Mathématiques · Licence 2 · 3 leçons

Fiche de révision : Algèbre bilinéaire et hermitienne

L’essentiel de chaque leçon du chapitre, tel qu’il est écrit dans le cours : à relire, à imprimer, puis à vérifier par l’entraînement.

Les notions de cette fiche

Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques — Forme bilinéaire sur un espace vectoriel réel de dimension finie, symétrie, forme quadratique associée et forme polaire, identité de polarisation et le facteur un demi qu'elle porte ; matrice d'une forme bilinéaire symétrique dans une base et lecture des coefficients des termes rectangles comme des demi-coefficients hors diagonale ; effet d'un changement de base (matrices congruentes) et invariance du rang ; noyau d'une forme quadratique, forme dégénérée ou non dégénérée, vecteurs isotropes et cône isotrope, distinction entre ce cône et le noyau.
Espaces hermitiens et endomorphismes normaux — Forme sesquilinéaire sur un espace vectoriel complexe, produit scalaire hermitien et sa symétrie conjuguée, norme associée, inégalité de Cauchy-Schwarz complexe ; bases orthonormées et orthonormalisation de Gram-Schmidt avec conjugaison du coefficient de projection ; adjoint d'un endomorphisme et matrice transconjuguée ; matrices hermitiennes, unitaires, endomorphismes normaux ; réduction : toute matrice normale est diagonalisable dans une base orthonormée, les valeurs propres d'une matrice hermitienne sont réelles, celles d'une matrice unitaire de module un.
Réduction de Gauss et signature d’une forme quadratique — Décomposition d'une forme quadratique en combinaison de carrés de formes linéaires indépendantes par l'algorithme de Gauss, y compris le cas sans terme carré traité par un changement de variables ; rang comme nombre de carrés obtenus ; signature comme couple (nombre de carrés de signe plus, nombre de carrés de signe moins) ; loi d'inertie de Sylvester, qui rend ce couple indépendant de la réduction choisie ; classification des formes quadratiques réelles à équivalence près ; caractérisation des formes positives, définies positives et indéfinies, et lien avec le signe des valeurs propres de la matrice de la forme.

À maîtriser avant de commencer

Ces notions sont utilisées ici. Relisez-les si l’une d’elles vous échappe.

Matrices et systèmes linéaires — Opérations sur les matrices, produit, inverse d'une matrice 2 × 2, écriture matricielle d'un système, puissances de matrices.
Systèmes de deux équations à deux inconnues — Résoudre un système linéaire 2 × 2 par substitution ou combinaison ; interprétation graphique comme intersection de droites.
Produit scalaire — Définitions (norme-angle, coordonnées, projection), propriétés, orthogonalité, formule d'Al-Kashi.
Espaces euclidiens, orthogonalité et projection orthogonale — Produit scalaire sur un espace vectoriel réel, norme associée, inégalité de Cauchy-Schwarz et cas d'égalité, familles orthogonales et orthonormées, procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt, supplémentaire orthogonal d'un sous-espace, projection orthogonale et son expression dans une base orthonormée, distance d'un vecteur à un sous-espace, matrices orthogonales et groupe orthogonal.
Nombres complexes — Forme algébrique, conjugué, module, argument, forme exponentielle, formules d'Euler et de Moivre, résolution dans ℂ du second degré.
Équations du second degré — Discriminant, racines réelles, forme canonique, forme factorisée, signe du trinôme.
Développement et factorisation — Distributivité simple et double, identités remarquables (a + b)², (a − b)², (a + b)(a − b), factorisation par un facteur commun.

Le début de la fiche

Extrait de la leçon « Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques », tel qu’il figure sur la fiche.

À retenir

$q(u) = \varphi(u, u), \qquad q(\lambda u) = \lambda^{2} q(u), \qquad q(u + v) = q(u) + 2\varphi(u, v) + q(v)$
$\varphi(u, v) = \frac{1}{2}\big(q(u + v) - q(u) - q(v)\big)$
$q(X) = X^{\top} M X, \quad M = M^{\top}, \quad m_{ii} = \text{coef. de } x_i^{2}, \quad m_{ij} = \tfrac{1}{2}\,\text{coef. de } x_i x_j$
$M' = P^{\top} M P, \qquad \mathrm{rang}\,M' = \mathrm{rang}\,M, \qquad \det M' = (\det P)^{2} \det M$
$\ker q = \ker M \ (\text{sous-espace}) \subset \{u : q(u) = 0\} \ (\text{cône isotrope})$

Tableau : Objet, Définition, Structure
Objet	Définition	Structure
Noyau	$\varphi(u, v) = 0$ pour tout $v$	sous-espace ; $\{0\}$ si et seulement si $\det M \ne 0$
Cône isotrope	$q(u) = 0$	stable par homothétie, pas par somme en général
Rang	$\mathrm{rang}\,M$	invariant par changement de base

Vérification rapide d'une matrice : recalculez $q$ en un vecteur simple, par exemple $(1, 1, 0)$ , avec $X^{\top}MX$ et avec le polynôme.

La suite de la fiche (2 autres notions, les pièges à éviter et la version imprimable) est réservée à votre compte.

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