Fiche de révision : Probabilités

Les notions de cette fiche

• Simulation de variables aléatoires et méthode de Monte-Carlo — Simulation d'une loi discrète puis continue à partir d'une variable uniforme ; méthode d'inversion de la fonction de répartition et son domaine de validité ; méthode du rejet, constante de majoration et taux d'acceptation ; estimation d'une espérance ou d'une intégrale par la moyenne empirique de tirages indépendants, justifiée par la loi forte des grands nombres ; erreur de la méthode : le théorème central limite donne une largeur d'intervalle de confiance proportionnelle à l'inverse de la racine carrée du nombre de tirages, indépendante de la dimension ; nombre de tirages nécessaire pour une précision demandée ; estimation empirique de la variance pour construire la barre d'erreur.
• Inégalités de concentration et théorèmes limites — Inégalité de Markov, inégalité de Bienaymé-Tchebychev et les hypothèses qui les autorisent ; convergence en probabilité et loi faible des grands nombres ; énoncé de la loi forte des grands nombres et différence entre les deux modes de convergence ; convergence en loi ; théorème central limite pour une suite de variables indépendantes de même loi et de variance finie, portant sur la somme CENTRÉE et RÉDUITE ; approximation d'une loi binomiale et construction d'un intervalle de confiance asymptotique pour une proportion.
• Loi d'une somme de variables indépendantes : convolution et stabilité — Loi de la somme de deux variables aléatoires indépendantes : produit de convolution des lois discrètes, puis des densités ; support de la loi somme et bornes effectives de l'intégrale de convolution ; familles stables par somme et paramètre obtenu — binomiale de même probabilité de succès, Poisson, normale, gamma et somme d'exponentielles de même paramètre ; familles NON stables et ce que devient alors la loi (somme de deux uniformes, dont la densité est triangulaire) ; loi du maximum et du minimum d'un échantillon indépendant obtenues par la fonction de répartition ; loi d'une somme d'un nombre aléatoire de termes laissée à plus tard.
• Couples de variables aléatoires à densité et covariance — Couple de variables aléatoires réelles admettant une densité conjointe, support de cette densité, lois marginales obtenues par intégration partielle ; indépendance caractérisée par la factorisation de la densité conjointe ; densité conditionnelle ; espérance d'une fonction du couple par le théorème de transfert ; covariance, bilinéarité, variance d'une somme, coefficient de corrélation et son encadrement ; le fait qu'une covariance nulle n'entraîne pas l'indépendance ; changement de variables et facteur jacobien.

À maîtriser avant de commencer

Ces notions sont utilisées ici. Relisez-les si l’une d’elles vous échappe.

• Variables aléatoires à densité — Variable aléatoire réelle à densité, fonction de répartition et lien avec la densité ; probabilité d'un intervalle comme intégrale de la densité, et conséquence sur la probabilité d'une valeur isolée ; espérance et variance comme intégrales ; lois usuelles : uniforme sur un intervalle, exponentielle et son absence de mémoire, normale et lecture d'une table après centrage et réduction ; simulation d'une loi par inversion de la fonction de répartition.
• Intégrale et calcul d'aires — Intégrale d'une fonction continue, aire sous la courbe, théorème fondamental, propriétés (linéarité, Chasles, positivité), valeur moyenne, intégration par parties.
• Loi binomiale — Épreuve et schéma de Bernoulli, coefficients binomiaux, loi B(n, p), espérance np, variance np(1 − p), calculs avec la calculatrice.
• Dispersion : étendue, quartiles, écart-type — Étendue, quartiles et écart interquartile, écart-type, comparaison de séries, diagramme en boîte.
• Intégration sur un intervalle quelconque — Intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert ou non borné, convergence et divergence, intégrales de référence (Riemann en +∞ et en 0, exponentielle), critères de comparaison et d'équivalence pour les fonctions positives, intégrabilité et convergence absolue.
• Variables aléatoires — Loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète, espérance, variance, écart-type, interprétation en moyenne sur un grand nombre de répétitions.
• Primitives — Définition, primitives des fonctions usuelles, linéarité, primitives de u'e^u, u'/u, u'u^n ; unicité à une constante près.

S’entraîner sur ces notions

• S’entraîner : Monte-Carlo : estimation et erreur aléatoire
• S’entraîner : Concentration, loi des grands nombres et TCL
• S’entraîner : Sommes indépendantes et convolution
• S’entraîner : Vecteurs aléatoires et covariance

Pour aller plus loin

• Algèbre bilinéaire et hermitienne
• Analyse complexe
• Équations différentielles
• Intégration
• Structures algébriques
• Topologie et analyse
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