S’entraîner : Simulation de variables aléatoires et méthode de Monte-Carlo

Ce que vous travaillez

Simulation d'une loi discrète puis continue à partir d'une variable uniforme ; méthode d'inversion de la fonction de répartition et son domaine de validité ; méthode du rejet, constante de majoration et taux d'acceptation ; estimation d'une espérance ou d'une intégrale par la moyenne empirique de tirages indépendants, justifiée par la loi forte des grands nombres ; erreur de la méthode : le théorème central limite donne une largeur d'intervalle de confiance proportionnelle à l'inverse de la racine carrée du nombre de tirages, indépendante de la dimension ; nombre de tirages nécessaire pour une précision demandée ; estimation empirique de la variance pour construire la barre d'erreur.

À maîtriser avant de commencer

Ces notions sont utilisées ici. Relisez-les si l’une d’elles vous échappe.

• Inégalités de concentration et théorèmes limites — Inégalité de Markov, inégalité de Bienaymé-Tchebychev et les hypothèses qui les autorisent ; convergence en probabilité et loi faible des grands nombres ; énoncé de la loi forte des grands nombres et différence entre les deux modes de convergence ; convergence en loi ; théorème central limite pour une suite de variables indépendantes de même loi et de variance finie, portant sur la somme CENTRÉE et RÉDUITE ; approximation d'une loi binomiale et construction d'un intervalle de confiance asymptotique pour une proportion.
• Variables aléatoires à densité — Variable aléatoire réelle à densité, fonction de répartition et lien avec la densité ; probabilité d'un intervalle comme intégrale de la densité, et conséquence sur la probabilité d'une valeur isolée ; espérance et variance comme intégrales ; lois usuelles : uniforme sur un intervalle, exponentielle et son absence de mémoire, normale et lecture d'une table après centrage et réduction ; simulation d'une loi par inversion de la fonction de répartition.
• Intégrale et calcul d'aires — Intégrale d'une fonction continue, aire sous la courbe, théorème fondamental, propriétés (linéarité, Chasles, positivité), valeur moyenne, intégration par parties.

Comment se déroule la séance

Cette séance s’appuie sur 1 exercice vérifié. Chacun produit un nouvel énoncé à chaque ouverture, avec une solution calculée.

Formats de réponse : Réponse numérique (1). Difficulté 4 sur 5. Environ 5 minutes pour un premier passage.

Dans votre compte : aide graduée (indice, rappel de cours, aide au démarrage), corrigé pas à pas après chaque tentative, suivi de vos progrès.

Essayez un exercice, sans compte

Un exercice réel de cette séance, le même pour chaque visiteur. Répondez, puis vérifiez : la correction est calculée, et le corrigé s’affiche après votre tentative.

Pour aller plus loin

• Lire le début du cours : Simulation de variables aléatoires et méthode de Monte-Carlo
• Fiche de révision : Probabilités (Licence 2)
• Notion suivante : Couples de variables aléatoires à densité et covariance
• Tous les entraînements de Mathématiques