Produit scalaire : trois expressions, une seule opération

En seconde, les vecteurs savaient s'additionner et se multiplier par un réel ; le déterminant disait s'ils étaient colinéaires. Le produit scalaire relie désormais angles, projections et longueurs par une même opération ; cela complète les méthodes géométriques et les calculs déjà rencontrés. C'est une opération qui prend deux vecteurs et fabrique — attention — un nombre réel, pas un vecteur.

Première expression : par la norme et l'angle. Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls. On note $(\vec{u}\ ;\ \vec{v})$ l'angle géométrique qu'ils forment quand on les fait partir du même point — un angle de $[0\ ;\ \pi]$, en radians, ou de $[0°\ ;\ 180°]$. On définit

Si l'un des deux vecteurs est nul, on pose $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. On lit « $\vec{u}$ scalaire $\vec{v}$ ». Le point entre les deux vecteurs n'est pas une multiplication de nombres : c'est le symbole de cette opération nouvelle.

Regardez ce que fait le cosinus. Il vaut $1$ quand les vecteurs sont colinéaires de même sens (angle nul) : le produit scalaire est alors le produit des normes, la plus grande valeur possible lorsque les deux normes sont fixées. Il vaut $-1$ pour deux vecteurs colinéaires de sens contraires : produit scalaire égal à l'opposé du produit des normes. Il vaut $0$ pour un angle droit. Entre les deux, il est positif pour un angle aigu et négatif pour un angle obtus. Le signe du produit scalaire dit donc si les deux vecteurs « tirent plutôt dans le même sens » ou « plutôt en sens contraires » — et le cas nul est celui de la perpendicularité.

Pour deux vecteurs non nuls : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ si et seulement si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux. Par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur — ce qui rend l'équivalence vraie dans tous les cas.

Cette caractérisation est l'usage numéro un du produit scalaire : démontrer qu'un angle est droit sans mesurer, par un calcul.

Deuxième expression : par la projection orthogonale. Soient $A$, $B$, $C$ trois points, $A \neq B$, et $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$. Si $C\neq A$ et si ce triangle n’est pas dégénéré, dans le triangle $AHC$, rectangle en $H$, le cosinus de l'angle en $A$ vaut $\dfrac{AH}{AC}$ quand cet angle est aigu ; en reportant dans la première expression, $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AC \times \dfrac{AH}{AC} = AB \times AH$. Quand l'angle est obtus, $H$ tombe de l'autre côté de $A$ et le cosinus est négatif : le produit vaut $-AB \times AH$. En résumé :

Si $H=A$, le produit vaut 0 ; si $C=A$, le second vecteur est nul. Autrement dit, on peut remplacer $\vec{AC}$ par son projeté $\vec{AH}$ sur la direction de $\vec{AB}$ sans changer le produit scalaire : seule compte la composante de $\vec{AC}$ « le long de » $\vec{AB}$. Pour une force constante, cette expression donne son travail le long d’un déplacement : la composante de la force selon ce déplacement est multipliée par sa longueur.

Ce que le produit scalaire n'est pas. Il n'est pas un vecteur : $\vec{u} \cdot \vec{v}$ n'a ni direction ni sens, on ne peut pas le dessiner comme une flèche. Pour deux vecteurs non nuls, il égale le produit des normes si et seulement si les vecteurs sont colinéaires de même sens. Si l’un est nul, les deux produits sont également nuls, sans angle déterminé. Et un produit scalaire nul ne signifie pas qu'un des vecteurs est nul : c'est le cas, tout à fait ordinaire, de deux vecteurs perpendiculaires.

Les propriétés de calcul. Le produit scalaire se manipule presque comme un produit de nombres, avec deux règles.

• Symétrie : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ (le cosinus ne dépend pas de l'ordre).
• Bilinéarité : $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$ et $(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k\,(\vec{u} \cdot \vec{v})$ pour tout réel $k$ — on développe comme d'habitude. (La première se voit par la projection : projeter une somme, c'est sommer les projetés.)

Et un cas particulier essentiel, d’abord pour $\vec u\neq\vec0$ : $\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{u}\| \times \cos 0 = \|\vec{u}\|^2$. Cette identité reste vraie pour le vecteur nul par la convention qui fixe son produit scalaire à 0. On note aussi $\vec{u}^{\,2}$ ce carré scalaire. Il transforme toute longueur en produit scalaire — et c'est la clé de tout ce qui suit.

Les identités remarquables. En développant $(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v})$ par bilinéarité et symétrie :

La première fournit une troisième expression du produit scalaire, uniquement par des normes :

Elle sert quand on connaît trois longueurs et aucun angle. Elle permet de comparer le carré de la norme de la somme à celui de la somme des normes : l’écart vaut $2(\|\vec u\|\|\vec v\|-\vec u\cdot\vec v)$. Il est nul pour deux vecteurs non nuls de même direction et même sens, ainsi que si l’un est nul ; les normes ne sont donc pas additives en général.

L'expression en coordonnées. Plaçons-nous dans un repère orthonormé $(O\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j})$ : $\|\vec{i}\| = \|\vec{j}\| = 1$ et $\vec{i} \cdot \vec{j} = 0$. Pour $\vec{u}\,(x\ ;\ y)$ et $\vec{v}\,(x'\ ;\ y')$, c'est-à-dire $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}$ et $\vec{v} = x'\vec{i} + y'\vec{j}$, la bilinéarité développe le produit en quatre termes, dont deux sont nuls ($\vec{i} \cdot \vec{j} = 0$) et deux valent $xx'$ et $yy'$ :

C'est l'expression la plus rapide quand on a un repère — et elle exige qu'il soit orthonormé, exactement comme la formule $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$, qui n'en est que le cas $\vec{v} = \vec{u}$. Dans une base quelconque, on utilise $xx'\|\vec i\|^2+yy'\|\vec j\|^2+(xy'+yx')\vec i\cdot\vec j$. Une base peut être orthogonale sans être normée ; le terme croisé est alors nul, mais les carrés des normes de base ne valent pas forcément 1. La formule simple n’est pas une identité générale dans une telle base, même si elle peut coïncider pour certains vecteurs particuliers.

La formule d'Al-Kashi. Dans un triangle $ABC$, on a $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$ (relation de Chasles). Élevons au carré scalaire :

et avec la première expression, $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AC \times \cos \widehat{A}$ :

C'est le théorème de Pythagore avec un terme correctif : quand $\widehat{A}$ est droit, le cosinus est nul et on retrouve $BC^2 = AB^2 + AC^2$. Quand $\widehat{A}$ est aigu, on retranche ; quand il est obtus, le cosinus est négatif et on ajoute. Al-Kashi calcule un côté à partir de deux côtés et de l'angle compris, ou un angle à partir des trois côtés.

Choisir l'expression selon les données. C'est la compétence réelle de ce chapitre.

Les expressions donnent toujours le même nombre : ce sont trois façons de calculer une seule quantité, et passer de l'une à l'autre est précisément ce qui permet de trouver un angle à partir de coordonnées, ou une longueur à partir d'un angle.

Énoncé. Dans un repère orthonormé gradué en mètres, $A(0;0)$ et $B(3;4)$ définissent l’axe d’un passage. Un point $C(2;1)$ est-il à une distance de la droite $(AB)$ inférieure ou égale à 0,8 m ? Déterminez d’abord son projeté orthogonal $H$ et vérifiez que ce projeté appartient aussi au segment $[AB]$.

Paramétrer la droite. Posons $\vec u=\vec{AB}=(3;4)$ et $\vec v=\vec{AC}=(2;1)$. Tout point $H$ de la droite s’écrit $\vec{AH}=t\vec u$. La perpendicularité de $CH$ à $AB$ exige

Or $\vec v\cdot\vec u=10$ et $\|\vec u\|^2=25$, donc $10-25t=0$, soit $t=2/5$.

Trouver et contrôler le projeté. $H=(6/5;8/5)$. Comme $0\leqslant2/5\leqslant1$, il appartient au segment $[AB]$. De plus

Le point est bien sur la droite et la liaison à $C$ est perpendiculaire : les deux conditions caractérisent le projeté.

Mesurer et décider.

La distance dépasse donc 0,8 m. Le produit scalaire a servi à construire le pied de la perpendiculaire, puis la norme a donné une distance ; le nombre 10 calculé au début n’est pas lui-même cette distance.

Figure (SVG programmatique existant) : trois panneaux — le produit scalaire vu par la projection, avec son signe ; un triangle distinct du guidage dans son repère ; la configuration d'Al-Kashi.

• Panneau 1 — la projection et le signe. Deux vignettes côte à côte, sans repère. Dans chacune, un point $A$, une flèche $\vec{AB}$ horizontale en trait épais, une flèche $\vec{AC}$ en trait plein partant aussi de $A$, et le projeté orthogonal $H$ de $C$ sur $(AB)$ marqué d'un petit carré d'angle droit au pied de la perpendiculaire en pointillés. Vignette de gauche : angle aigu, $H$ entre $A$ et $B$, le segment $[AH]$ surligné avec la cote « $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AH > 0$ ». Vignette de droite : angle obtus, $H$ derrière $A$ (de l'autre côté que $B$), le segment $[AH]$ surligné avec la cote « $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = -AB \times AH < 0$ ». Sous les deux, une troisième mini-vignette où $\vec{AC}$ est perpendiculaire à $\vec{AB}$ : $H = A$, cote « produit scalaire nul ».
• Panneau 2 — un exemple distinct du guidage. Repère orthonormé, $x$ de $0$ à $6$, $y$ de $0$ à $5$, quadrillage. Les points $A(1\ ;\ 1)$, $B(5\ ;\ 2)$, $C(2\ ;\ 4)$ reliés en triangle, les flèches $\vec{AB}\,(4\ ;\ 1)$ et $\vec{AC}\,(1\ ;\ 3)$ en trait épais depuis $A$ avec leurs coordonnées en cartouche. L'angle $\widehat{BAC}$ marqué par un arc et coté « $\approx 57{,}5°$ ». Le projeté $H$ de $C$ sur $(AB)$ en pointillés, avec la cote « $AH = \dfrac{7}{\sqrt{17}} \approx 1{,}70$ ». En encadré : « $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 4 \times 1 + 1 \times 3 = 7 = \sqrt{17} \times \sqrt{10} \times \cos \widehat{A} = AB \times AH$ » — les trois expressions alignées sur une même ligne, avec le même résultat.
• Panneau 3 — Al-Kashi. Un triangle $ABC$ quelconque, sans repère, l'angle $\widehat{A}$ marqué, les côtés cotés $AB$, $AC$ et $BC$. À côté, la formule $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos \widehat{A}$, dont le dernier terme est encadré avec la mention « nul si $\widehat{A}$ est droit : Pythagore ». Deux petites silhouettes de triangle, l'une à angle aigu (terme retranché), l'autre à angle obtus (cosinus négatif : terme ajouté).

Ce qu'il faut lire. Le panneau 1 est la définition rendue visible : le produit scalaire ne regarde que la composante de $\vec{AC}$ le long de $\vec{AB}$, et le signe dit de quel côté de $A$ tombe cette composante — même sens, sens contraire, ou nulle quand l'angle est droit. Le panneau 2 montre les trois expressions calculant le même nombre sur un vrai triangle ; c'est cette égalité qui permet de trouver un angle à partir de coordonnées. Le panneau 3 fait d'Al-Kashi une généralisation de Pythagore : le terme en cosinus mesure l'écart à l'angle droit, en plus ou en moins.

La figure en détail : à gauche, deux petites scènes montrant un point de départ commun, une flèche horizontale et une flèche inclinée ; la pointe de la flèche inclinée est projetée perpendiculairement sur la droite horizontale. Dans la première scène, le projeté tombe en avant du point de départ et le produit est positif ; dans la seconde, l'angle est ouvert au-delà de l'angle droit, le projeté tombe en arrière et le produit est négatif. Au centre, un triangle dans un quadrillage, sommets aux points de coordonnées un-un, cinq-deux et deux-quatre, avec l'angle au premier sommet mesuré à environ cinquante-sept degrés et demi, et un encadré montrant que le calcul par coordonnées, le calcul par les longueurs et l'angle, et le calcul par le projeté donnent tous sept. À droite, un triangle quelconque avec la formule d'Al-Kashi, dont le dernier terme disparaît quand l'angle est droit.