Fiche de révision : Espaces euclidiens

Les notions de cette fiche

• Espaces euclidiens, orthogonalité et projection orthogonale — Produit scalaire sur un espace vectoriel réel, norme associée, inégalité de Cauchy-Schwarz et cas d'égalité, familles orthogonales et orthonormées, procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt, supplémentaire orthogonal d'un sous-espace, projection orthogonale et son expression dans une base orthonormée, distance d'un vecteur à un sous-espace, matrices orthogonales et groupe orthogonal.
• Endomorphismes symétriques et théorème spectral — Endomorphisme symétrique d'un espace euclidien et matrice symétrique réelle qui le représente dans une base orthonormée, orthogonalité des sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes, théorème spectral (toute matrice symétrique réelle est diagonalisable dans une base orthonormée, ses valeurs propres sont réelles), réduction sous la forme d'un produit faisant intervenir une matrice orthogonale et sa transposée, endomorphismes symétriques positifs et définis positifs, réduction d'une forme quadratique.

À maîtriser avant de commencer

Ces notions sont utilisées ici. Relisez-les si l’une d’elles vous échappe.

• Produit scalaire — Définitions (norme-angle, coordonnées, projection), propriétés, orthogonalité, formule d'Al-Kashi.
• Matrices et systèmes linéaires — Opérations sur les matrices, produit, inverse d'une matrice 2 × 2, écriture matricielle d'un système, puissances de matrices.
• Espaces vectoriels et sous-espaces de dimension finie — Espace vectoriel sur ℝ ou ℂ, sous-espace vectoriel, sous-espace engendré, somme et somme directe, familles libres, génératrices et bases, dimension, rang d'une famille de vecteurs, dimension d'une somme (formule de Grassmann), supplémentaires.
• Applications linéaires et théorème du rang — Application linéaire, noyau et image, caractérisation de l'injectivité par le noyau, rang, théorème du rang, isomorphismes, matrice d'une application linéaire dans des bases données, matrice de passage et changement de base.
• Diagonalisation — Endomorphisme et matrice diagonalisables, critères de diagonalisabilité (base de vecteurs propres, somme des dimensions des sous-espaces propres égale à la dimension de l'espace, polynôme caractéristique scindé dont chaque multiplicité égale la dimension du sous-espace propre, cas suffisant de n valeurs propres distinctes), construction de la matrice de passage et de la matrice diagonale semblable, applications : puissances d'une matrice, suites récurrentes couplées, systèmes différentiels linéaires à coefficients constants.

S’entraîner sur ces notions

• S’entraîner : Espaces euclidiens et projection orthogonale
• S’entraîner : Endomorphismes symétriques et théorème spectral

Pour aller plus loin

• Analyse
• Probabilités
• Réduction des endomorphismes
• Toutes les fiches de révision