Mathématiques · Licence 2 · 1 exercice vérifié

S’entraîner : Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques

Chapitre : Algèbre bilinéaire et hermitienne

Ce que vous travaillez

Forme bilinéaire sur un espace vectoriel réel de dimension finie, symétrie, forme quadratique associée et forme polaire, identité de polarisation et le facteur un demi qu'elle porte ; matrice d'une forme bilinéaire symétrique dans une base et lecture des coefficients des termes rectangles comme des demi-coefficients hors diagonale ; effet d'un changement de base (matrices congruentes) et invariance du rang ; noyau d'une forme quadratique, forme dégénérée ou non dégénérée, vecteurs isotropes et cône isotrope, distinction entre ce cône et le noyau.

À maîtriser avant de commencer

Ces notions sont utilisées ici. Relisez-les si l’une d’elles vous échappe.

Matrices et systèmes linéaires — Opérations sur les matrices, produit, inverse d'une matrice 2 × 2, écriture matricielle d'un système, puissances de matrices.
Systèmes de deux équations à deux inconnues — Résoudre un système linéaire 2 × 2 par substitution ou combinaison ; interprétation graphique comme intersection de droites.
Produit scalaire — Définitions (norme-angle, coordonnées, projection), propriétés, orthogonalité, formule d'Al-Kashi.

Comment se déroule la séance

Cette séance s’appuie sur 1 exercice vérifié. Chacun produit un nouvel énoncé à chaque ouverture, avec une solution calculée.

Formats de réponse : Réponse numérique (1). Difficulté 4 sur 5. Environ 6 minutes pour un premier passage.

Dans votre compte : aide graduée (indice, rappel de cours, aide au démarrage), corrigé pas à pas après chaque tentative, suivi de vos progrès.

Essayez un exercice, sans compte

Un exercice réel de cette séance, le même pour chaque visiteur. Répondez, puis vérifiez : la correction est calculée, et le corrigé s’affiche après votre tentative.

Difficulté 4 sur 5 · ≈ 6 minutes

Énoncé

Soit $q$ la forme quadratique définie sur $\mathbb{R}^{3}$ par $q(x, y, z) = -3x^{2} - 6y^{2} - 9z^{2} + 6xy - 6xz + 12yz$ .

Calculer le déterminant de la matrice de $q$ dans la base canonique de $\mathbb{R}^{3}$ .

Votre réponse

Continuez dans votre compte

Créez votre compte gratuit pour faire toute la séance avec l’aide graduée, ou connectez-vous pour revenir directement ici.

Créer mon compte gratuit Me connecter pour continuer

L’accès gratuit comprend les cours et exercices de votre niveau choisi.