Suites arithmétiques et géométriques : ajouter ou multiplier

Une suite numérique est une liste infinie de nombres, numérotés : un premier terme, un deuxième, un troisième… Mathématiquement, c'est une fonction dont la variable ne prend que des valeurs entières : à chaque entier naturel $n$, elle associe un nombre usuellement noté $u_n$ (la notation fonctionnelle $u(n)$ reste possible), qu'on appelle le terme de rang $n$ ; la suite elle-même se note $(u_n)$. Le rang est un entier, et c'est toute la différence avec les fonctions de la variable réelle : entre $u_3$ et $u_4$, il n'y a rien.

Deux modes de génération. On étudie ici deux modes usuels de génération d’une suite :

• de façon explicite, par une formule en $n$ : $u_n = 3n + 2$, ou $u_n = n^2$. On calcule directement n'importe quel terme, $u_{50} = 152$ ;
• par récurrence, en donnant le premier terme et la règle de passage d'un terme au suivant : $u_0 = 5$ et $u_{n + 1} = u_n + 3$. Pour connaître $u_{50}$, il faut a priori calculer les cinquante termes précédents.

Le travail de ce chapitre consiste à passer de la seconde forme à la première pour deux familles de suites, les plus simples et les plus utiles.

Les suites arithmétiques : on ajoute toujours le même nombre. Une suite $(u_n)$ est arithmétique lorsqu'il existe un réel $r$, appelé raison, tel que pour tout entier $n$,

Ses termes sont régulièrement espacés : $u_0$, $u_0 + r$, $u_0 + 2r$, $u_0 + 3r$… Pour aller de $u_0$ à $u_n$, on ajoute $r$ exactement $n$ fois, d'où la forme explicite :

Une évolution à accroissement constant se modélise par une suite arithmétique sur les rangs où cette hypothèse est retenue. Une cuve perdant 3 litres par minute ne suit ce modèle que tant que le volume calculé reste admissible ; le modèle ne prolonge pas un volume d’eau négatif.

Les suites géométriques : on multiplie toujours par le même nombre. Une suite $(u_n)$ est géométrique lorsqu'il existe un réel $q$, appelé raison, tel que pour tout entier $n$,

Ses termes sont $u_0$, $u_0 q$, $u_0 q^2$, $u_0 q^3$… Pour aller de $u_0$ à $u_n$, on multiplie par $q$ exactement $n$ fois, d'où

Une évolution à taux constant — une population qui croît de $2\,\%$ par an, une valeur qui perd $15\,\%$ chaque année — se modélise par une suite géométrique : augmenter de $t\,\%$, c'est multiplier par $1 + \dfrac{t}{100}$ ; diminuer de $t\,\%$, c'est multiplier par $1 - \dfrac{t}{100}$. La raison est ce coefficient multiplicateur, calculé à partir du taux par la formule correspondante ; ces deux notions ne doivent pas être confondues.

Les deux formes explicites se ressemblent et se confondent facilement. Le mot-clé est l'opération répétée : ajouter $n$ fois donne $u_0 + n\,r$ ; multiplier $n$ fois donne $u_0 \times q^n$. Un contrôle nécessaire : la forme explicite doit redonner $u_1$ quand on y fait $n=1$. Réussir ce seul test ne prouve pas une formule pour tous les rangs.

La convention de départ. Certaines suites commencent au rang $1$ : le premier terme est alors $u_1$, et pour aller de $u_1$ à $u_n$ on ne fait que $n - 1$ pas. Les formes explicites deviennent $u_n = u_1 + (n - 1)\,r$ et $u_n = u_1 \times q^{\,n - 1}$. Plus généralement, pour deux rangs $n\geqslant p$ dans le domaine de la suite, il y a $n-p$ pas : $u_n = u_p + (n - p)\,r$ et $u_n = u_p \times q^{\,n - p}$. Le premier rang doit être fixé par la définition ou l’énoncé : il faut le repérer. Pour une suite géométrique, remonter vers $n<p$ exige $q\neq0$. Si $q=0$, le premier terme se donne séparément et tous les suivants sont nuls ; on évite ainsi de faire dépendre sa définition d’une expression $0^0$.

Reconnaître ou seulement conjecturer. Pour une suite définie sur une infinité de rangs, des différences égales sur les premiers termes sont compatibles avec une suite arithmétique ; elles ne prouvent pas que la règle se poursuivra. De même, des quotients égaux, lorsque leurs dénominateurs sont non nuls, suggèrent une suite géométrique. Une définition ou une démonstration de la relation pour tous les rangs est nécessaire pour conclure sur toute la suite.

Deux différences déjà différentes réfutent le caractère arithmétique. Pour les suites géométriques avec des termes nuls, il faut revenir à $u_{n+1}=qu_n$ : les quotients ne sont pas définis partout. La suite nulle est à la fois arithmétique de raison 0 et géométrique pour toute raison ; les deux familles ne sont pas exclusives. La suite $u_n=n^2$ n’est ni arithmétique ni géométrique : ses différences changent, et $u_0=0$, $u_1=1$ rendent impossible la relation géométrique dès le premier passage.

Sens de variation. Une suite est croissante si $u_{n + 1} \geqslant u_n$ pour tout $n$, décroissante si $u_{n + 1} \leqslant u_n$ ; on étudie donc le signe de $u_{n + 1} - u_n$.

• Suite arithmétique : $u_{n + 1} - u_n = r$. Elle est croissante si $r > 0$, décroissante si $r < 0$, constante si $r = 0$. Le sens ne dépend que de la raison.
• Suite géométrique de premier terme $u_0 > 0$ : $u_{n + 1} - u_n = u_0 q^n (q - 1)$. Si $q > 1$, elle est croissante ; si $0 < q < 1$, décroissante ; si $q = 1$, constante. Si $q < 0$, les termes changent de signe à chaque rang : la suite n'est ni croissante ni décroissante. Si $u_0<0$, les variations s’inversent pour $q>0$. Si $u_0=0$, la suite est nulle pour toute raison. Si $q=0$, la suite vaut $u_0$, puis 0 à tous les rangs suivants : elle est décroissante au sens large si $u_0>0$, croissante au sens large si $u_0<0$.

Somme des termes d'une suite arithmétique. La méthode d’appariement : pour calculer $S = 1 + 2 + \dots + n$, on écrit la somme dans les deux sens et on ajoute terme à terme,

d'où $1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}$. Le même appariement vaut pour toute suite arithmétique, car deux termes symétriques ont toujours la même somme :

Somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique $= \text{(nombre de termes)} \times \dfrac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}$.

Le nombre de termes est le point délicat : de $u_p$ à $u_n$ inclus, il y a $n - p + 1$ termes, pas $n - p$. De $u_3$ à $u_9$ : sept termes ($3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$), et non six.

Somme des termes d'une suite géométrique. Pour $q \neq 1$, posons $S = 1 + q + q^2 + \dots + q^n$. Alors $qS = q + q^2 + \dots + q^{n + 1}$, et la différence $S - qS$ fait disparaître tous les termes intermédiaires :

Pour une suite géométrique de premier terme $u_0$, on met $u_0$ en facteur : $u_0 + u_1 + \dots + u_n = u_0 \times \dfrac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$. L'exposant $n + 1$ est le nombre de termes de la somme. Cas emblématique, $q = 2$ : $1 + 2 + 4 + \dots + 2^n = \dfrac{1 - 2^{n + 1}}{1 - 2} = 2^{n + 1} - 1$. Si $q = 1$, la formule est interdite (division par $0$), mais la somme est évidente : $n + 1$ termes tous égaux à $u_0$.

Deux ponts vers les fonctions. Les points $(n\ ;\ u_n)$ d'une suite arithmétique sont alignés : $u_n = r\,n + u_0$ est l'expression d'une fonction affine de $n$, de coefficient directeur $r$. Ceux d’une suite géométrique de raison $q>0$ suivent $u_0e^{n\ln q}$ (une constante si $q=1$ ou $u_0=0$) : c'est la version discrète d'une fonction exponentielle, étudiée plus tard dans l'année — on y verra que multiplier par $q$ à chaque pas, c'est suivre $t \mapsto e^{kt}$ aux instants entiers.

Énoncé. Un entrepôt initialement vide possède huit étagères : la première peut contenir 18 cartons, puis chaque étagère a deux places de plus que la précédente. Il reçoit 40 cartons le premier jour, puis 50 % de plus que le jour précédent, pendant quatre jours. Aucun carton ne repart. À quel jour la capacité est-elle dépassée, et de combien au bout du quatrième jour ? Les données sont fictives.

Calculer une capacité arithmétique. Pour l’étagère $n$, $a_n=18+2(n-1)$, avec $1\leqslant n\leqslant8$. La dernière contient $a_8=32$ places. La capacité totale est

Calculer des arrivées géométriques. Les livraisons valent $v_n=40\times1{,}5^{n-1}$ pour les quatre jours considérés : 40 ; 60 ; 90 ; 135 cartons. Le nombre livré au quatrième jour est 135, mais ce n’est pas le stock total.

Comparer des sommes. Après trois jours, $40+60+90=190\leqslant200$ : le stock tient encore. Après quatre jours,

La capacité est donc dépassée le quatrième jour, de $325-200=125$ cartons. Il restait 10 places avant la livraison de 135.

Contrôle. Les livraisons sont positives, donc le stock cumulé augmente. Comparer les sommes des jours 3 et 4 suffit ici à localiser le premier dépassement. Les modèles de livraison et de capacité ne sont affirmés que sur les huit étagères et les quatre jours donnés.

Figure (SVG programmatique existant) : trois panneaux — les deux familles représentées par leurs points, puis la méthode d’appariement dessinée.

• Panneau 1 — une suite arithmétique. Repère avec $n$ en abscisse ($0$ à $6$, graduations entières, aucun trait entre elles) et $u_n$ en ordonnée. Les points $(n\ ;\ u_n)$ de la suite $u_n = 5 + 3n$ : $(0\ ;\ 5)$, $(1\ ;\ 8)$, $(2\ ;\ 11)$, $(3\ ;\ 14)$, $(4\ ;\ 17)$, $(5\ ;\ 20)$, $(6\ ;\ 23)$, en disques pleins non reliés ; une droite fine en tirets passe par tous, avec la mention « points alignés : fonction affine de $n$, coefficient directeur $r = 3$ ». Entre deux points consécutifs, une marche d'escalier en pointillés, de hauteur constante cotée « $+3$ ». Cartouche : « $u_{n + 1} = u_n + 3$, donc $u_n = 5 + 3n$ ».
• Panneau 2 — une suite géométrique. Même type de repère, points de la suite $v_n = 2 \times 1{,}5^{\,n}$ : $(0\ ;\ 2)$, $(1\ ;\ 3)$, $(2\ ;\ 4{,}5)$, $(3\ ;\ 6{,}75)$, $(4\ ;\ 10{,}125)$, $(5\ ;\ 15{,}19)$ (dernière ordonnée arrondie), disques pleins non reliés, marches de hauteur croissante cotées « $\times 1{,}5$ ». Une courbe fine en tirets passe par les points, avec la mention « pas une droite : la hauteur des marches augmente ». Cartouche : « $v_{n + 1} = 1{,}5\,v_n$, donc $v_n = 2 \times 1{,}5^{\,n}$ ». Un insert plus petit montre une suite géométrique de raison $0{,}5$ dont les points descendent en se rapprochant de l'axe des abscisses, mention « $0 < q < 1$ : décroissante, jamais négative ».
• Panneau 3 — la méthode d’appariement. Un escalier de $6$ colonnes de hauteurs $1, 2, 3, 4, 5, 6$ (carreaux unités), et le même escalier retourné posé dessus, tramé différemment : ensemble ils forment un rectangle de $6$ colonnes sur $7$ lignes. Cartouche : « $2S = 6 \times 7$, donc $1 + 2 + \dots + 6 = \dfrac{6 \times 7}{2} = 21$ ». En dessous, la généralisation : « nombre de termes $\times$ (premier + dernier) $\div\, 2$ ».

Ce qu'il faut lire. La suite est définie seulement aux rangs entiers de son domaine. Ici les points sont représentés séparément ; une courbe auxiliaire éventuelle ne créerait pas de termes aux rangs non entiers. Le panneau 1 montre l'alignement qui fait d'une suite arithmétique une fonction affine du rang ; le panneau 2, la croissance des écarts de la suite positive de raison 1,5, qui annonce le prolongement exponentiel — et, dans l'insert, une décroissance qui ne passe jamais sous zéro. Le panneau 3 rend la formule de la somme évidente : deux escaliers font un rectangle, dont l'aire se lit sans additionner.

La figure en détail : à gauche, sept disques non reliés, aux abscisses entières de zéro à six, de hauteurs cinq, huit, onze, quatorze, dix-sept, vingt et vingt-trois, tous alignés sur une droite fine en tirets ; entre deux disques consécutifs, une marche d'escalier en pointillés de hauteur trois, toujours la même. Au centre, six disques non reliés, de hauteurs deux ; trois ; quatre virgule cinq ; six virgule soixante-quinze ; dix virgule cent vingt-cinq ; quinze virgule dix-neuf, posés sur une courbe fine qui se redresse : chaque marche est une fois et demie plus haute que la précédente ; un petit insert montre des disques qui descendent en se rapprochant de l'axe sans l'atteindre. À droite, un escalier de six colonnes de hauteurs un à six, et le même escalier retourné posé dessus avec une trame différente : ensemble ils forment un rectangle de six colonnes sur sept lignes, d'aire quarante-deux, dont la moitié, vingt et un, est l'aire d'un seul escalier.