Fiche de révision : Topologie et analyse

Les notions de cette fiche

• Espaces métriques : ouverts, fermés, adhérence — Distance et espace métrique, boules ouvertes et fermées, parties ouvertes et fermées, intérieur, adhérence et frontière, densité, caractérisation séquentielle de l'adhérence et de la continuité, distances équivalentes et topologie induite.
• Compacité et connexité — Compacité séquentielle, propriété de Borel–Lebesgue, compacts d'un espace de dimension finie (Bolzano–Weierstrass, Heine–Borel), image continue d'un compact, théorème de Heine sur la continuité uniforme ; parties connexes et connexes par arcs, image continue d'un connexe, théorème des valeurs intermédiaires relu topologiquement.
• Complétude et théorème du point fixe de Banach — Suites de Cauchy, espaces métriques complets, exemples et contre-exemples (l'ensemble des rationnels n'est pas complet), parties complètes d'un espace métrique, théorème du point fixe pour une application contractante d'un complet dans lui-même, majoration a priori de l'erreur après n itérations, méthode des approximations successives.
• Espaces vectoriels normés et applications linéaires continues — Norme et distance associée, normes de la somme des valeurs absolues, euclidienne et du maximum, normes équivalentes et équivalence de toutes les normes en dimension finie, continuité d'une application linéaire caractérisée par sa bornitude, norme d'opérateur, espaces de Banach et exemple des fonctions bornées munies de la norme uniforme.

À maîtriser avant de commencer

Ces notions sont utilisées ici. Relisez-les si l’une d’elles vous échappe.

• Limites de suites — Limite finie ou infinie, opérations sur les limites, théorèmes de comparaison et des gendarmes, suites monotones bornées, raisonnement par récurrence.
• Limites et continuité de fonctions — Limites en l'infini et en un point, asymptotes, croissances comparées, continuité, théorème des valeurs intermédiaires.
• Vecteurs du plan — Translation, égalité de vecteurs, somme (relation de Chasles), produit par un réel, coordonnées, colinéarité et déterminant.
• Matrices et systèmes linéaires — Opérations sur les matrices, produit, inverse d'une matrice 2 × 2, écriture matricielle d'un système, puissances de matrices.

S’entraîner sur ces notions

• S’entraîner : Espaces métriques, adhérence et distance
• S’entraîner : Compacité, connexité et images continues
• S’entraîner : Complétude et théorème du point fixe
• S’entraîner : Normes et applications linéaires continues

Pour aller plus loin

• Algèbre bilinéaire et hermitienne
• Analyse complexe
• Équations différentielles
• Intégration
• Probabilités
• Structures algébriques
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