Mathématiques · Prépa 2e année · 2 exercices vérifiés

S’entraîner : Diagonalisation

Chapitre : Réduction des endomorphismes

Ce que vous travaillez

Endomorphisme et matrice diagonalisables, critères de diagonalisabilité (base de vecteurs propres, somme des dimensions des sous-espaces propres égale à la dimension de l'espace, polynôme caractéristique scindé dont chaque multiplicité égale la dimension du sous-espace propre, cas suffisant de n valeurs propres distinctes), construction de la matrice de passage et de la matrice diagonale semblable, applications : puissances d'une matrice, suites récurrentes couplées, systèmes différentiels linéaires à coefficients constants.

À maîtriser avant de commencer

Ces notions sont utilisées ici. Relisez-les si l’une d’elles vous échappe.

Éléments propres d’un endomorphisme — Valeur propre, vecteur propre et sous-espace propre d'un endomorphisme ou d'une matrice carrée, spectre, polynôme caractéristique et ses racines, multiplicité algébrique d'une valeur propre et dimension du sous-espace propre associé, encadrement de la seconde par la première, somme directe des sous-espaces propres, lien entre la trace et la somme des valeurs propres, entre le déterminant et leur produit.
Suites arithmétiques et géométriques — Définition par récurrence et forme explicite, raison, sens de variation, somme des termes, modélisation d'évolutions.

Comment se déroule la séance

Cette séance s’appuie sur 2 exercices vérifiés. Chacun produit un nouvel énoncé à chaque ouverture, avec une solution calculée.

Formats de réponse : QCM (1), Réponse numérique (1). Difficulté 5 sur 5. Environ 15 minutes pour un premier passage.

Dans votre compte : aide graduée (indice, rappel de cours, aide au démarrage), corrigé pas à pas après chaque tentative, suivi de vos progrès.

Essayez un exercice, sans compte

Un exercice réel de cette séance, le même pour chaque visiteur. Répondez, puis vérifiez : la correction est calculée, et le corrigé s’affiche après votre tentative.

Difficulté 5 sur 5 · ≈ 9 minutes

Énoncé

Soit $A = \begin{pmatrix} 8 & -11 & 6 \\ 10 & -17 & 10 \\ 10 & -19 & 12 \end{pmatrix}$ , matrice de $\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ . On admet que les valeurs propres de $A$ sont $3$ , $-2$ et $2$ .

Calculer le coefficient situé sur la première ligne et la première colonne de $A^{5}$ .

Votre réponse

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