S’entraîner : Loi d'une somme de variables indépendantes : convolution et stabilité

Ce que vous travaillez

Loi de la somme de deux variables aléatoires indépendantes : produit de convolution des lois discrètes, puis des densités ; support de la loi somme et bornes effectives de l'intégrale de convolution ; familles stables par somme et paramètre obtenu — binomiale de même probabilité de succès, Poisson, normale, gamma et somme d'exponentielles de même paramètre ; familles NON stables et ce que devient alors la loi (somme de deux uniformes, dont la densité est triangulaire) ; loi du maximum et du minimum d'un échantillon indépendant obtenues par la fonction de répartition ; loi d'une somme d'un nombre aléatoire de termes laissée à plus tard.

À maîtriser avant de commencer

Ces notions sont utilisées ici. Relisez-les si l’une d’elles vous échappe.

• Couples de variables aléatoires à densité et covariance — Couple de variables aléatoires réelles admettant une densité conjointe, support de cette densité, lois marginales obtenues par intégration partielle ; indépendance caractérisée par la factorisation de la densité conjointe ; densité conditionnelle ; espérance d'une fonction du couple par le théorème de transfert ; covariance, bilinéarité, variance d'une somme, coefficient de corrélation et son encadrement ; le fait qu'une covariance nulle n'entraîne pas l'indépendance ; changement de variables et facteur jacobien.
• Variables aléatoires à densité — Variable aléatoire réelle à densité, fonction de répartition et lien avec la densité ; probabilité d'un intervalle comme intégrale de la densité, et conséquence sur la probabilité d'une valeur isolée ; espérance et variance comme intégrales ; lois usuelles : uniforme sur un intervalle, exponentielle et son absence de mémoire, normale et lecture d'une table après centrage et réduction ; simulation d'une loi par inversion de la fonction de répartition.
• Intégration sur un intervalle quelconque — Intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert ou non borné, convergence et divergence, intégrales de référence (Riemann en +∞ et en 0, exponentielle), critères de comparaison et d'équivalence pour les fonctions positives, intégrabilité et convergence absolue.

Comment se déroule la séance

Cette séance s’appuie sur 1 exercice vérifié. Chacun produit un nouvel énoncé à chaque ouverture, avec une solution calculée.

Formats de réponse : Réponse numérique (1). Difficulté 4 sur 5. Environ 5 minutes pour un premier passage.

Dans votre compte : aide graduée (indice, rappel de cours, aide au démarrage), corrigé pas à pas après chaque tentative, suivi de vos progrès.

Essayez un exercice, sans compte

Un exercice réel de cette séance, le même pour chaque visiteur. Répondez, puis vérifiez : la correction est calculée, et le corrigé s’affiche après votre tentative.

Pour aller plus loin

• Lire le début du cours : Loi d'une somme de variables indépendantes : convolution et stabilité
• Fiche de révision : Probabilités (Licence 2)
• Notion suivante : Espaces métriques : ouverts, fermés, adhérence
• Tous les entraînements de Mathématiques