Suites arithmétiques et géométriques : ajouter ou multiplier

Une suite numérique est une liste infinie de nombres, numérotés : un premier terme, un deuxième, un troisième… Mathématiquement, c'est une fonction dont la variable ne prend que des valeurs entières : à chaque entier naturel $n$, elle associe un nombre noté $u_n$ (et non $u(n)$), qu'on appelle le terme de rang $n$ ; la suite elle-même se note $(u_n)$. Le rang est un entier, et c'est toute la différence avec les fonctions de la variable réelle : entre $u_3$ et $u_4$, il n'y a rien.

Deux modes de génération. Une suite peut être donnée de deux manières :

• de façon explicite, par une formule en $n$ : $u_n = 3n + 2$, ou $u_n = n^2$. On calcule directement n'importe quel terme, $u_{50} = 152$ ;
• par récurrence, en donnant le premier terme et la règle de passage d'un terme au suivant : $u_0 = 5$ et $u_{n + 1} = u_n + 3$. Pour connaître $u_{50}$, il faut a priori calculer les cinquante termes précédents.

Le travail de ce chapitre consiste à passer de la seconde forme à la première pour deux familles de suites, les plus simples et les plus utiles.

Les suites arithmétiques : on ajoute toujours le même nombre. Une suite $(u_n)$ est arithmétique lorsqu'il existe un réel $r$, appelé raison, tel que pour tout entier $n$,

Ses termes sont régulièrement espacés : $u_0$, $u_0 + r$, $u_0 + 2r$, $u_0 + 3r$… Pour aller de $u_0$ à $u_n$, on ajoute $r$ exactement $n$ fois, d'où la forme explicite :

Une évolution à accroissement constant — un loyer qui augmente de $20$ € par an, une cuve qui se vide de $3$ litres par minute — se modélise par une suite arithmétique, de raison positive ou négative.

Les suites géométriques : on multiplie toujours par le même nombre. Une suite $(u_n)$ est géométrique lorsqu'il existe un réel $q$, appelé raison, tel que pour tout entier $n$,

Ses termes sont $u_0$, $u_0 q$, $u_0 q^2$, $u_0 q^3$… Pour aller de $u_0$ à $u_n$, on multiplie par $q$ exactement $n$ fois, d'où

Une évolution à taux constant — une population qui croît de $2\,\%$ par an, une valeur qui perd $15\,\%$ chaque année — se modélise par une suite géométrique : augmenter de $t\,\%$, c'est multiplier par $1 + \dfrac{t}{100}$ ; diminuer de $t\,\%$, c'est multiplier par $1 - \dfrac{t}{100}$. La raison est ce coefficient multiplicateur, jamais le taux lui-même.

Les deux formes explicites se ressemblent et se confondent facilement. Le mot-clé est l'opération répétée : ajouter $n$ fois donne $u_0 + n\,r$ ; multiplier $n$ fois donne $u_0 \times q^n$. Un contrôle sûr : la forme explicite doit redonner $u_1$ quand on y fait $n = 1$.

La convention de départ. Certaines suites commencent au rang $1$ : le premier terme est alors $u_1$, et pour aller de $u_1$ à $u_n$ on ne fait que $n - 1$ pas. Les formes explicites deviennent $u_n = u_1 + (n - 1)\,r$ et $u_n = u_1 \times q^{\,n - 1}$. Plus généralement, entre deux rangs $p$ et $n$ quelconques, il y a $n - p$ pas : $u_n = u_p + (n - p)\,r$ et $u_n = u_p \times q^{\,n - p}$. L'énoncé dit toujours quel est le premier terme ; c'est la première chose à lire.

Reconnaître la nature d'une suite. Pour une suite dont on connaît les premiers termes, on calcule les différences $u_1 - u_0$, $u_2 - u_1$, $u_3 - u_2$ : si elles sont toutes égales, la suite est (vraisemblablement) arithmétique, de raison cette différence. On calcule les quotients $\dfrac{u_1}{u_0}$, $\dfrac{u_2}{u_1}$, $\dfrac{u_3}{u_2}$ : s'ils sont tous égaux, la suite est géométrique, de raison ce quotient. Deux termes ne suffisent jamais — $1$, $2$ est le début de $1, 2, 3$ (arithmétique) comme de $1, 2, 4$ (géométrique) et de $1, 2, 5$ (ni l'un ni l'autre). Et une suite peut n'être ni arithmétique ni géométrique : $u_n = n^2$ donne $0, 1, 4, 9$, dont ni les différences ($1, 3, 5$) ni les quotients ne sont constants.

Sens de variation. Une suite est croissante si $u_{n + 1} \geqslant u_n$ pour tout $n$, décroissante si $u_{n + 1} \leqslant u_n$ ; on étudie donc le signe de $u_{n + 1} - u_n$.

• Suite arithmétique : $u_{n + 1} - u_n = r$. Elle est croissante si $r > 0$, décroissante si $r < 0$, constante si $r = 0$. Le sens ne dépend que de la raison.
• Suite géométrique de premier terme $u_0 > 0$ : $u_{n + 1} - u_n = u_0 q^n (q - 1)$. Si $q > 1$, elle est croissante ; si $0 < q < 1$, décroissante ; si $q = 1$, constante. Si $q < 0$, les termes changent de signe à chaque rang : la suite n'est ni croissante ni décroissante. Si $u_0 < 0$, tout s'inverse (pour $q > 0$).

Somme des termes d'une suite arithmétique. L'astuce attribuée à Gauss enfant : pour calculer $S = 1 + 2 + \dots + n$, on écrit la somme dans les deux sens et on ajoute terme à terme,

d'où $1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}$. Le même appariement vaut pour toute suite arithmétique, car deux termes symétriques ont toujours la même somme :

Somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique $= \text{(nombre de termes)} \times \dfrac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}$.

Le nombre de termes est le point délicat : de $u_p$ à $u_n$ inclus, il y a $n - p + 1$ termes, pas $n - p$. De $u_3$ à $u_9$ : sept termes ($3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$), et non six.

Somme des termes d'une suite géométrique. Pour $q \neq 1$, posons $S = 1 + q + q^2 + \dots + q^n$. Alors $qS = q + q^2 + \dots + q^{n + 1}$, et la différence $S - qS$ fait disparaître tous les termes intermédiaires :

Pour une suite géométrique de premier terme $u_0$, on met $u_0$ en facteur : $u_0 + u_1 + \dots + u_n = u_0 \times \dfrac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$. L'exposant $n + 1$ est le nombre de termes de la somme. Cas emblématique, $q = 2$ : $1 + 2 + 4 + \dots + 2^n = \dfrac{1 - 2^{n + 1}}{1 - 2} = 2^{n + 1} - 1$. Si $q = 1$, la formule est interdite (division par $0$), mais la somme est évidente : $n + 1$ termes tous égaux à $u_0$.

Deux ponts vers les fonctions. Les points $(n\ ;\ u_n)$ d'une suite arithmétique sont alignés : $u_n = r\,n + u_0$ est l'expression d'une fonction affine de $n$, de coefficient directeur $r$. Ceux d'une suite géométrique de raison $q > 0$ se placent sur une courbe qui accélère (ou freine) : c'est la version discrète d'une fonction exponentielle, étudiée plus tard dans l'année — on y verra que multiplier par $q$ à chaque pas, c'est suivre $t \mapsto e^{kt}$ aux instants entiers.

Énoncé. 1) Une commune compte $12\,000$ habitants et sa population augmente de $2{,}5\,\%$ par an. On note $u_n$ la population au bout de $n$ années, avec $u_0 = 12\,000$. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, puis estimer la population au bout de $10$ ans. 2) Léa dépose $150$ € sur un livret le premier mois, puis chaque mois $20$ € de plus que le mois précédent. On note $v_n$ le dépôt du $n$-ième mois, avec $v_1 = 150$. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, puis calculer le total déposé en un an.

1) Une évolution à taux constant.

Étape 1 — traduire le taux en coefficient. Augmenter de $2{,}5\,\%$, c'est multiplier par $1 + \dfrac{2{,}5}{100} = 1{,}025$. Chaque année, $u_{n + 1} = 1{,}025 \times u_n$ : la suite $(u_n)$ est géométrique, de raison $q = 1{,}025$ et de premier terme $u_0 = 12\,000$.

Étape 2 — la forme explicite. Premier terme $u_0$, donc $n$ multiplications pour atteindre le rang $n$ :

Contrôle sur $u_1$ : $12\,000 \times 1{,}025 = 12\,300$, soit bien $12\,000$ augmenté de $300$, c'est-à-dire de $2{,}5\,\%$ ✔.

Étape 3 — le calcul demandé. $u_{10} = 12\,000 \times 1{,}025^{10}$ est la valeur exacte. À la calculatrice, $1{,}025^{10} \approx 1{,}2801$, donc

Au bout de $10$ ans, la commune compte environ $15\,400$ habitants (trois chiffres significatifs — un effectif prévu à l'unité près n'aurait pas de sens). Remarque : dix hausses de $2{,}5\,\%$ font $28\,\%$ d'augmentation, et non $25\,\%$ : les pourcentages successifs ne s'additionnent pas, ils se multiplient.

2) Une évolution à accroissement constant.

Étape 1 — reconnaître. Chaque mois, $v_{n + 1} = v_n + 20$ : la suite $(v_n)$ est arithmétique, de raison $r = 20$ et de premier terme $v_1 = 150$.

Étape 2 — la forme explicite, avec la bonne convention. Le premier terme est $v_1$ : pour atteindre $v_n$, on ajoute la raison $n - 1$ fois, pas $n$ fois :

Contrôle : $v_1 = 20 + 130 = 150$ ✔ et $v_2 = 170$, soit $150 + 20$ ✔. La formule $150 + 20n$ aurait donné $v_1 = 170$ : faux dès le premier terme.

Étape 3 — la somme. Le total sur un an est $v_1 + v_2 + \dots + v_{12}$. Nombre de termes : $12 - 1 + 1 = 12$. Dernier terme : $v_{12} = 20 \times 12 + 130 = 370$. Donc

Léa aura déposé $3\,120$ € en un an. Contrôle d'ordre de grandeur : douze dépôts compris entre $150$ et $370$ €, de moyenne $260$ € — cohérent.

Le moment décisif : à l'étape 2 du point 2, l'exposant ou le multiplicateur de la raison n'est pas le rang, c'est le nombre de pas depuis le premier terme. Avec un premier terme $v_1$, ce nombre est $n - 1$. Le contrôle sur $v_1$ prend cinq secondes et attrape l'erreur à coup sûr.

Figure (SVG programmatique à produire) : trois panneaux — les deux familles représentées par leurs points, puis l'astuce de Gauss dessinée.

• Panneau 1 — une suite arithmétique. Repère avec $n$ en abscisse ($0$ à $6$, graduations entières, aucun trait entre elles) et $u_n$ en ordonnée. Les points $(n\ ;\ u_n)$ de la suite $u_n = 5 + 3n$ : $(0\ ;\ 5)$, $(1\ ;\ 8)$, $(2\ ;\ 11)$, $(3\ ;\ 14)$, $(4\ ;\ 17)$, $(5\ ;\ 20)$, $(6\ ;\ 23)$, en disques pleins non reliés ; une droite fine en tirets passe par tous, avec la mention « points alignés : fonction affine de $n$, coefficient directeur $r = 3$ ». Entre deux points consécutifs, une marche d'escalier en pointillés, de hauteur constante cotée « $+3$ ». Cartouche : « $u_{n + 1} = u_n + 3$, donc $u_n = 5 + 3n$ ».
• Panneau 2 — une suite géométrique. Même type de repère, points de la suite $v_n = 2 \times 1{,}5^{\,n}$ : $(0\ ;\ 2)$, $(1\ ;\ 3)$, $(2\ ;\ 4{,}5)$, $(3\ ;\ 6{,}75)$, $(4\ ;\ 10{,}125)$, $(5\ ;\ 15{,}19)$ (dernière ordonnée arrondie), disques pleins non reliés, marches de hauteur croissante cotées « $\times 1{,}5$ ». Une courbe fine en tirets passe par les points, avec la mention « pas une droite : la hauteur des marches augmente ». Cartouche : « $v_{n + 1} = 1{,}5\,v_n$, donc $v_n = 2 \times 1{,}5^{\,n}$ ». Un insert plus petit montre une suite géométrique de raison $0{,}5$ dont les points descendent en se rapprochant de l'axe des abscisses, mention « $0 < q < 1$ : décroissante, jamais négative ».
• Panneau 3 — l'astuce de Gauss. Un escalier de $6$ colonnes de hauteurs $1, 2, 3, 4, 5, 6$ (carreaux unités), et le même escalier retourné posé dessus, tramé différemment : ensemble ils forment un rectangle de $6$ colonnes sur $7$ lignes. Cartouche : « $2S = 6 \times 7$, donc $1 + 2 + \dots + 6 = \dfrac{6 \times 7}{2} = 21$ ». En dessous, la généralisation : « nombre de termes $\times$ (premier + dernier) $\div\, 2$ ».

Ce qu'il faut lire. Les points d'une suite ne sont jamais reliés : entre deux rangs, il n'y a pas de terme. Le panneau 1 montre l'alignement qui fait d'une suite arithmétique une fonction affine du rang ; le panneau 2, la courbe qui accélère et qui annonce l'exponentielle — et, dans l'insert, une décroissance qui ne passe jamais sous zéro. Le panneau 3 rend la formule de la somme évidente : deux escaliers font un rectangle, dont l'aire se lit sans additionner.

La figure en détail : à gauche, sept disques non reliés, aux abscisses entières de zéro à six, de hauteurs cinq, huit, onze, quatorze, dix-sept, vingt et vingt-trois, tous alignés sur une droite fine en tirets ; entre deux disques consécutifs, une marche d'escalier en pointillés de hauteur trois, toujours la même. Au centre, six disques non reliés, de hauteurs deux ; trois ; quatre virgule cinq ; six virgule soixante-quinze ; dix virgule cent vingt-cinq ; quinze virgule dix-neuf, posés sur une courbe fine qui se redresse : chaque marche est une fois et demie plus haute que la précédente ; un petit insert montre des disques qui descendent en se rapprochant de l'axe sans l'atteindre. À droite, un escalier de six colonnes de hauteurs un à six, et le même escalier retourné posé dessus avec une trame différente : ensemble ils forment un rectangle de six colonnes sur sept lignes, d'aire quarante-deux, dont la moitié, vingt et un, est l'aire d'un seul escalier.

Domaine de validité. Les formes explicites valent pour tout rang à partir du premier terme, et la raison est constante par définition : une suite dont les pas changent n'est ni arithmétique ni géométrique, quel que soit le nombre de termes qui semblent régulièrement espacés. La formule $\dfrac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$ exige $q \neq 1$. Le sens de variation d'une suite géométrique tel qu'énoncé suppose $u_0 > 0$ et $q > 0$.

Écritures. Le terme de rang $n$ se note $u_n$, l'indice en bas ; la suite se note $(u_n)$, entre parenthèses ; $u_{n + 1}$ (indice $n + 1$) est le terme suivant, à ne pas confondre avec $u_n + 1$ (le terme augmenté de $1$). Une population, un capital, se donnent avec un nombre de chiffres significatifs raisonnable et le signe $\approx$ dès qu'un arrondi est fait ; la valeur exacte reste $12\,000 \times 1{,}025^{10}$.

Contrôles gratuits. Une forme explicite doit redonner le premier terme et le second. Une somme arithmétique est le nombre de termes multiplié par la moyenne des extrêmes : son ordre de grandeur se vérifie de tête. Une somme géométrique de raison $2$ est un peu inférieure au double de son dernier terme.

1. Croiser les formes explicites : $u_n = u_0 + n\,q$ pour une géométrique, ou $u_0 \times r^n$ pour une arithmétique. Le geste répété décide : on ajoute $n$ fois la raison d'une suite arithmétique ($u_0 + nr$), on multiplie $n$ fois par celle d'une suite géométrique ($u_0 q^n$). Contrôle infaillible : la formule doit redonner $u_1$ pour $n = 1$.
2. Se tromper d'un rang quand le premier terme est $u_1$. De $u_1$ à $u_n$, il n'y a que $n - 1$ pas : $u_n = u_1 + (n - 1)\,r$ et $u_n = u_1 \times q^{\,n - 1}$. Lis la convention dans l'énoncé avant d'écrire quoi que ce soit, puis contrôle sur $u_1$ et $u_2$.
3. Confondre le nombre de termes et le dernier indice. De $u_3$ à $u_9$, il y a $9 - 3 + 1 = 7$ termes : les deux extrémités comptent. L'erreur décale toute la somme d'un terme — et dans la formule $\dfrac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$, l'exposant est ce nombre de termes.
4. Prendre le taux pour la raison. Une hausse de $5\,\%$ par an correspond à la raison $1{,}05$, pas à $5$ ni à $0{,}05$ ; une baisse de $15\,\%$ à $0{,}85$. La raison est le coefficient multiplicateur qui fait passer d'une valeur à la suivante.
5. Additionner des pourcentages successifs. Dix hausses de $2{,}5\,\%$ font $1{,}025^{10} \approx 1{,}28$, soit $28\,\%$, et non $25\,\%$. Et une hausse de $10\,\%$ suivie d'une baisse de $10\,\%$ donne $1{,}1 \times 0{,}9 = 0{,}99$ : on ne revient pas au point de départ.
6. Conclure sur la nature d'une suite avec deux termes. $1$ puis $2$ commence aussi bien une suite arithmétique, géométrique, ou aucune des deux. Il faut vérifier les différences (ou les quotients) sur tous les termes donnés, et envisager qu'aucune des deux natures ne convienne.
7. Croire qu'une suite géométrique de raison négative est monotone. Avec $q = -2$ et $u_0 = 1$ : $1, -2, 4, -8$ — les termes alternent en signe, la suite n'est ni croissante ni décroissante, même si les valeurs absolues grandissent.
8. Relier les points d'une suite sur un graphique. Une suite n'est définie qu'aux rangs entiers : $u_{2{,}5}$ n'existe pas. Les points se marquent isolément ; tracer une courbe continue entre eux, c'est représenter une fonction de la variable réelle, pas la suite.

Le modèle. L'exercice associé à cette leçon tire l'une de trois familles : calculer $u_n$ pour une suite arithmétique dont on donne la raison et le premier terme ($u_0$ ou $u_1$, la convention est écrite) ; la même chose pour une suite géométrique de raison $2$, $3$, $10$, $0{,}5$ ou $1{,}5$ (résultat exact) ; ou calculer la valeur d'une grandeur réelle après $n$ évolutions de $t\,\%$ — population, loyer, abonnés, valeur de revente — avec une réponse arrondie à trois chiffres significatifs. Un second modèle, voisin, demande de reconnaître la nature d'une suite à partir de ses quatre premiers termes (l'option « ni arithmétique ni géométrique » existe et gagne un tiers du temps) et de choisir la valeur d'une somme de termes consécutifs parmi quatre calculées.

Énoncé type. La valeur de revente d'une voiture est de $18\,000$ euros aujourd'hui, et diminue de $15\,\%$ chaque année. On note $u_0 = 18\,000$ la valeur actuelle et $u_n$ la valeur au bout de $n$ ans. Quelle sera cette valeur au bout de $4$ ans, en euros ? Arrondir à $3$ chiffres significatifs.

Corrigé complet.

1. Traduire la baisse en coefficient. Diminuer de $15\,\%$, c'est multiplier par $1 - \dfrac{15}{100} = 0{,}85$. Ce coefficient est le même chaque année : $(u_n)$ est géométrique de raison $q = 0{,}85$ et de premier terme $u_0 = 18\,000$.

2. Écrire la forme explicite. Premier terme $u_0$, donc $u_n = u_0 \times q^n = 18\,000 \times 0{,}85^{\,n}$, et

3. Calculer, puis arrondir une seule fois. $0{,}85^2 = 0{,}7225$ et $0{,}85^4 = 0{,}7225^2 = 0{,}52200625$, valeur exacte. Donc $u_4 = 18\,000 \times 0{,}52200625 = 9\,396{,}1125$. Arrondie à trois chiffres significatifs :

4. Interpréter et contrôler. En quatre ans, la voiture a perdu environ $48\,\%$ de sa valeur ($1 - 0{,}522 \approx 0{,}478$), et non $4 \times 15 = 60\,\%$ : les baisses successives portent sur une valeur de plus en plus petite. Contrôle d'ordre de grandeur : quatre baisses de $15\,\%$ laissent un peu plus de la moitié de la valeur, et $9\,400$ est un peu plus de la moitié de $18\,000$ ✔. Comme $0 < q < 1$ et $u_0 > 0$, la suite est décroissante — et reste positive : la voiture ne vaudra jamais un montant négatif.

Auto-contrôle : vérifie que la raison est le coefficient $0{,}85$ et non $15$ ou $0{,}15$, que l'exposant est le nombre d'années écoulées depuis $u_0$, et que l'arrondi n'a été fait qu'à la toute fin, avec le signe $\approx$.