Les puissances : écrire court ce qui serait très long

Quand un même nombre est multiplié plusieurs fois par lui-même, l'écriture devient vite illisible. La puissance est une abréviation.

Pour un nombre $a$ et un entier $n$ supérieur ou égal à $1$ :

On lit « $a$ exposant $n$ ». Le nombre $a$ est la base, le nombre $n$ est l'exposant. L'exposant ne fait qu'une chose : il compte les facteurs.

Deux lectures particulières ont un nom : $a^{2}$ se lit « $a$ au carré », $a^{3}$ se lit « $a$ au cube ». Si $a$ est une longueur positive ou nulle, ces expressions donnent l'aire du carré et le volume du cube de côté $a$. Pour une base négative, on conserve le sens algébrique du produit. Et $a^{1} = a$ : un seul facteur.

L'erreur à écarter tout de suite. $2^{3}$ n'est pas $2 \times 3$. L'exposant ne multiplie pas la base, il dit combien de fois la base apparaît dans le produit. $2^{3} = 8$, alors que $2 \times 3 = 6$. Vérifie en dépliant le produit quand tu as un doute.

Les puissances de 10 sont les plus utiles. Avec la base $10$, le calcul se lit directement :

$10^{n}$ s'écrit $1$ suivi de $n$ zéros. C'est pour cela que les puissances de $10$ servent partout en sciences : elles permettent d'écrire $6\,000\,000\,000$ comme $6 \times 10^{9}$, sans compter les zéros à la main.

Le mécanisme du produit. Pourquoi $10^{3} \times 10^{4} = 10^{7}$ ? Il suffit de compter. À gauche, il y a $3$ facteurs $10$, puis $4$ autres facteurs $10$ : en tout $3 + 4 = 7$ facteurs $10$. Dans un produit de puissances de même base, les exposants s'additionnent.

Le mécanisme du quotient. De même, $\dfrac{10^{5}}{10^{2}}$ : cinq facteurs $10$ en haut, deux en bas ; deux se simplifient avec deux, il en reste $5 - 2 = 3$. Dans un quotient, on soustrait l'exposant du dénominateur.

Ces deux règles ne sont pas à apprendre par cœur en aveugle : elles se retrouvent en comptant les facteurs.

Une base négative : tout dépend de la parenthèse. Compare :

Dans le premier cas, la parenthèse indique que le signe fait partie du facteur répété. Dans le second, la puissance porte sur $2$ seul, et le signe moins reste devant. Deux écritures, deux nombres différents. Écris donc toujours la parenthèse quand la base est négative.

La parité décide du signe. Un produit de facteurs négatifs est positif si les facteurs négatifs sont en nombre pair, négatif s'ils sont en nombre impair. Donc :

• $(-3)^{2} = 9$ et $(-3)^{4} = 81$ : exposant pair, résultat positif ;
• $(-3)^{3} = -27$ et $(-3)^{5} = -243$ : exposant impair, résultat négatif.

L'exposant $0$. On pose $10^{0} = 1$. Ce n'est pas un caprice : la règle du quotient impose ce choix. En effet $\dfrac{10^{3}}{10^{3}} = 1$, et la règle donne $10^{3-3} = 10^{0}$. Pour que la règle reste vraie sans exception, il faut $10^{0} = 1$. La même convention vaut pour toute base non nulle : $a^{0} = 1$ si $a \neq 0$.

Les exposants négatifs. Continuons à descendre l'escalier des puissances de $10$ : chaque fois qu'on retire $1$ à l'exposant, on divise par $10$.

D'où la définition, pour $n$ entier positif :

$10^{-n}$ s'écrit $0{,}0\dots01$ avec le $1$ au rang $n$ après la virgule : $10^{-3} = 0{,}001$.

Pour une base positive, une puissance reste positive, même avec un exposant négatif. Le signe de l'exposant ne détermine pas à lui seul le signe du résultat. $10^{-3} = 0{,}001$ est positif, et plus petit que $1$. Le signe moins de l'exposant signifie « on divise », pas « le résultat est négatif ». Pour les puissances de $10$, retiens : exposant strictement positif, nombre supérieur à $1$ ; exposant strictement négatif, nombre compris entre $0$ et $1$. Pour une base négative non nulle, le signe dépend de la parité de l'exposant entier, même négatif : $(-2)^{-3} = -\dfrac{1}{8}$.

Les deux règles du produit et du quotient continuent de fonctionner avec des exposants négatifs, à condition de calculer les exposants comme des nombres relatifs :

Soustraire un nombre négatif revient à ajouter son opposé : c'est là que se perdent la plupart des points.

Une somme n'est pas un produit. Les règles ci-dessus concernent uniquement les produits et les quotients. La règle d'addition des exposants ne s'applique pas directement à une somme :

Pour cette somme, on peut calculer chaque puissance puis additionner. Une factorisation est aussi possible : $2^{3}+2^{2}=2^{2}(2+1)$. Elle ne permet pas d'additionner directement les exposants.

Priorité de calcul. Dans une expression, les puissances se calculent avant les multiplications, divisions, additions et soustractions — juste après les parenthèses. Ainsi $3 \times 2^{4} = 3 \times 16 = 48$, et non $6^{4}$.

Prolongement de 3e — hors programme de 4e. Une puissance de puissance, comme $\left(10^{3}\right)^{2}$, se traite en multipliant les exposants : $\left(10^{a}\right)^{b} = 10^{a \times b}$. Cette relation n'est pas exigible en 4e : quand un exercice de ce niveau la fait travailler, il la donne dans son énoncé. Tu peux la retrouver en comptant : $\left(10^{3}\right)^{2} = 10^{3} \times 10^{3} = 10^{6}$.

Énoncé. Calculer sans calculatrice, en écriture décimale : $A = 2^{5}$, $B = (-4)^{3}$, $C = -4^{2}$, $D = 10^{-3}$, $E = 3^{3} + 3^{2}$. Puis écrire sous la forme $10^{n}$ : $F = 10^{6} \times 10^{-2}$ et $G = \dfrac{10^{4}}{10^{-3}}$.

$A = 2^{5}$. On déplie : $2^{5} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$. On calcule de proche en proche : $2 \times 2 = 4$, puis $8$, puis $16$, puis $32$.

Piège évité : $2 \times 5 = 10$ n'a rien à voir. L'exposant compte les facteurs.

$B = (-4)^{3}$. La parenthèse dit que le facteur répété est $-4$ :

Les deux premiers donnent $+16$ ; multiplié par $-4$, cela donne $-64$. Contrôle par la parité : trois facteurs négatifs, nombre impair, donc résultat négatif.

$C = -4^{2}$. Ici, pas de parenthèse : la puissance porte sur $4$ seul, le signe reste devant.

À comparer avec $(-4)^{2} = +16$. Une parenthèse change le résultat de signe.

$D = 10^{-3}$. L'exposant est négatif : on divise.

Piège évité : $D$ n'est pas $-1\,000$, ni $-0{,}001$. C'est un nombre positif, plus petit que $1$.

$E = 3^{3} + 3^{2}$. C'est une somme : la règle du produit ne s'applique pas directement. On calcule chaque puissance, puis on additionne.

Piège évité : $3^{3+2} = 3^{5} = 243$ serait le résultat du produit $3^{3} \times 3^{2}$, pas de la somme.

$F = 10^{6} \times 10^{-2}$. Produit de puissances de $10$ : les exposants s'additionnent.

Contrôle en écriture décimale : $1\,000\,000 \times 0{,}01 = 10\,000 = 10^{4}$. Cohérent.

$G = \dfrac{10^{4}}{10^{-3}}$. Quotient : on soustrait l'exposant du dénominateur, en respectant les signes.

Contrôle : diviser par $0{,}001$, c'est multiplier par $1\,000$ ; $10\,000 \times 1\,000 = 10\,000\,000 = 10^{7}$. Cohérent.

Le moment décisif : dans $G$, la soustraction $4 - (-3)$. Écris toujours le nombre négatif entre parenthèses avant de calculer l'exposant, sinon tu écriras $4 - 3 = 1$ et perdras six ordres de grandeur.

Figure (fig.math.powers-of-ten-ladder, SVG programmatique) : un escalier vertical qui montre d'un seul regard que l'exposant est un compteur de rangs, et que le passage aux exposants négatifs est la simple continuation de la descente.

• Une colonne centrale, du haut vers le bas, avec une marche par exposant, de $10^{6}$ à $10^{-4}$. Chaque marche porte trois informations alignées en colonnes : l'écriture en puissance ($10^{3}$), l'écriture décimale ($1\,000$), et le nom courant quand il existe (mille, un, un millième).
• Entre deux marches consécutives, une flèche courbe à droite descendante annotée $\div\,10$, et une flèche courbe à gauche montante annotée $\times\,10$. Ces flèches sont le cœur de la figure : elles disent que passer d'une marche à la suivante, c'est toujours la même opération, y compris quand on franchit $10^{0}$.
• La marche $10^{0} = 1$ est mise en relief par un cadre épais et un fond différent : c'est la charnière entre exposants positifs et négatifs. La partie supérieure de l'escalier (exposants positifs) est tramée d'une texture, la partie inférieure (exposants négatifs) d'une autre, distinctes autrement que par la couleur.
• À droite de l'escalier, une colonne d'ordres de grandeur réels, chacun rattaché à sa marche par un trait fin : de l'ordre de $10^{6}$ m pour la largeur de la France, $10^{3}$ m pour un kilomètre, $10^{0}$ m pour la hauteur d'une poignée de porte, $10^{-3}$ m pour un millimètre, $10^{-4}$ m pour l'épaisseur d'un cheveu.
• Deux encarts en bas, séparés par un filet. Le premier montre le produit : deux paquets de barres verticales, trois barres puis quatre barres, réunis en un paquet de sept, avec la légende $10^{3} \times 10^{4} = 10^{7}$ — « on réunit les facteurs, on additionne les exposants ». Le second montre le quotient : cinq barres en haut, deux en bas, deux paires barrées, trois barres restantes, légende $\dfrac{10^{5}}{10^{2}} = 10^{3}$.

Ce qu'il faut lire. L'escalier ne change pas de nature en franchissant $10^{0}$ : la règle « une marche vers le bas, c'est diviser par $10$ » vaut des deux côtés. Cela rend évident que $10^{-3}$ est un nombre positif et petit, pas un nombre négatif : il est situé sous la marche $1$, pas à gauche du zéro d'une droite graduée. Les deux encarts, eux, montrent que les règles du produit et du quotient sont de simples comptages de barres.

La figure en détail : un escalier vertical d'une marche par puissance de dix, de dix puissance six en haut à dix puissance moins quatre en bas. Chaque marche porte l'écriture en puissance, l'écriture décimale et, s'il existe, le nom courant du nombre. Entre chaque paire de marches, une flèche descendante indique une division par dix et une flèche montante une multiplication par dix. La marche dix puissance zéro égale un est encadrée d'un trait épais et sépare deux zones de textures différentes. À droite, des ordres de grandeur réels sont reliés aux marches correspondantes : largeur de la France pour dix puissance six mètres, kilomètre pour dix puissance trois mètres, hauteur d'une poignée de porte pour un mètre, millimètre pour dix puissance moins trois mètre, épaisseur d'un cheveu pour dix puissance moins quatre mètre. En bas, deux encarts illustrent par des paquets de barres verticales que dix puissance trois multiplié par dix puissance quatre vaut dix puissance sept, et que dix puissance cinq divisé par dix puissance deux vaut dix puissance trois.