S’entraîner : Endomorphismes symétriques et théorème spectral

Ce que vous travaillez

Endomorphisme symétrique d'un espace euclidien et matrice symétrique réelle qui le représente dans une base orthonormée, orthogonalité des sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes, théorème spectral (toute matrice symétrique réelle est diagonalisable dans une base orthonormée, ses valeurs propres sont réelles), réduction sous la forme d'un produit faisant intervenir une matrice orthogonale et sa transposée, endomorphismes symétriques positifs et définis positifs, réduction d'une forme quadratique.

À maîtriser avant de commencer

Ces notions sont utilisées ici. Relisez-les si l’une d’elles vous échappe.

• Espaces euclidiens, orthogonalité et projection orthogonale — Produit scalaire sur un espace vectoriel réel, norme associée, inégalité de Cauchy-Schwarz et cas d'égalité, familles orthogonales et orthonormées, procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt, supplémentaire orthogonal d'un sous-espace, projection orthogonale et son expression dans une base orthonormée, distance d'un vecteur à un sous-espace, matrices orthogonales et groupe orthogonal.
• Diagonalisation — Endomorphisme et matrice diagonalisables, critères de diagonalisabilité (base de vecteurs propres, somme des dimensions des sous-espaces propres égale à la dimension de l'espace, polynôme caractéristique scindé dont chaque multiplicité égale la dimension du sous-espace propre, cas suffisant de n valeurs propres distinctes), construction de la matrice de passage et de la matrice diagonale semblable, applications : puissances d'une matrice, suites récurrentes couplées, systèmes différentiels linéaires à coefficients constants.

Comment se déroule la séance

Cette séance s’appuie sur 1 exercice vérifié. Chacun produit un nouvel énoncé à chaque ouverture, avec une solution calculée.

Formats de réponse : Réponse numérique (1). Difficulté 4 sur 5. Environ 5 minutes pour un premier passage.

Dans votre compte : aide graduée (indice, rappel de cours, aide au démarrage), corrigé pas à pas après chaque tentative, suivi de vos progrès.

Essayez un exercice, sans compte

Un exercice réel de cette séance, le même pour chaque visiteur. Répondez, puis vérifiez : la correction est calculée, et le corrigé s’affiche après votre tentative.

Pour aller plus loin

• Lire le début du cours : Endomorphismes symétriques et théorème spectral
• Fiche de révision : Espaces euclidiens (Prépa 2e année)
• Notion suivante : Probabilités sur un univers dénombrable
• Tous les entraînements de Mathématiques