Fiche de révision : Réduction des endomorphismes

Les notions de cette fiche

• Éléments propres d’un endomorphisme — Valeur propre, vecteur propre et sous-espace propre d'un endomorphisme ou d'une matrice carrée, spectre, polynôme caractéristique et ses racines, multiplicité algébrique d'une valeur propre et dimension du sous-espace propre associé, encadrement de la seconde par la première, somme directe des sous-espaces propres, lien entre la trace et la somme des valeurs propres, entre le déterminant et leur produit.
• Diagonalisation — Endomorphisme et matrice diagonalisables, critères de diagonalisabilité (base de vecteurs propres, somme des dimensions des sous-espaces propres égale à la dimension de l'espace, polynôme caractéristique scindé dont chaque multiplicité égale la dimension du sous-espace propre, cas suffisant de n valeurs propres distinctes), construction de la matrice de passage et de la matrice diagonale semblable, applications : puissances d'une matrice, suites récurrentes couplées, systèmes différentiels linéaires à coefficients constants.
• Polynômes annulateurs et trigonalisation — Polynôme d'endomorphisme, polynôme annulateur, lien entre ses racines et le spectre, lemme de décomposition des noyaux, caractérisation de la diagonalisabilité par un polynôme annulateur scindé à racines simples, polynôme minimal, trigonalisation d'un endomorphisme dont le polynôme caractéristique est scindé, endomorphismes nilpotents, calcul de puissances par une écriture en somme d'une partie diagonale et d'une partie nilpotente qui commutent.

À maîtriser avant de commencer

Ces notions sont utilisées ici. Relisez-les si l’une d’elles vous échappe.

• Matrices et systèmes linéaires — Opérations sur les matrices, produit, inverse d'une matrice 2 × 2, écriture matricielle d'un système, puissances de matrices.
• Systèmes linéaires et méthode du pivot de Gauss — Opérations élémentaires sur les lignes, mise sous forme échelonnée puis échelonnée réduite, rang d'un système, discussion complète (système de Cramer, système incompatible, inconnues principales et secondaires), description de l'ensemble des solutions comme sous-espace affine, calcul de l'inverse d'une matrice par le pivot.
• Déterminants — Déterminant d'une matrice carrée et d'une famille de vecteurs, développement selon une ligne ou une colonne (cofacteurs), effet des opérations élémentaires, déterminant d'un produit et d'une transposée, caractérisation de l'inversibilité et des bases, formules de Cramer, interprétation en aire et en volume orientés.
• Espaces vectoriels et sous-espaces de dimension finie — Espace vectoriel sur ℝ ou ℂ, sous-espace vectoriel, sous-espace engendré, somme et somme directe, familles libres, génératrices et bases, dimension, rang d'une famille de vecteurs, dimension d'une somme (formule de Grassmann), supplémentaires.
• Applications linéaires et théorème du rang — Application linéaire, noyau et image, caractérisation de l'injectivité par le noyau, rang, théorème du rang, isomorphismes, matrice d'une application linéaire dans des bases données, matrice de passage et changement de base.
• Suites arithmétiques et géométriques — Définition par récurrence et forme explicite, raison, sens de variation, somme des termes, modélisation d'évolutions.
• Nombres complexes — Forme algébrique, conjugué, module, argument, forme exponentielle, formules d'Euler et de Moivre, résolution dans ℂ du second degré.

S’entraîner sur ces notions

• S’entraîner : Valeurs propres et vecteurs propres
• S’entraîner : Diagonalisation : construire une base propre
• S’entraîner : Trigonalisation et polynômes annulateurs

Pour aller plus loin

• Analyse
• Espaces euclidiens
• Probabilités
• Toutes les fiches de révision