $a < b$, on a $f(a) \leq f(b)$. Elle est décroissante sur $I$ lorsque, dans les mêmes conditions, $f(a) \geq f(b)$.

Autrement dit : une fonction croissante conserve l'ordre des nombres, une fonction décroissante le renverse. Quand l'inégalité entre les images est stricte, on dit que la fonction est strictement croissante ou décroissante. C'est le cas des quatre fonctions de référence sur les intervalles ci-dessous.

Les variations des quatre fonctions — ce sont des propriétés du cours, à connaître :

• la fonction carré est décroissante sur $]-\infty\ ;\ 0]$ et croissante sur $[0\ ;\ +\infty[$ ; elle atteint en $0$ son minimum, qui vaut $0$ ;
• la fonction inverse est décroissante sur $]-\infty\ ;\ 0[$ et décroissante sur $]0\ ;\ +\infty[$ — sur chacun des deux intervalles séparément, on y reviendra ;
• la fonction racine carrée est croissante sur $[0\ ;\ +\infty[$ tout entier ;
• la fonction cube est croissante sur $\mathbb{R}$ tout entier.

Retenez dès maintenant la différence de nature entre ces énoncés : racine carrée et cube sont croissantes partout où elles existent ; le carré change de sens de variation en zéro ; l’inverse est strictement décroissante sur chacune de ses deux branches, mais pas globalement sur les réels non nuls. C'est cette différence qui fait tout l'intérêt — et toute la difficulté — du chapitre.

Comparer deux images sans les calculer. C'est la compétence centrale du chapitre. Si $a$ et $b$ sont deux réels d'un intervalle $I$ avec $a < b$, et si l'on connaît le sens de variation de $f$ sur $I$ tout entier, alors la comparaison est immédiate, sans le moindre calcul :

• $f$ croissante sur $I$ : $f(a)\leq f(b)$ ; l’inégalité est stricte si $f$ est strictement croissante ;
• $f$ décroissante sur $I$ : $f(a)\geq f(b)$ ; l’inégalité est stricte si $f$ est strictement décroissante.

Par exemple, si $a$ et $b$ sont deux réels de $[3\ ;\ 8]$ avec $a < b$, alors $a^2 < b^2$ : l'intervalle $[3\ ;\ 8]$ est entièrement contenu dans $[0\ ;\ +\infty[$, où la fonction carré est croissante. Aucune valeur de $a$ ni de $b$ n'est nécessaire.

Quand la monotonie ne tranche pas. Prenons maintenant $a$ et $b$ dans $[-4\ ;\ 3]$ avec $a < b$, et comparons $a^2$ et $b^2$. L'intervalle contient $0$ : la fonction carré y décroît puis y croît, elle n'est pas monotone sur $[-4\ ;\ 3]$. Et de fait, les deux ordres sont possibles : avec $a = -3$ et $b = 1$, on a $a^2 = 9 > 1 = b^2$ ; avec $a = -1$ et $b = 2$, on a $a^2 = 1 < 4 = b^2$. On ne peut pas conclure — et c'est une réponse mathématiquement complète, pas un aveu d'échec. Savoir reconnaître qu'une question est indécidable avec les informations données fait partie du travail.

Le cas de la fonction inverse mérite un arrêt. Elle est décroissante sur $]-\infty\ ;\ 0[$ et décroissante sur $]0\ ;\ +\infty[$, mais il serait faux de dire qu'elle est décroissante sur $\mathbb{R}^{\ast}$ tout entier. Vérifiez sur un exemple : $-2 < 1$, et pourtant $\dfrac{1}{-2} = -0{,}5 < 1 = \dfrac{1}{1}$. L'ordre est conservé, pas renversé : entre un nombre négatif et un nombre positif, l'inverse ne se comporte pas comme une fonction décroissante. La raison est simple : l'inverse d'un négatif est négatif, l'inverse d'un positif est positif, et tout négatif est inférieur à tout positif. La décroissance de la fonction inverse ne vaut donc qu'à l'intérieur de chacun des deux intervalles, jamais de l'un à l'autre.

La parité : une symétrie qui se calcule. On dit qu'une fonction $f$ est paire lorsque, pour tout $x$ de son ensemble de définition, $-x$ en fait aussi partie et $f(-x) = f(x)$ : deux nombres opposés ont la même image. On dit que $f$ est impaire lorsque, dans les mêmes conditions, $f(-x) = -f(x)$ : deux nombres opposés ont des images opposées.

• La fonction carré est paire : $(-x)^2 = x^2$. Sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
• Les fonctions inverse et cube sont impaires : $\dfrac{1}{-x} = -\dfrac{1}{x}$ et $(-x)^3 = -x^3$. Leurs courbes sont symétriques par rapport à l'origine du repère.
• La fonction racine carrée n'est ni paire ni impaire : son domaine n’est pas symétrique par rapport à zéro : par exemple $1$ y appartient, mais pas $-1$, ce qui exclut les deux propriétés selon la définition donnée.

La parité est un outil de comparaison à part entière : si $x > 0$, alors $x^2 = (-x)^2$ sans calcul (fonction paire), et $(-x)^3 < x^3$ puisque $(-x)^3 = -x^3$ est négatif quand $x^3$ est positif.

Ne confondez jamais le signe et le sens de variation. « $f$ est positive sur $I$ » signifie que ses images sont positives ; « $f$ est croissante sur $I$ » signifie que ses images se rangent dans le même ordre que les nombres de départ. Les deux propriétés sont indépendantes : la fonction carré est positive sur $\mathbb{R}$ tout entier, et pourtant elle décroît sur $]-\infty\ ;\ 0]$. Une phrase comme « $x^2$ est positif donc ça augmente » n'a aucun sens mathématique.

Énoncé. Un calcul prend un nombre $x$ dans $[-3;2]$, le met au carré, ajoute $7$, puis prend la racine carrée. On note le résultat $F(x)=\sqrt{x^2+7}$. Quel est le minimum du résultat ? Quel est son maximum sur l’intervalle ? Comparez aussi $F(-3)$ et $F(2)$ sans arrondir.

Vérifier le domaine. Pour tout réel, $x^2\geq0$, donc $x^2+7\geq7>0$ : la racine est définie. Il n’est pas nécessaire de calculer une racine de nombre négatif.

Encadrer le carré sur tout l’intervalle. Le carré n’est pas croissant sur $[-3;2]$. Il atteint son minimum $0$ en $x=0$. La plus grande distance à zéro dans cet intervalle est $3$, atteinte en $x=-3$ : on a donc $0\leq x^2\leq9$.

Appliquer la croissance de la racine. On obtient $7\leq x^2+7\leq16$, puis

Les bornes sont effectivement atteintes : le minimum est $\sqrt7$ en zéro, le maximum est $4$ en $-3$. Le résultat ne se déduit pas en appliquant aveuglément la croissance au nombre initial $x$.

Comparer les deux sorties. $F(-3)=4$ et $F(2)=\sqrt{11}$. Puisque $11<16$ et que la racine est strictement croissante sur les nombres positifs, $\sqrt{11}<4$. Donc $F(2)<F(-3)$, sans arrondi.

Contrôle. $F(-x)=F(x)$ : les entrées opposées $-2$ et $2$, présentes dans l’intervalle, ont la même sortie. Cela rappelle que l’ordre des entrées ne suffit pas à ordonner les sorties d’un carré.

Figure (SVG programmatique existant) : quatre panneaux de même taille, un par fonction de référence, avec des repères orthogonaux et des graduations adaptées à chaque fonction ; le panneau cube utilise des échelles différentes sur les deux axes, comme le signale sa légende, la courbe en trait plein, et sous le repère une flèche de variation résumant le comportement.

• Panneau 1 — la fonction carré. La parabole d'équation $y = x^2$, qui descend de la gauche jusqu'à l'origine puis remonte à droite, passant par $(-2\ ;\ 4)$, $(-1\ ;\ 1)$, $(0\ ;\ 0)$, $(1\ ;\ 1)$ et $(2\ ;\ 4)$. L'axe des ordonnées est repris en trait tireté fin avec la mention « axe de symétrie » ; les deux points $(-1{,}5\ ;\ 2{,}25)$ et $(1{,}5\ ;\ 2{,}25)$ sont marqués et reliés par un segment horizontal en pointillés pour matérialiser la parité. Le point $(0\ ;\ 0)$ porte l'étiquette « minimum ». Sous le repère, deux flèches : l'une qui descend au-dessus de l'intervalle des négatifs, l'autre qui monte au-dessus des positifs.
• Panneau 2 — la fonction inverse. L'hyperbole d'équation $y = 1/x$, en deux branches : l'une dans le quart en bas à gauche du repère, passant par $(-2\ ;\ -0{,}5)$ et $(-0{,}5\ ;\ -2)$, l'autre dans le quart en haut à droite, passant par $(0{,}5\ ;\ 2)$ et $(2\ ;\ 0{,}5)$. Les deux axes sont soulignés en trait tireté : la courbe s'en approche sans jamais les toucher. Une pastille barrée sur l'origine rappelle que $0$ n'a pas d'image. Sous le repère, deux flèches descendantes séparées par un espace vide au-dessus de $0$, et la légende « décroissante sur chaque intervalle — pas d'un intervalle à l'autre » ; les points $(-2\ ;\ -0{,}5)$ et $(1\ ;\ 1)$ sont marqués pour montrer qu'entre eux, l'ordre des images suit celui des abscisses.
• Panneau 3 — la fonction racine carrée. La demi-courbe d'équation $y = \sqrt{x}$, qui part de l'origine (point plein : $0$ a bien une image) et monte vers la droite en s'aplatissant, passant par $(1\ ;\ 1)$ et $(4\ ;\ 2)$ — ce panneau étend son axe horizontal jusqu'à $4$. La moitié gauche du repère est grisée avec la mention « pas d'image pour $x < 0$ ». Sous le repère, une seule flèche montante sur $[0\ ;\ +\infty[$.
• Panneau 4 — la fonction cube. La courbe d'équation $y = x^3$, qui monte de gauche à droite en traversant l'origine, passant par $(-1\ ;\ -1)$, $(0\ ;\ 0)$ et $(1\ ;\ 1)$ ; l'axe vertical de ce panneau est gradué jusqu'à $\pm 8$ pour accueillir $(\pm 2\ ;\ \pm 8)$. Les deux points $(-1{,}5\ ;\ -3{,}375)$ et $(1{,}5\ ;\ 3{,}375)$ sont marqués et reliés par un segment en pointillés passant par l'origine, avec la mention « symétrie par rapport à l'origine ». Sous le repère, une seule flèche montante sur $\mathbb{R}$ tout entier.

Ce qu'il faut lire. Les quatre panneaux racontent la même opposition que le cours : à droite, racine carrée et cube montent d'un bout à l'autre — une seule flèche, aucune subtilité. À gauche, carré et inverse exigent de couper en deux : la parabole descend puis monte, l’hyperbole descend sur chacune de ses deux branches, séparées par la valeur interdite zéro. Les flèches de variation sous chaque repère sont exactement ce qu'il faut avoir en tête avant de comparer deux images : si l'intervalle de travail tient sous une seule flèche, la comparaison est immédiate ; s’il en chevauche deux, la monotonie seule sur ces branches ne suffit pas en général. Le signe, la parité ou les distances à zéro peuvent néanmoins permettre de comparer sans calculer les images.