Mathématiques · Seconde · 3 leçons

Fiche de révision : Géométrie

L’essentiel de chaque leçon du chapitre, tel qu’il est écrit dans le cours : à relire, à imprimer, puis à vérifier par l’entraînement.

Les notions de cette fiche

Géométrie repérée — Coordonnées d'un point, milieu d'un segment, distance entre deux points dans un repère orthonormé, équation de droite.
Systèmes de deux équations à deux inconnues — Résoudre un système linéaire 2 × 2 par substitution ou combinaison ; interprétation graphique comme intersection de droites.
Vecteurs du plan — Translation, égalité de vecteurs, somme (relation de Chasles), produit par un réel, coordonnées, colinéarité et déterminant.

À maîtriser avant de commencer

Ces notions sont utilisées ici. Relisez-les si l’une d’elles vous échappe.

Théorème de Pythagore — Énoncé, réciproque et contraposée ; calcul d'une longueur dans un triangle rectangle ; démontrer qu'un triangle est ou n'est pas rectangle.
Nombres relatifs — Repérer, comparer, additionner, soustraire, multiplier et diviser des nombres relatifs ; règle des signes.
Équations du premier degré — Résoudre ax + b = cx + d par transformations équivalentes ; mise en équation d'un problème ; vérification d'une solution.

Le début de la fiche

Extrait de la leçon « Géométrie repérée : milieu, distance, configurations », tel qu’il figure sur la fiche.

Les relations à retenir

$x_M = \frac{x_A + x_B}{2} \qquad y_M = \frac{y_A + y_B}{2} \qquad \text{(tout repère)}$
$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \qquad \text{(repère orthonormé seulement)}$
$B \text{ milieu de } [AC] \iff x_C = 2x_B - x_A \text{ et } y_C = 2y_B - y_A$
$AB = AC \iff AB^2 = AC^2 \qquad \text{(longueurs positives)}$
$ABCD \text{ parallélogramme} \iff [AC] \text{ et } [BD] \text{ ont le même milieu}$

Tableau : Ce que vous cherchez, Ce que vous faites, Condition
Ce que vous cherchez	Ce que vous faites	Condition
Milieu de $[AB]$	moyenne des abscisses, moyenne des ordonnées	aucun repère particulier
Distance $AB$	racine de la somme des carrés des différences	repère orthonormé
$C$ tel que $B$ milieu de $[AC]$	$x_C = 2x_B - x_A$ , $y_C = 2y_B - y_A$	aucun repère particulier
Triangle isocèle en $A$	comparer $AB^2$ et $AC^2$	repère orthonormé
$ABCD$ parallélogramme	comparer les milieux de $[AC]$ et $[BD]$	aucun repère particulier

Domaine de validité. La colonne « condition » du tableau est la partie la plus importante de la leçon : la formule de la distance repose sur Pythagore, donc sur des axes perpendiculaires et une unité commune ; la formule du milieu ne mesure rien, elle partage, et vaut dans tout repère. Toujours vérifier dans l'énoncé que le repère est orthonormé avant de calculer une distance.

Unités et arrondis. Les coordonnées de ce chapitre sont des nombres sans unité ; si les axes sont gradués en centimètres, les distances s'expriment en centimètres. Une distance se donne d'abord en valeur exacte ( $\sqrt{65}$ ), puis en valeur approchée si l'énoncé le demande, avec le signe $\approx$ et l'arrondi précisé. Un carré de distance ( $AB^2 = 65$ ) est exact et le reste : c'est pour cela qu'on compare les carrés.

Contrôles utiles. Un milieu a chacune de ses coordonnées comprise entre celles des extrémités. Dans un repère orthonormé, la distance est supérieure ou égale au maximum des valeurs absolues des deux différences de coordonnées, et inférieure ou égale à leur somme. Un point manquant se vérifie en recalculant le milieu. Ces contrôles sont utiles, mais une valeur incorrecte peut satisfaire certaines de ces seules bornes ; ils ne remplacent pas la justification et le calcul.

La suite de la fiche (2 autres notions, les pièges à éviter et la version imprimable) est réservée à votre compte.

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