Matrices et systèmes linéaires

Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres, rangés en lignes et en colonnes. Une matrice à $n$ lignes et $p$ colonnes est dite de format $n \times p$ ; quand $n = p$, elle est carrée d'ordre $n$. Le coefficient situé à la ligne $i$ et à la colonne $j$ se note $a_{ij}$ — ligne d'abord, colonne ensuite, toujours.

Pourquoi ce tableau plutôt qu'une simple liste ? Parce qu'une matrice n'est pas un rangement : c'est une transformation. Multiplier une matrice par un vecteur colonne produit un nouveau vecteur colonne :

On reconnaît, à droite, les membres de gauche d'un système linéaire. C'est exactement pour cela que les matrices existent : le système

Un système d'équations devient une équation, et l'on va pouvoir la résoudre comme on résout $ax = b$ : en divisant — c'est-à-dire, ici, en multipliant par l'inverse de $A$.

Additionner et multiplier par un nombre : rien de surprenant. La somme de deux matrices de MÊME format se fait terme à terme, et multiplier une matrice par un réel multiplie chacun de ses coefficients. Ces deux opérations se comportent comme sur les nombres.

Multiplier deux matrices : c'est là que tout change. Le produit $AB$ n'est PAS le tableau des produits terme à terme. Le coefficient de $AB$ situé à la ligne $i$ et à la colonne $j$ s'obtient en combinant toute la ligne $i$ de $A$ avec toute la colonne $j$ de $B$ : on multiplie leurs coefficients deux à deux dans l'ordre, puis on additionne.

Chaque coefficient du résultat est une somme, jamais un simple produit. La règle a une conséquence de format : $AB$ n'existe que si le nombre de colonnes de $A$ égale le nombre de lignes de $B$.

La matrice identité. $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ joue le rôle du nombre $1$ : $AI = IA = A$ pour toute matrice carrée $A$ d'ordre $2$. C'est la seule matrice dont on soit certain qu'elle commute avec tout le monde.

Le produit n'est pas commutatif. C'est la différence la plus profonde entre le calcul matriciel et le calcul sur les nombres, et la source de la plupart des fautes. En général,

Un exemple suffit à s'en convaincre :

Deux résultats différents à partir des deux mêmes matrices. Conséquences immédiates : $(A + B)^2 \ne A^2 + 2AB + B^2$ en général (il faut écrire $A^2 + AB + BA + B^2$), et l'on ne peut pas « simplifier » une égalité en multipliant d'un côté seulement — il faut multiplier à gauche ou à droite, et le dire.

Certaines paires commutent tout de même : toute matrice de la forme $\alpha I + \beta A$ commute avec $A$, puisqu'elle est construite à partir de $A$ et de l'identité. Mais c'est l'exception, et la seule façon de savoir est de calculer les deux produits.

Le déterminant, un nombre qui décide de tout. Pour une matrice carrée d'ordre $2$,

— le produit de la diagonale principale moins celui de l'antidiagonale. Ce nombre unique répond à une question capitale :

$A$ est inversible si et seulement si $\det(A) \ne 0$.

Être inversible, c'est qu'il existe une matrice $A^{-1}$ vérifiant $AA^{-1} = A^{-1}A = I$. Quand elle existe, elle est unique, et se calcule par

Trois gestes à retenir dans cette formule : les deux coefficients de la diagonale principale sont échangés, les deux autres changent de signe, et tout est divisé par le déterminant. Le premier geste est celui qu'on oublie.

Ce que signifie un déterminant nul. Ce n'est pas un accident de calcul : c'est une information géométrique. Si $\det(A) = 0$, les deux lignes de $A$ (comme ses deux colonnes) sont proportionnelles — elles portent la même information. Le système $AX = B$ n'a alors, selon $B$, soit aucune solution, soit une infinité, jamais exactement une. Écrire $A^{-1}$ dans ce cas n'est pas une maladresse mais une faute : la matrice n'existe pas.

Résoudre un système par l'inverse. Si $\det(A) \ne 0$, l'équation $AX = B$ se résout en multipliant à gauche par $A^{-1}$ :

La solution est unique, et elle est donnée par une formule. À gauche des deux côtés : c'est cet ordre qui compte, puisque le produit n'est pas commutatif.

Les puissances. $A^n$ est le produit de $n$ facteurs égaux à $A$, calculé ligne par colonne à chaque étape :

Ce n'est jamais la matrice des coefficients élevés à la puissance $n$. Les puissances servent notamment aux graphes : si $M$ est la matrice d'adjacence d'un graphe, le coefficient $(i,j)$ de $M^n$ compte les chemins de longueur $n$ allant du sommet $i$ au sommet $j$ — et cette interprétation s'effondrerait si l'on élevait les coefficients un à un.

Énoncé. On pose

1. Calculer le coefficient de $AB$ situé à la première ligne et à la seconde colonne.
2. Calculer $AB$ en entier, puis $BA$. Ces deux matrices sont-elles égales ?
3. Calculer $\det(A)$, puis $A^{-1}$.
4. Résoudre le système $\left\{ \begin{array}{l} 4x + 3y = 10 \\ x + y = 3 \end{array} \right.$ à l'aide de $A^{-1}$.

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1. Un seul coefficient. On veut la position $(1,2)$ : première ligne de $A$, seconde colonne de $B$.

On multiplie dans l'ordre, puis on additionne :

Le piège. Le produit des deux coefficients de même position vaudrait $3 \times (-1) = -3$. Ce n'est pas la réponse — et l'écart entre $5$ et $-3$ est précisément la différence entre le produit matriciel et le produit terme à terme.

2. Les deux produits.

$AB \ne BA$ : ces deux matrices ne commutent pas. Un seul coefficient différent aurait suffi à conclure ; ici il y en a trois.

3. Déterminant et inverse.

Ce nombre n'est pas nul, donc $A$ est inversible. On échange les termes de la diagonale principale, on change le signe des deux autres, on divise par le déterminant :

Vérification indispensable.

C'est bien l'inverse. Cette vérification coûte trente secondes et attrape toutes les erreurs de signe.

4. Le système. Il s'écrit $AX = B'$ avec $X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $B' = \begin{pmatrix} 10 \\ 3 \end{pmatrix}$. Puisque $A$ est inversible, on multiplie à gauche par $A^{-1}$ :

Donc $x = 1$ et $y = 2$.

Contrôle dans le système de départ. $4 \times 1 + 3 \times 2 = 4 + 6 = 10$ et $1 + 2 = 3$. Les deux équations sont satisfaites : la solution est bonne, et elle est unique puisque $\det(A) \ne 0$.

Figure (fig.math.matrix-product-determinant, SVG programmatique à produire) : deux panneaux.

• Panneau gauche — le geste du produit. Disposition dite « en potence » : la matrice $B$ est placée en HAUT à droite, la matrice $A$ en BAS à gauche, et le produit $AB$ occupe le coin bas-droit, à l'intersection. Les quatre matrices sont dessinées en cases. Pour le coefficient de position $(1,2)$ du produit, deux bandes colorées différemment : une bande horizontale couvrant toute la première ligne de $A$, une bande verticale couvrant toute la seconde colonne de $B$ ; elles se croisent exactement sur la case du résultat, marquée d'un cadre épais. Sous le panneau, le calcul écrit en toutes lettres : « $4 \times (-1) + 3 \times 3 = 5$ », avec une accolade reliant chaque produit à la paire de cases dont il vient. À côté, en style visuellement distinct (trait pointillé, pas seulement une autre couleur) et barré d'une croix, le calcul erroné « $3 \times (-1) = -3$ » légendé « produit terme à terme : ce n'est pas le produit matriciel ».
• Panneau droit — le déterminant et ce qu'il décide. Une matrice $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ en cases, traversée par deux flèches diagonales : celle qui descend de gauche à droite porte « $+\,ad$ », celle qui monte porte « $-\,bc$ ». Dessous, deux colonnes en vis-à-vis. À gauche, « $\det \ne 0$ » : une matrice d'exemple, ses deux lignes tracées comme deux vecteurs du plan NON colinéaires, le mot « inversible », et la mention « le système $AX = B$ a une solution unique ». À droite, « $\det = 0$ » : une matrice dont la seconde ligne est le double de la première, les deux vecteurs correspondants tracés PORTÉS PAR LA MÊME DROITE, le mot « non inversible », et la mention « aucune solution, ou une infinité ». Chaque situation est identifiée par son étiquette écrite, jamais par la seule couleur.

Ce qu'il faut lire. Le panneau gauche montre que le produit matriciel est un croisement : une ligne entière rencontre une colonne entière, et leur rencontre produit UNE case. Le panneau droit montre que le déterminant n'est pas un calcul décoratif : il dit si les deux lignes de la matrice pointent dans des directions différentes — auquel cas la matrice s'inverse et le système a une solution unique — ou si elles pointent dans la même direction, auquel cas rien de tout cela n'est possible.

La figure en détail : la figure comprend deux parties. À gauche, trois tableaux de nombres sont disposés en potence : un tableau en haut à droite, un tableau en bas à gauche, et le tableau résultat en bas à droite, à leur intersection. Une bande horizontale souligne une ligne entière du tableau de gauche, une bande verticale souligne une colonne entière du tableau du haut, et les deux bandes se croisent sur une case du résultat, encadrée d'un trait épais. Sous le dessin, le calcul correspondant est écrit en entier, chaque produit relié par une accolade aux deux cases dont il provient ; à côté, barré d'une croix et tracé en pointillé, figure le calcul erroné qui consisterait à multiplier deux cases de même position. À droite, un tableau carré de quatre nombres est traversé par deux flèches diagonales, l'une comptée positivement, l'autre négativement, qui définissent le déterminant. Dessous, deux situations sont comparées côte à côte, chacune sous son étiquette écrite : dans la première, le déterminant n'est pas nul et les deux lignes du tableau, représentées comme deux flèches du plan, pointent dans des directions distinctes, la matrice est inversible et le système associé a une solution unique ; dans la seconde, le déterminant est nul et les deux flèches sont portées par une même droite, la matrice n'est pas inversible et le système n'a soit aucune solution, soit une infinité.

Vérification qui ne coûte rien. Un inverse calculé se vérifie en une multiplication : $AA^{-1}$ doit rendre exactement $I$. Une solution de système se vérifie en la reportant dans les équations de départ. Ces deux contrôles attrapent l'immense majorité des erreurs de signe.

Ce qui n'est pas au programme. L'inversion d'une matrice d'ordre $3$ par la comatrice, le rang, les valeurs propres et la diagonalisation, ainsi que la résolution de suites couplées par diagonalisation, relèvent de l'enseignement supérieur.

1. Multiplier terme à terme. C'est l'erreur numéro un. Le coefficient $(i,j)$ de $AB$ est une somme de produits, construite avec toute la ligne $i$ de $A$ et toute la colonne $j$ de $B$ — jamais le produit des deux coefficients de même position. Réflexe de contrôle : si ton calcul n'a comporté aucune addition, il est faux.
2. Supposer le produit commutatif. $AB$ et $BA$ sont deux matrices différentes en général. On ne « simplifie » pas $AB = AC$ en $B = C$ sans savoir $A$ inversible, et l'on ne développe pas $(A+B)^2$ en $A^2 + 2AB + B^2$ : le terme du milieu est $AB + BA$, et l'on ne peut pas les regrouper.
3. Inverser une matrice de déterminant nul. Écrire $A^{-1}$ sans avoir vérifié que $\det(A) \ne 0$ est une faute de raisonnement, pas une étourderie : la matrice n'existe pas, et toute la suite du calcul est vide de sens. Le déterminant se calcule avant la formule de l'inverse, jamais après.
4. Oublier d'échanger la diagonale dans l'inverse. La formule est $\dfrac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ : $a$ et $d$ changent de place, $b$ et $c$ restent à la leur en changeant de signe. Le contrôle $AA^{-1} = I$ tranche immédiatement.
5. Multiplier d'un seul côté sans le dire. Pour résoudre $AX = B$, on multiplie à gauche par $A^{-1}$ des deux côtés. Multiplier à droite donnerait $AXA^{-1}$, qui ne se simplifie pas. Préciser le côté n'est pas une politesse de rédaction : c'est une étape du raisonnement.
6. Élever une matrice à une puissance coefficient par coefficient. $A^3$ est $A \times A \times A$ ligne par colonne. Sur $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, la vraie puissance troisième vaut $\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ — le $3$ ne serait jamais apparu coefficient par coefficient.
7. Confondre l'ordre des indices. $a_{23}$ est à la deuxième ligne, troisième colonne. L'ordre « ligne puis colonne » vaut pour les indices comme pour la règle du produit ; l'inverser fait transposer silencieusement toute la matrice.
8. Croire qu'une matrice non nulle est forcément inversible. $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ n'a aucun coefficient nul et n'est pourtant pas inversible : son déterminant vaut $1 \times 4 - 2 \times 2 = 0$. Sur les nombres, seul $0$ n'a pas d'inverse ; sur les matrices, ils sont infiniment nombreux.

Le modèle d'entraînement. L'exercice associé sert, sur des matrices carrées d'ordre $2$ à coefficients entiers tirés au hasard, l'une de quatre questions : un coefficient du produit $AB$, le déterminant de $A$, un coefficient de $A^{-1}$, ou un coefficient d'une puissance $A^2$ ou $A^3$. Deux garde-fous sont posés dans le tirage : le coefficient demandé n'est jamais nul, et il diffère toujours de ce qu'aurait donné un calcul terme à terme — autrement dit, l'erreur la plus fréquente ne peut pas tomber juste par hasard. Un second modèle, en vrai ou faux, soumet une affirmation : deux matrices commutent-elles ? telle matrice est-elle inversible ? le produit annoncé est-il le bon ?

Énoncé type. On considère les matrices

Quel est le coefficient du produit $AB$ situé à la seconde ligne et à la première colonne ?

Corrigé complet.

1. Identifier la ligne et la colonne. Position $(2,1)$ : on prend la seconde ligne de $A$ et la première colonne de $B$.

2. Multiplier deux à deux, puis additionner.

3. Interpréter. Le coefficient cherché vaut $14$. Il combine toute la seconde ligne de $A$ et toute la première colonne de $B$ : les quatre nombres $3$, $1$, $4$, $2$ y participent.

Réponse : $14$.

Auto-contrôle. Trois questions avant de rendre. Mon calcul comporte-t-il une addition — sinon j'ai multiplié terme à terme, et j'aurais obtenu $3 \times 2 = 6$, le produit des deux coefficients de position $(2,1)$, au lieu de $14$ ? Ai-je bien pris la ligne de rang $2$ et la colonne de rang $1$, et non la ligne $1$ et la colonne $2$ — qui donneraient $-2 \times (-3) + 5 \times 6 = 36$, un tout autre coefficient ? Et ai-je respecté l'ordre « ligne d'abord, colonne ensuite » dans la lecture de la position demandée ?