Limites de suites : décrire, comparer, démontrer

Tu sais depuis la première calculer les termes d'une suite et reconnaître une suite arithmétique ou géométrique. Reste la question qui compte : que devient $u_n$ quand $n$ devient très grand ? Trois réponses seulement sont possibles, et il faut savoir les nommer.

Limite finie : la suite converge. La suite $(u_n)$ converge vers le réel $\ell$ lorsque, aussi petit qu'on choisisse un intervalle ouvert autour de $\ell$, tous les termes de la suite finissent par y entrer et n'en ressortent plus. On écrit $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \ell$. Retiens deux choses. D'abord, converger, c'est s'approcher indéfiniment, pas atteindre : la suite $\left(\frac{1}{n}\right)$ converge vers $0$ sans jamais valoir $0$. Ensuite, la limite, quand elle existe, est unique.

Limite infinie : la suite diverge vers $+\infty$ ou $-\infty$. La suite tend vers $+\infty$ lorsque, aussi grand qu'on choisisse un nombre $A$, tous les termes finissent par le dépasser et restent au-dessus. Attention au vocabulaire : une suite qui tend vers $+\infty$ diverge. « Diverger » ne veut donc pas dire « partir à l'infini » ; cela veut dire « ne pas converger ».

Pas de limite du tout. C'est le troisième cas, et le plus vite oublié. La suite de terme général $(-1)^{n}$ vaut alternativement $1$ et $-1$ : elle est bornée, elle ne tend vers aucun réel, et elle ne tend vers aucun infini. Elle n'a pas de limite. Une suite bornée ne converge donc pas nécessairement.

Les suites de référence. Trois familles suffisent à traiter presque tout :

• $\left(\frac{1}{n}\right)$, $\left(\frac{1}{n^{2}}\right)$, $\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ convergent vers $0$ ;
• $(n)$, $(n^{2})$, $(\sqrt{n})$ tendent vers $+\infty$ ;
• pour une suite géométrique $(q^{n})$, tout dépend de la raison : si $-1 < q < 1$, elle converge vers $0$ ; si $q > 1$, elle tend vers $+\infty$ ; si $q \le -1$, elle n'a pas de limite ; si $q = 1$, elle est constante.

Pourquoi il faut DÉMONTRER. Beaucoup d'énoncés « évidents » sur les suites sont faux. Une suite croissante ne tend pas nécessairement vers $+\infty$ : $u_n = 3 - \frac{1}{n}$ est croissante et converge vers $3$. Une suite non majorée ne tend pas nécessairement vers $+\infty$ : celle qui vaut $n$ aux rangs pairs et $0$ aux rangs impairs repasse indéfiniment par $0$. C'est pour cela que le chapitre s'accompagne d'un outil de démonstration, le raisonnement par récurrence.

Opérations sur les limites, et leurs quatre trous. Somme, produit et quotient de limites se comportent comme on l'espère — sauf dans quatre situations, appelées formes indéterminées, où le résultat dépend des suites et non de leurs seules limites :

« Indéterminée » ne signifie pas « pas de limite » : cela signifie que la règle générale ne conclut pas, et qu'il faut transformer l'écriture. Un exemple frappe : $u_n = n^{2}$ et $v_n = n$ tendent toutes deux vers $+\infty$, et pourtant $u_n - v_n \to +\infty$, tandis que $(n + 5) - n$ vaut constamment $5$. Même forme, deux résultats : voilà pourquoi $\infty - \infty$ ne vaut pas $0$.

Comment lever une indétermination. Sur un quotient de polynômes en $n$, on factorise par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur, on simplifie, et les termes en $\frac{1}{n}$ s'évanouissent. Sur une différence de racines, on multiplie par la quantité conjuguée. Le principe est toujours le même : réécrire pour faire apparaître des suites de référence.

Comparaison et gendarmes. Deux théorèmes, dans deux directions :

• comparaison — si $u_n \le v_n$ à partir d'un certain rang et si $(u_n)$ tend vers $+\infty$, alors $(v_n)$ tend vers $+\infty$ ; symétriquement vers $-\infty$ avec l'inégalité renversée ;
• gendarmes — si $v_n \le u_n \le w_n$ à partir d'un certain rang et si $(v_n)$ et $(w_n)$ convergent vers le même réel $\ell$, alors $(u_n)$ converge vers $\ell$.

Le mot important est « à partir d'un certain rang » : le comportement des premiers termes n'a aucune importance. Et le théorème des gendarmes conclut à la convergence : il n'est pas nécessaire de la supposer d'abord.

Un piège classique du passage à la limite. Les inégalités larges passent à la limite ; les inégalités strictes deviennent larges. Si $u_n < v_n$ pour tout $n$ et si les deux suites convergent, on peut seulement conclure $\lim u_n \le \lim v_n$. Contre-exemple : $u_n = -\frac{1}{n}$ et $v_n = \frac{1}{n}$ vérifient $u_n < v_n$ partout, et leurs limites sont toutes deux nulles.

Convergence monotone. Une suite croissante et majorée converge ; une suite décroissante et minorée converge. Ce théorème est puissant parce qu'il donne l'existence de la limite sans la calculer — et c'est souvent ce dont on a besoin avant de la déterminer par une autre voie. Corollaire utile : une suite croissante et non majorée tend vers $+\infty$.

Le raisonnement par récurrence. Pour démontrer qu'une propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier $n \ge n_0$ :

1. initialisation — on vérifie $P(n_0)$ ;
2. hérédité — on suppose $P(n)$ vraie pour un entier $n \ge n_0$ fixé, et on démontre $P(n+1)$ ;
3. conclusion — par récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout $n \ge n_0$.

Les deux premières étapes sont également indispensables. L'hérédité seule ne démontre rien : elle propage une vérité sans jamais l'établir. La propriété « $2^{n} > n^{3}$ » est héréditaire à partir du rang $10$, et pourtant fausse en $n = 2$, où $4 > 8$ est faux. Et l'initialisation seule ne démontre rien non plus : elle ne dit rien du rang suivant. Attention enfin à la rédaction de l'hérédité : on suppose la propriété vraie à un rang fixé, jamais « pour tout $n$ » — supposer ce qu'on veut démontrer est un raisonnement circulaire.

Suites définies par récurrence et point fixe. Si $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $f$ continue et si $(u_n)$ converge vers $\ell$, alors $\ell$ vérifie $\ell = f(\ell)$ : les suites $(u_n)$ et $(u_{n+1})$ ont la même limite, et l'on passe à la limite dans la relation. Attention à l'ordre logique : cette équation détermine la limite, elle ne prouve pas que la suite converge. La convergence se démontre d'abord — souvent par convergence monotone, avec une récurrence pour la majoration.

Énoncé.

1. Déterminer la limite de $u_n = \dfrac{5n - 3}{2n + 7}$ pour $n \ge 1$.
2. Déterminer la limite de $v_n = 4 + 3 \times 0{,}8^{\,n}$.
3. Soit $(w_n)$ définie par $w_0 = 1$ et $w_{n+1} = 0{,}75\,w_n + 2$. Démontrer par récurrence que $w_n \le 8$ pour tout $n$, en déduire que $(w_n)$ converge, puis déterminer sa limite.
4. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $0{,}8^{\,n} < 0{,}01$.

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1. Un quotient : forme indéterminée. Numérateur et dénominateur tendent vers $+\infty$ : la règle du quotient ne conclut pas. On factorise par $n$ :

Comme $\dfrac{3}{n} \to 0$ et $\dfrac{7}{n} \to 0$, le numérateur tend vers $5$ et le dénominateur vers $2$, qui n'est pas nul. Donc

Les constantes $-3$ et $7$ n'influencent pas la limite : seuls les termes de plus haut degré décident.

2. Une géométrique décalée. La raison est $0{,}8$, et $-1 < 0{,}8 < 1$, donc $0{,}8^{\,n} \to 0$. Par produit puis par somme,

Remarque : $(v_n)$ est décroissante et converge ; si l'on avait pris $4 - 3 \times 0{,}8^{\,n}$, la suite serait croissante et convergerait tout autant. Croissante n'implique pas « tend vers $+\infty$ ».

3. Une suite définie par récurrence.

Majoration, par récurrence. Soit $P(n)$ : « $w_n \le 8$ ». Initialisation. $w_0 = 1$ et $1 \le 8$ : $P(0)$ est vraie. Hérédité. Supposons $P(n)$ vraie pour un entier $n$ fixé, c'est-à-dire $w_n \le 8$. Alors, en multipliant par $0{,}75 > 0$ puis en ajoutant $2$ :

Donc $P(n+1)$ est vraie. Conclusion. Par récurrence, $w_n \le 8$ pour tout entier naturel $n$.

Croissance. Pour tout $n$,

la dernière inégalité venant de $w_n \le 8$. La suite est donc croissante.

Convergence. Croissante et majorée par $8$ : d'après le théorème de la convergence monotone, $(w_n)$ converge. Notons $\ell$ sa limite.

Limite. $(w_{n+1})$ a la même limite $\ell$. En passant à la limite dans la relation :

Contrôle : $0{,}75 \times 8 + 2 = 8$, la valeur trouvée est bien un point fixe. Et les premiers termes vont dans ce sens : $w_1 = 0{,}75 \times 1 + 2 = 2{,}75$, $w_2 = 0{,}75 \times 2{,}75 + 2 = 4{,}0625$.

4. Un seuil. La suite $\left(0{,}8^{\,n}\right)$ est décroissante et converge vers $0$ : le seuil est franchi, et définitivement. On calcule les termes jusqu'à passer dessous :

Le plus petit entier cherché est donc $n = 21$. Vérifier que le rang précédent ne convient pas fait partie de la réponse : sans cela, on n'a pas montré que le rang trouvé est le plus petit.

Figure (fig.math.sequence-limits-panorama, SVG programmatique à produire) : trois panneaux.

• Panneau gauche — les trois comportements. Trois nuages de points superposés dans un même repère $(n\,;\,u_n)$, $n$ de $1$ à $30$, chacun d'une forme de marqueur différente et légendé : les points de $u_n = 3 - \frac{1}{n}$ montent et s'écrasent contre une droite horizontale en pointillé d'équation $y = 3$ — « converge vers $3$ » ; les points de $u_n = 0{,}3\,n$ montent sans se stabiliser, avec une flèche vers le haut — « tend vers $+\infty$ » ; les points de $u_n = 2 + (-1)^{n}$ alternent entre deux hauteurs — « pas de limite ». Une bande horizontale de demi-largeur $0{,}2$ autour de $y = 3$ est grisée, avec la mention « à partir du rang $6$, tous les points de la première suite sont dans la bande, et n'en ressortent plus ».
• Panneau central — le seuil. Nuage de points de $u_n = 0{,}8^{\,n}$ pour $n$ de $0$ à $30$, échelle verticale de $0$ à $1$. Une droite horizontale en pointillé au niveau $0{,}01$, légendée « seuil ». Les points d'abscisse $20$ et $21$ sont grossis et étiquetés $0{,}0115$ et $0{,}0092$ ; une accolade sous l'axe des abscisses marque la zone $n \ge 21$ avec « à partir d'ici, sous le seuil, définitivement ».
• Panneau droit — la récurrence en dominos. Une file de dominos numérotés $0, 1, 2, 3, \ldots$ Le premier est poussé, avec l'étiquette « initialisation : $P(0)$ est vraie ». Entre deux dominos consécutifs, une petite flèche porte « hérédité : si $P(n)$ alors $P(n+1)$ ». Au-dessous, deux vignettes barrées d'une croix : une file dont aucun domino n'est poussé, légendée « hérédité seule : rien ne tombe » ; une file dont seul le premier tombe et où les suivants sont écartés, légendée « initialisation seule : rien ne se propage ».

Ce qu'il faut lire. Le panneau gauche montre que « converger » se lit comme un écrasement contre une droite, et que trois comportements différents cohabitent — dont un qui n'est ni l'un ni l'autre. Le panneau central donne un sens concret au mot « seuil » : ce n'est pas une valeur qu'on approche, c'est un rang à partir duquel une condition est acquise. Le panneau droit rend visible la raison pour laquelle une récurrence a besoin de ses deux étapes : l'une allume, l'autre propage.

La figure en détail : la figure comprend trois parties. À gauche, un repère où l'axe horizontal porte le rang et l'axe vertical la valeur du terme montre trois nuages de points : le premier monte et vient s'écraser contre une droite horizontale de hauteur trois, le deuxième monte régulièrement sans se stabiliser, le troisième alterne entre deux hauteurs ; une bande étroite autour de la droite horizontale contient tous les points du premier nuage à partir du rang six. Au centre, les termes d'une suite géométrique de raison zéro virgule huit sont représentés du rang zéro au rang trente ; une droite horizontale marque le seuil de un centième, et les points de rang vingt et vingt et un, mis en évidence, encadrent ce seuil, le second étant le premier à passer en dessous. À droite, une file de dominos illustre le raisonnement par récurrence : le premier domino poussé représente l'initialisation, les flèches entre dominos consécutifs représentent l'hérédité, et deux files barrées montrent qu'aucune des deux étapes prise seule ne fait tomber la file entière.

Ce qui n'a pas d'unité. Une limite de suite est un nombre — ou un symbole d'infini, qui n'est pas un nombre et avec lequel on ne calcule pas : $\infty - \infty$ n'est pas une soustraction, c'est le nom d'un cas où la règle ne conclut pas.

Vocabulaire à ne pas confondre. « Converge » = a une limite finie. « Diverge » = ne converge pas, ce qui inclut aussi bien $(n)$ que $\left((-1)^{n}\right)$. Une suite qui tend vers $+\infty$ diverge.

Ce qui n'est pas ici. La définition quantifiée de la limite avec $\varepsilon$ et $N$ est évoquée en mots et ne fait pas l'objet de manipulations ; les suites adjacentes, les suites de Cauchy et les séries relèvent du supérieur.

1. Écrire $\infty - \infty = 0$. C'est une forme indéterminée : $n^{2} - n \to +\infty$, $(n+5) - n = 5$, $n - n^{2} \to -\infty$. Trois résultats pour une même forme. Il faut transformer l'écriture, jamais soustraire les symboles.
2. Traiter $0 \times \infty$ comme $0$. Même remarque : $\frac{1}{n} \times n^{2} = n \to +\infty$, alors que $\frac{1}{n^{2}} \times n \to 0$. Le facteur qui tend vers $0$ ne l'emporte pas d'office.
3. Oublier l'initialisation dans une récurrence. L'hérédité propage sans jamais démarrer. Une propriété héréditaire peut être fausse partout : sans premier rang vérifié, la démonstration n'existe pas.
4. Rédiger l'hérédité en supposant la propriété vraie pour tout $n$. C'est supposer ce qu'on veut démontrer. On la suppose vraie à un rang fixé, et l'on démontre le rang suivant.
5. Croire qu'une suite croissante tend vers $+\infty$. Il faut de plus qu'elle ne soit pas majorée. $3 - \frac{1}{n}$ est croissante et converge vers $3$.
6. Croire qu'une suite bornée converge. $\left((-1)^{n}\right)$ est bornée et n'a pas de limite. Bornée et monotone, en revanche, entraîne la convergence.
7. Conserver une inégalité stricte par passage à la limite. $-\frac{1}{n} < \frac{1}{n}$ pour tout $n$, et les deux limites valent $0$. Seules les inégalités larges passent.
8. Déduire la limite d'une équation de point fixe sans avoir démontré la convergence. $\ell = f(\ell)$ ne prouve rien tant qu'on ne sait pas que $\ell$ existe. L'ordre est : convergence d'abord, valeur ensuite.
9. Croire qu'une suite convergente finit par valoir sa limite. $\frac{1}{n}$ converge vers $0$ sans jamais l'atteindre. Converger, c'est s'approcher.

Le modèle d'entraînement. L'exercice associé à cette leçon tire l'une de quatre questions dont la réponse est un nombre : la limite d'un quotient de deux expressions affines en $n$ (forme indéterminée à lever), la limite d'une suite $A + B\,q^{\,n}$ avec $|q| < 1$, la limite d'une suite définie par $u_{n+1} = q\,u_n + b$ dont la convergence est admise, et le plus petit rang à partir duquel $q^{\,n}$ passe sous un seuil. Toutes les réponses sont exactes. Un modèle voisin, en vrai ou faux, ne demande aucun calcul : il interroge les théorèmes et leurs hypothèses — formes indéterminées, convergence monotone, comparaison, gendarmes, récurrence.

Énoncé type. Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier $n \ge 1$ par

Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

Corrigé complet.

1. Reconnaître l'indétermination. $9n - 4 \to +\infty$ et $4n + 3 \to +\infty$ : le quotient est de la forme $\frac{\infty}{\infty}$, la règle ne conclut pas.

2. Factoriser par le terme dominant.

la simplification par $n$ étant licite puisque $n \ge 1$ n'est jamais nul.

3. Passer à la limite. $\dfrac{4}{n} \to 0$ et $\dfrac{3}{n} \to 0$, donc le numérateur tend vers $9$ et le dénominateur vers $4 \ne 0$. Par quotient des limites :

Réponse : la suite converge vers $2{,}25$.

Auto-contrôle. Ai-je nommé la forme indéterminée avant de calculer ? Ai-je vérifié que la limite du dénominateur n'est pas nulle avant d'invoquer le quotient des limites ? Et le résultat est-il plausible ? Un test numérique rapide le confirme : $u_{1000} = \dfrac{8\,996}{4\,003} \approx 2{,}247$, tout près de $2{,}25$.