Mathématiques · Licence 2 · 2 exercices vérifiés

S’entraîner : Complétude et théorème du point fixe de Banach

Chapitre : Topologie et analyse

Ce que vous travaillez

Suites de Cauchy, espaces métriques complets, exemples et contre-exemples (l'ensemble des rationnels n'est pas complet), parties complètes d'un espace métrique, théorème du point fixe pour une application contractante d'un complet dans lui-même, majoration a priori de l'erreur après n itérations, méthode des approximations successives.

À maîtriser avant de commencer

Ces notions sont utilisées ici. Relisez-les si l’une d’elles vous échappe.

Espaces métriques : ouverts, fermés, adhérence — Distance et espace métrique, boules ouvertes et fermées, parties ouvertes et fermées, intérieur, adhérence et frontière, densité, caractérisation séquentielle de l'adhérence et de la continuité, distances équivalentes et topologie induite.
Limites de suites — Limite finie ou infinie, opérations sur les limites, théorèmes de comparaison et des gendarmes, suites monotones bornées, raisonnement par récurrence.

Comment se déroule la séance

Cette séance s’appuie sur 2 exercices vérifiés. Chacun produit un nouvel énoncé à chaque ouverture, avec une solution calculée.

Formats de réponse : QCM (1), Réponse numérique (1). Difficulté 5 sur 5. Environ 14 minutes pour un premier passage.

Dans votre compte : aide graduée (indice, rappel de cours, aide au démarrage), corrigé pas à pas après chaque tentative, suivi de vos progrès.

Essayez un exercice, sans compte

Un exercice réel de cette séance, le même pour chaque visiteur. Répondez, puis vérifiez : la correction est calculée, et le corrigé s’affiche après votre tentative.

Difficulté 5 sur 5 · ≈ 8 minutes

Énoncé

Soit $I = [0\,;\,6]$ et soit $f$ l'application définie sur $I$ par $f(x) = \dfrac{x^{2} + 15}{16}$ . On munit l'intervalle fermé de la distance usuelle de $\mathbb{R}$ : c'est un fermé de $\mathbb{R}$ , donc un espace métrique COMPLET. On admet que $f$ envoie $I$ dans $I$ et qu'elle y est contractante.

Déterminer l'unique point fixe de $f$ dans $I$ .

Votre réponse

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