Systèmes de deux équations à deux inconnues

Dans les leçons précédentes, vous avez résolu des équations à une inconnue : une condition, un nombre à trouver. Voici une situation qui n'entre plus dans ce cadre. Dans une papeterie, $3$ cahiers et $2$ stylos coûtent $17$ €, et $2$ cahiers et $5$ stylos coûtent $26$ €. Quel est le prix d'un cahier ? Celui d'un stylo ? Deux nombres inconnus, et deux renseignements qui les concernent ensemble : aucune des deux phrases ne suffit seule, mais les deux réunies déterminent tout.

En notant $x$ le prix d'un cahier et $y$ celui d'un stylo (en euros), les deux phrases se traduisent par deux équations :

Ces deux équations, prises en même temps, forment un système de deux équations à deux inconnues. Chacune est dite linéaire : les inconnues n'y apparaissent qu'à la puissance $1$, sans produit $xy$ ni carré.

Résoudre un système, c'est trouver tous les couples $(x\ ;\ y)$ qui vérifient les deux équations à la fois. Un tel couple est appelé solution du système.

Le mot important est couple : la solution n'est pas un nombre, c'est une paire de nombres qui vont ensemble, notée $(x\ ;\ y)$ dans cet ordre. Et le mot décisif est les deux : le couple $(5\ ;\ 1)$ vérifie $(E_1)$ (car $3 \times 5 + 2 \times 1 = 17$) mais pas $(E_2)$ (car $2 \times 5 + 5 \times 1 = 15 \neq 26$) — il n'est donc pas solution du système. Une équation $ax+by=c$ avec $(a;b)\neq(0;0)$ décrit une droite et possède une infinité de couples solutions. Une seconde équation peut réduire cet ensemble à un point, le laisser inchangé ou rendre l’ensemble des solutions vide.

La méthode de substitution. Elle consiste à exprimer une inconnue en fonction de l'autre grâce à l'une des équations, puis à remplacer (substituer) cette expression dans l'autre équation, qui ne contient alors plus qu'une inconnue — retour au terrain connu de la 4e. Sur un système où une inconnue est facile à isoler :

De $(E_1)$, on tire $y = 14 - 4x$. On remplace $y$ par $14 - 4x$ dans $(E_2)$, en conservant la relation $y=14-4x$ pour retrouver la seconde inconnue :

Reste à retrouver $y$ avec l'expression du début : $y = 14 - 4 \times 3 = 2$. La solution est le couple $(3\ ;\ 2)$ — et l'on n'a pas fini tant qu'on ne l'a pas vérifié dans les deux équations : $4 \times 3 + 2 = 14$ et $3 \times 3 - 2 \times 2 = 5$. Les deux égalités tiennent.

Deux pièges à surveiller. Substituer dans l'équation qui a servi à isoler l'inconnue (on obtient $0 = 0$, une égalité vraie qui n'apprend rien). Et s'arrêter à $x = 3$ : une solution est un couple, la seconde inconnue fait partie de la réponse.

La méthode de combinaison. Quand aucune inconnue n'a de coefficient commode, on préfère une seconde méthode : multiplier chaque équation par un nombre non nul choisi pour que les coefficients d'une inconnue deviennent opposés ou égaux, puis additionner ou soustraire les deux équations membre à membre. L'inconnue visée disparaît. Reprenons la papeterie :

Pour éliminer $y$, il faut le même coefficient devant $y$ dans les deux lignes : on multiplie $(E_1)$ par $5$ et $(E_2)$ par $2$, ce qui donne $10y$ des deux côtés.

On soustrait la seconde à la première, membre à membre et signe par signe :

Un cahier coûte $3$ €. Pour $y$, on revient à l'une des équations de départ : $3 \times 3 + 2y = 17$ donne $2y = 8$, soit $y = 4$. Un stylo coûte $4$ €. Vérification dans l'équation qui n'a pas servi à trouver $y$ : $2 \times 3 + 5 \times 4 = 26$. Le couple $(3\ ;\ 4)$ est solution.

Pourquoi a-t-on le droit ? Multiplier les deux membres d’une équation par un même nombre non nul conserve exactement ses solutions. Ajouter deux égalités vraies fournit une conséquence ; pour conserver un système équivalent, on garde une équation de départ et on remplace l’autre par une combinaison qui permet de retrouver l’équation remplacée. Ici, avec $(E_1)$ et $5(E_1)-2(E_2)$, on retrouve $(E_2)$ en soustrayant puis en divisant par $-2$. Le point délicat est le signe dans la soustraction : chaque terme de la ligne retranchée change de signe, y compris le second membre. Écrire les parenthèses avant de les supprimer permet de contrôler chaque changement de signe.

Substitution ou combinaison ? Correctement appliquées par des transformations équivalentes, les deux méthodes donnent le même ensemble de solutions. Une inconnue a un coefficient $1$ ou $-1$ ? La substitution est immédiate. Les coefficients sont tous « gros » ? La combinaison peut éviter des fractions dans les étapes intermédiaires ; la solution peut néanmoins être fractionnaire. Dans un devoir, vous choisissez ; ce qui ne se choisit pas, c'est la vérification finale.

Pourquoi vérifier dans les deux équations ? Parce qu'une erreur de calcul produit souvent un couple qui vérifie une équation et pas l'autre — précisément le couple $(5\ ;\ 1)$ du début. Vérifier une seule équation ne détecte pas cette erreur ; substituer exactement dans les deux détecte un couple qui n’est pas solution. Ce contrôle prouve qu’un couple appartient à l’ensemble des solutions ; il ne prouve pas à lui seul l’unicité. Une résolution par équivalences peut également justifier le résultat.

Lire le système comme deux droites. On suppose ici que les deux coefficients d’une même ligne ne sont pas tous deux nuls. Chaque équation $ax + by = c$, quand $b \neq 0$, peut s'écrire $y = -\dfrac{a}{b}x + \dfrac{c}{b}$ : c'est l'équation réduite d'une droite du plan, de coefficient directeur $-\dfrac{a}{b}$. Un couple $(x\ ;\ y)$ vérifie l'équation exactement quand le point de coordonnées $(x\ ;\ y)$ est sur la droite. Résoudre le système, c'est donc chercher les points communs à deux droites — et la géométrie dit qu'il n'y a que trois cas.

• Les droites sont sécantes : un seul point commun, le système a une unique solution — c’est le cas des exemples numériques résolus ici.
• Les droites sont parallèles et distinctes : aucun point commun, le système n'a aucune solution.
• Les droites sont confondues : tous les points de la droite sont communs, le système a une infinité de solutions.

Le nombre $ab' - a'b$, formé avec les coefficients du système $\begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases}$, tranche entre le premier cas et les deux autres. C'est le déterminant des vecteurs directeurs $(-b\ ;\ a)$ et $(-b'\ ;\ a')$ des deux droites, rencontré dans la leçon sur les vecteurs : il est nul exactement quand ces vecteurs sont colinéaires, c'est-à-dire quand les droites sont parallèles. Si $ab' - a'b \neq 0$, les droites sont sécantes et le système a une solution unique ; s'il est nul, il n'y a pas de solution unique — aucune ou une infinité, selon que les droites sont distinctes ou confondues. Sur la papeterie : $3 \times 5 - 2 \times 2 = 11 \neq 0$, et c'est bien ce $11$ qui est apparu devant $x$ dans la combinaison.

Énoncé. Deux cahiers et quatre stylos coûtent 12 €. Quatre cahiers et deux stylos coûtent 13,50 €. Les prix unitaires sont fixes. Déterminez ces prix, puis le montant restant sur un budget de 20 € après l’achat de six cahiers et deux stylos.

Traduire. Avec $x$ le prix d’un cahier et $y$ celui d’un stylo, en euros :

Éliminer en gardant une équation. On conserve $(E_1)$ et on remplace $(E_2)$ par $2(E_1)-(E_2)$ :

Cette transformation est réversible : $(E_2)=2(E_1)-[2(E_1)-(E_2)]$. Dans $(E_1)$, $2x+7=12$, donc $x=2{,}50$.

Contrôler et interpréter. $2\times2{,}50+4\times1{,}75=12$ et $4\times2{,}50+2\times1{,}75=13{,}50$. Les prix sont positifs, sans devoir être des entiers. Le déterminant vaut $2\times2-4\times4=-12\neq0$ : le couple est l’unique solution.

Composer avec le budget. L’achat final coûte $6\times2{,}50+2\times1{,}75=18{,}50$ €. Il reste $20-18{,}50=1{,}50$ €. Ce dernier montant n’est ni $x$ ni $y$ : il répond à une nouvelle question à partir des deux prix trouvés.

Figure (SVG programmatique existant) : deux panneaux qui donnent un sens géométrique au mot « solution ».

• Panneau de gauche — le système de la substitution, tracé. Un repère orthonormé gradué de $-1$ à $8$ sur les deux axes. La droite $d_1$ d'équation $4x + y = 14$ et la droite $d_2$ d'équation $3x - 2y = 5$ sont tracées en traits pleins de deux styles différents (l'un continu, l'autre tireté, chacune étiquetée par son équation). Leur point d'intersection $(3\ ;\ 2)$ est marqué d'un disque plein, avec deux projections en pointillés vers les axes cotées « $3$ » et « $2$ », et un cartouche : « le couple $(3\ ;\ 2)$ vérifie les deux équations ». Dans un encart barré, un second point est marqué sur $d_1$ seulement, en $(2\ ;\ 6)$, avec la mention « vérifie $(E_1)$, pas $(E_2)$ : ce n'est pas une solution du système ».
• Panneau de droite — les trois cas. Trois vignettes miniatures côte à côte, chacune montrant deux droites dans un petit repère et portant en pied le nombre de solutions du système : droites sécantes (un point commun mis en évidence — « une solution »), droites parallèles distinctes (aucun point commun — « aucune solution »), droites confondues (une seule droite dessinée en trait épais — « une infinité de solutions »). Sous les trois vignettes, une ligne rappelle le critère : « $ab' - a'b \neq 0$ : sécantes ; $ab' - a'b = 0$ : parallèles ou confondues ».

Ce qu'il faut lire. Sur le panneau de gauche, chaque droite est l'ensemble des couples qui vérifient une équation ; la solution du système est le seul point qui appartient aux deux — et le point barré montre qu'être sur une droite ne suffit pas. Le panneau de droite explique pourquoi un système peut n'avoir aucune solution ou en avoir une infinité : ce n'est pas un accident de calcul, c'est la position relative de deux droites.