L’intégrale : une aire, une différence, un nombre

Tu sais dériver, et tu sais depuis peu remonter une dérivée : trouver une primitive. Cette leçon répond à la question « à quoi cela sert-il ? ». La réponse tient en une phrase : cela sert à mesurer des aires, et à travers elles une foule de grandeurs cumulées — une distance à partir d'une vitesse, un travail à partir d'une force, une énergie à partir d'une puissance.

Le point de départ : une aire. Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a\,;\,b]$, avec $a < b$. Le domaine compris entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = a$ et $x = b$ a une aire, mesurée en unités d'aire (l'aire du rectangle unité du repère). Cette aire est, par définition, l'intégrale de $f$ entre $a$ et $b$ :

La lettre $x$ y est muette : elle ne sert qu'à décrire la fonction, et $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ désigne exactement le même nombre.

Pourquoi c'est un nombre, et pas une fonction. Une primitive est une fonction ; une intégrale entre deux bornes est un nombre. La confusion est constante en début de chapitre. Retiens la différence de nature avant toute formule : $\int f(x)\,\mathrm{d}x$ sans bornes n'est pas au programme ; ici, il y a toujours deux bornes, donc toujours un nombre.

Le théorème fondamental. Le calcul d'aire deviendrait vite impraticable si l'on devait, à chaque fois, découper le domaine en rectangles de plus en plus fins. Le théorème fondamental de l'analyse court-circuite ce travail : si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a\,;\,b]$, alors

différence que l'on note aussi $\big[F(x)\big]_{a}^{b}$. Le résultat ne dépend pas de la primitive choisie : deux primitives diffèrent d'une constante, et cette constante s'élimine dans la différence. C'est pourquoi on n'écrit jamais de « $+\,C$ » dans un calcul d'intégrale entre deux bornes.

Le signe, tout de suite. Rien dans la formule $F(b) - F(a)$ n'exige que $f$ soit positive : l'intégrale existe pour toute fonction continue, et elle peut être négative. Une aire, elle, ne l'est jamais. L'égalité « intégrale = aire » n'est donc valable que sous hypothèse de positivité, et c'est l'erreur la plus fréquente du chapitre que de l'oublier. Quand $f$ est négative sur $[a\,;\,b]$, l'aire du domaine vaut $-\int_a^b f$, c'est-à-dire l'opposé de l'intégrale.

Toutes les propriétés qui suivent se démontrent en une ligne à partir de $F(b) - F(a)$. Ce qui compte est de les retenir avec leurs hypothèses : une propriété dont on oublie l'hypothèse devient fausse au premier exercice qui la retire.

Bornes égales, bornes échangées. $\int_a^a f = F(a) - F(a) = 0$, pour toute fonction. Et

Échanger les bornes change le signe. C'est une convention cohérente, pas une bizarrerie : elle rend la relation de Chasles valable sans se soucier de l'ordre des points.

Linéarité. Pour tous réels $\lambda$ et $\mu$,

L'intégrale est linéaire — elle n'est pas multiplicative. L'intégrale d'un produit n'est pas le produit des intégrales : avec $f = g = 1$ sur $[0\,;\,2]$, le premier membre vaudrait $2$ et le second $4$.

Chasles. Si $f$ est continue sur un intervalle contenant $a$, $b$ et $c$, alors

quel que soit l'ordre des trois points — les deux membres valent $F(c) - F(a)$. C'est l'outil pour découper une intégrale là où la fonction change de signe, ou là où son expression change.

Positivité et croissance. Si $a < b$ et si $f \ge 0$ sur $[a\,;\,b]$, alors $\int_a^b f \ge 0$. On en déduit, en appliquant cela à $g - f$ : si $f \le g$ sur $[a\,;\,b]$, alors $\int_a^b f \le \int_a^b g$. Deux avertissements. D'abord, ces énoncés supposent $a < b$ : bornes échangées, les inégalités le sont aussi. Ensuite, la réciproque est fausse — une intégrale nulle n'oblige pas la fonction à être nulle : $\int_{-1}^{1} x\,\mathrm{d}x = 0$ alors que la fonction identité ne s'annule qu'en un point. Les deux moitiés se compensent.

Aire entre deux courbes, aire d'une fonction qui change de signe. Si $f \le g$ sur $[a\,;\,b]$, l'aire comprise entre les deux courbes vaut $\int_a^b (g - f)$ : on intègre « la courbe du haut moins celle du bas », ce qui garantit un intégrande positif, donc un résultat positif. Le cas d'une fonction qui change de signe s'y ramène : on découpe l'intervalle aux points où $f$ s'annule (Chasles), et sur chaque morceau on intègre $f$ ou $-f$ selon le signe. L'aire est alors $\int_a^b |f(x)|\,\mathrm{d}x$, qui est en général différent de $\left|\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\right|$.

Valeur moyenne. La valeur moyenne de $f$ sur $[a\,;\,b]$, avec $a < b$, est

C'est la hauteur du rectangle de base $[a\,;\,b]$ qui aurait la même aire que le domaine sous la courbe. Elle a la même unité que $f$, pas celle d'une aire : la division par la longueur de l'intervalle n'est pas décorative. Une vitesse moyenne, une intensité efficace, une température moyenne sur une journée sont des valeurs moyennes de ce type.

Énoncé. Soit $f$ la fonction définie et continue sur $\mathbb{R}$ par

1. Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $\mathbb{R}$.
2. Calculer $\displaystyle\int_{1}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x$.
3. En déduire $\displaystyle\int_{3}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x$.
4. Montrer que $f$ est strictement positive sur $\mathbb{R}$, puis donner l'aire du domaine compris entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites $x = 1$ et $x = 3$.
5. Calculer la valeur moyenne de $f$ sur $[1\,;\,3]$.

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1. La primitive. On remonte terme à terme : $6x^{2}$ vient de $2x^{3}$, $-4x$ vient de $-2x^{2}$, et la constante $3$ vient de $3x$. Donc

convient. On le vérifie en dérivant : $F'(x) = 6x^{2} - 4x + 3 = f(x)$.

2. L'intégrale. On évalue $F$ aux deux bornes, jamais à une seule :

D'où

S'arrêter à $F(3) = 45$ aurait donné $45$ au lieu de $42$ : la seconde évaluation n'est pas facultative, et c'est précisément l'oubli le plus coûteux du chapitre.

3. Les bornes échangées. Rien à recalculer :

Le nombre est l'opposé, pas le même.

4. Le signe, puis l'aire. Le discriminant de $6x^{2} - 4x + 3$ vaut

donc le trinôme ne s'annule jamais et garde le signe de son coefficient dominant $6 > 0$ : $f$ est strictement positive sur $\mathbb{R}$. C'est cette vérification qui autorise l'égalité entre aire et intégrale. L'aire cherchée vaut donc

Sans l'hypothèse de positivité, on n'aurait rien pu conclure du nombre $42$ quant à une aire.

5. La valeur moyenne. La longueur de l'intervalle est $3 - 1 = 2$, donc

Contrôle de vraisemblance : $f(1) = 5$ et $f(3) = 45$, et $21$ est bien compris entre ces deux valeurs — la valeur moyenne d'une fonction continue est toujours comprise entre son minimum et son maximum sur l'intervalle.

Contrôle général. Trois réflexes : la primitive se vérifie en la dérivant ; l'intégrale est une différence, donc deux évaluations ; et le signe du résultat doit être cohérent avec la position de la courbe par rapport à l'axe.

Figure (fig.math.integral-area-and-sign, SVG programmatique à produire) : trois panneaux, dans l'ordre de la leçon.

• Panneau gauche — l'aire sous une courbe positive. Repère orthonormé, courbe de $f(x) = 6x^{2} - 4x + 3$ entre $x = 0$ et $x = 3{,}5$. Le domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les verticales $x = 1$ et $x = 3$ est hachuré, avec l'étiquette « aire $= \int_{1}^{3} f = 42$ unités d'aire ». Les deux verticales sont tracées en pointillé et étiquetées $x = 1$ et $x = 3$. Un petit carré unité du repère est dessiné à part, légendé « une unité d'aire », pour que la mesure ait un étalon visible.
• Panneau central — le signe. Même type de repère, mais la courbe d'une fonction $g$ qui change de signe sur $[a\,;\,b]$, s'annulant en un point $c$ intérieur. La partie au-dessus de l'axe est hachurée dans un sens et porte « comptée $+$ » ; la partie au-dessous est hachurée dans l'autre sens et porte « comptée $-$ ». Deux cartouches sous le dessin : « $\int_a^b g$ = différence des deux » et « aire du domaine $= \int_a^b |g|$ = somme des deux ». Une flèche relie le point $c$ à la mention « on découpe ici : relation de Chasles ».
• Panneau droit — la valeur moyenne. La courbe du panneau gauche, le même domaine hachuré, et par-dessus un rectangle de base $[1\,;\,3]$ et de hauteur $21$, dessiné en trait plein d'une autre épaisseur. Légende : « même aire, hauteur constante : $\mu = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f = 21$ ». Une double flèche verticale marque la hauteur $21$ sur l'axe des ordonnées.

Ce qu'il faut lire. Le panneau gauche donne le sens premier de l'intégrale — une aire, avec son étalon. Le panneau central montre pourquoi « intégrale » et « aire » cessent de coïncider dès que la courbe traverse l'axe : les deux cartouches ne contiennent pas la même opération, une différence d'un côté, une somme de l'autre. Le panneau droit donne à la valeur moyenne sa lecture géométrique : c'est la hauteur qui aplatit le domaine sans changer son aire.

La figure en détail : la figure comprend trois parties. À gauche, la courbe d'une fonction strictement positive est tracée dans un repère, et la région située entre la courbe, l'axe horizontal et deux droites verticales d'abscisses un et trois est hachurée ; son aire vaut quarante-deux unités d'aire, un petit carré témoin rappelant ce que vaut une unité d'aire. Au centre, la courbe d'une fonction qui passe au-dessus puis au-dessous de l'axe est tracée sur un intervalle ; la région au-dessus de l'axe et la région au-dessous sont hachurées de deux manières différentes, la première comptée positivement et la seconde négativement par l'intégrale, tandis que l'aire géométrique du domaine additionne les deux. À droite, la même courbe positive qu'à gauche est reprise, et un rectangle de même base et de hauteur vingt et un recouvre exactement la même aire : cette hauteur est la valeur moyenne de la fonction sur l'intervalle.

Les unités. L'intégrale d'une fonction sans dimension est un nombre d'unités d'aire du repère. En sciences, l'unité du résultat est le produit de celle de $f$ par celle de la variable : une vitesse en $\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ intégrée sur un temps en secondes donne une distance en mètres ; une puissance en watts intégrée sur un temps donne une énergie en joules. La valeur moyenne, elle, garde l'unité de $f$.

Ce qui n'est pas ici. La construction de l'intégrale par des sommes de rectangles n'est évoquée qu'en idée ; l'intégration par parties est traitée à part ; les intégrales sur un intervalle non borné et le changement de variable relèvent du supérieur.

1. Assimiler l'intégrale à l'aire sans regarder le signe. L'égalité n'est vraie que si $f$ est positive sur l'intervalle. Sur une fonction qui change de signe, l'intégrale compte négativement la partie sous l'axe ; l'aire, elle, additionne les deux parties. Vérifie le signe avant de conclure, et découpe l'intervalle s'il le faut.
2. Inverser les bornes sans changer le signe. $\int_b^a f = -\int_a^b f$. Recopier une intégrale en échangeant les bornes et garder le même nombre est une faute de signe garantie.
3. N'évaluer la primitive qu'à une seule borne. $\int_a^b f = F(b) - F(a)$, pas $F(b)$. Écris systématiquement le crochet $\big[F(x)\big]_a^b$ : il te force à la seconde évaluation.
4. Ajouter la constante d'intégration. Dans un calcul entre bornes, elle disparaît. Écrire « $+\,C$ » ne rend pas la réponse fausse mais montre que la nature du calcul n'est pas comprise, et fait perdre du temps.
5. Croire que l'intégrale d'un produit est le produit des intégrales. L'intégrale est linéaire, pas multiplicative. Même remarque pour un quotient et pour une puissance : $\int f^{2} \ne \left(\int f\right)^{2}$.
6. Déduire d'une intégrale nulle que la fonction est nulle. $\int_{-1}^{1} x\,\mathrm{d}x = 0$ sans que la fonction identité soit nulle. Une intégrale nulle signale une compensation, pas une annulation.
7. Confondre l'intégrale et la valeur moyenne. La valeur moyenne est l'intégrale divisée par la longueur de l'intervalle. Sans cette division, le résultat n'a même pas la bonne unité.
8. Oublier l'hypothèse $a < b$ dans les inégalités. Positivité et croissance supposent l'ordre croissant des bornes. Avec des bornes échangées, les deux membres changent de signe et l'inégalité se retourne.

Le modèle d'entraînement. L'exercice associé à cette leçon propose un trinôme dont la primitive est à coefficients entiers, et demande selon le tirage l'intégrale entre deux bornes, la même intégrale bornes échangées, l'aire sous la courbe lorsque la fonction est strictement positive sur l'intervalle, ou la valeur moyenne. Toutes les réponses sont exactes : aucun arrondi, aucune tolérance. Un modèle voisin, en vrai ou faux, ne demande aucun calcul mais interroge les propriétés elles-mêmes et leurs hypothèses — signe, bornes, Chasles, aire, valeur moyenne, indépendance vis-à-vis de la primitive choisie.

Énoncé type. Soit $f$ la fonction définie et continue sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 9x^{2} + 4x - 5$. Calculer $\displaystyle\int_{-1}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x$.

Corrigé complet.

1. Une primitive. $9x^{2}$ vient de $3x^{3}$, $4x$ vient de $2x^{2}$, et $-5$ vient de $-5x$ :

Vérification par dérivation : $F'(x) = 9x^{2} + 4x - 5 = f(x)$.

2. Les deux évaluations.

3. La différence, dans le bon sens.

Réponse : $\displaystyle\int_{-1}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x = 18$.

Auto-contrôle. Ai-je dérivé ma primitive pour la vérifier ? Ai-je évalué aux deux bornes, et soustrait la valeur du bas à celle du haut ? Et si l'on m'avait demandé une aire, aurais-je d'abord justifié le signe de $f$ sur l'intervalle ? Ici $f(0) = -5 < 0$ : la fonction change de signe sur $[-1\,;\,2]$, et le nombre $18$ n'est donc pas l'aire du domaine.