L’intégrale : une aire, une différence, un nombre

Vous savez dériver, et vous savez depuis peu remonter une dérivée : trouver une primitive. Cette leçon répond à la question « à quoi cela sert-il ? ». La réponse tient en une phrase : cela sert à mesurer des aires, et à travers elles une foule de grandeurs cumulées — un déplacement algébrique à partir d’une vitesse algébrique, ou une distance à partir de sa valeur absolue, un travail à partir d'une force, une énergie à partir d'une puissance.

Le point de départ : une aire. Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a\,;\,b]$, avec $a < b$. Le domaine compris entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = a$ et $x = b$ a une aire, mesurée en unités d'aire (l'aire du rectangle unité du repère). Cette aire est, par définition, l'intégrale de $f$ entre $a$ et $b$ :

La lettre $x$ y est muette : elle ne sert qu'à décrire la fonction, et $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ désigne exactement le même nombre.

Pourquoi c'est un nombre, et pas une fonction. Une primitive est une fonction ; une intégrale entre deux bornes est un nombre. La confusion est constante en début de chapitre. Retenez la différence de nature avant toute formule : la notation sans bornes $\int f(x)\,\mathrm{d}x$ désigne une famille de primitives. Ici les deux bornes sont fixées, donc l’intégrale est un nombre ; avec une borne variable, elle pourrait définir une fonction.

Le théorème fondamental. Le calcul d'aire deviendrait vite impraticable si l'on devait, à chaque fois, découper le domaine en rectangles de plus en plus fins. Le théorème fondamental de l'analyse court-circuite ce travail : si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a\,;\,b]$, alors

différence que l'on note aussi $\big[F(x)\big]_{a}^{b}$. Le résultat ne dépend pas de la primitive choisie : deux primitives diffèrent d'une constante, et cette constante s'élimine dans la différence. On peut utiliser $F+C$ comme primitive : la constante se retranche aux deux bornes et disparaît. On n’ajoute pas une constante arbitraire au résultat numérique final.

Le signe, tout de suite. Rien dans la formule $F(b) - F(a)$ n'exige que $f$ soit positive : l'intégrale existe pour toute fonction continue, et elle peut être négative. Une aire, elle, ne l'est jamais. L'égalité « intégrale = aire » n'est donc valable que sous hypothèse de positivité, et c'est l'erreur la plus fréquente du chapitre que de l'oublier. Quand $f$ est négative sur $[a\,;\,b]$, l'aire du domaine vaut $-\int_a^b f$, c'est-à-dire l'opposé de l'intégrale.

Toutes les propriétés qui suivent se démontrent en une ligne à partir de $F(b) - F(a)$. Ce qui compte est de les retenir avec leurs hypothèses : une propriété dont on oublie l'hypothèse devient fausse au premier exercice qui la retire.

Bornes égales, bornes échangées. $\int_a^a f=0$, dans le cadre des fonctions continues étudiées ici ; les autres identités supposent aussi que les intégrales considérées existent. Et

Échanger les bornes change le signe. C'est une convention cohérente, pas une bizarrerie : elle rend la relation de Chasles valable sans se soucier de l'ordre des points.

Linéarité. Pour tous réels $\lambda$ et $\mu$,

L'intégrale est linéaire — elle n'est pas multiplicative. L'intégrale d'un produit n'est pas le produit des intégrales : avec $f = g = 1$ sur $[0\,;\,2]$, le premier membre vaudrait $2$ et le second $4$.

Chasles. Si $f$ est continue sur un intervalle contenant $a$, $b$ et $c$, alors

quel que soit l'ordre des trois points — les deux membres valent $F(c) - F(a)$. C'est l'outil pour découper une intégrale là où la fonction change de signe, ou là où son expression change.

Positivité et croissance. Si $a < b$ et si $f \ge 0$ sur $[a\,;\,b]$, alors $\int_a^b f \ge 0$. On en déduit, en appliquant cela à $g - f$ : si $f \le g$ sur $[a\,;\,b]$, alors $\int_a^b f \le \int_a^b g$. Deux avertissements. D'abord, ces énoncés supposent $a < b$ : bornes échangées, les inégalités le sont aussi. Ensuite, la réciproque est fausse — une intégrale nulle n'oblige pas la fonction à être nulle : $\int_{-1}^{1} x\,\mathrm{d}x = 0$ alors que la fonction identité ne s'annule qu'en un point. Les deux moitiés se compensent.

Aire entre deux courbes, aire d'une fonction qui change de signe. Si $f \le g$ sur $[a\,;\,b]$, l'aire comprise entre les deux courbes vaut $\int_a^b (g - f)$ : on intègre « la courbe du haut moins celle du bas », ce qui garantit un intégrande positif, donc un résultat positif. Le cas d'une fonction qui change de signe s'y ramène : on découpe l'intervalle aux points où $f$ s'annule (Chasles), et sur chaque morceau on intègre $f$ ou $-f$ selon le signe. L'aire est alors $\int_a^b |f(x)|\,\mathrm{d}x$, qui est en général différent de $\left|\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\right|$.

Valeur moyenne. La valeur moyenne de $f$ sur $[a\,;\,b]$, avec $a < b$, est

Si $f\geqslant0$, c’est la hauteur du rectangle de même aire. Pour une fonction de signe quelconque, $\mu(b-a)$ représente le même bilan signé que l’intégrale. Elle a la même unité que $f$, pas celle d'une aire : la division par la longueur de l'intervalle n'est pas décorative. Une vitesse algébrique moyenne ou une température moyenne sur une durée sont de ce type. L’intensité efficace est en revanche une moyenne quadratique : la racine carrée de la moyenne de $i(t)^2$, pas la moyenne de $i(t)$.

Sur $[-1;3]$, soit $f(x)=|x-1|-1$. La fonction est continue, affine par morceaux. Calculez son intégrale, l’aire entre sa courbe et l’axe horizontal et sa valeur moyenne.

Repérer les expressions et les signes. Pour $x\leqslant1$, $f(x)=-x$ ; pour $x\geqslant1$, $f(x)=x-2$. Ses zéros sont 0 et 2. Elle est positive sur $[-1;0[$ et $]2;3]$, négative sur $]0;2[$.

Découper par Chasles. Les régions positives sont deux triangles de base 1 et hauteur 1 : leurs aires sont chacune 1/2. La région négative est un triangle de base 2 et hauteur 1, d’aire 1. L’intégrale vaut donc $1/2-1+1/2=0$, alors que l’aire géométrique vaut $1/2+1+1/2=2$.

Retrouver par primitives. $\int_{-1}^{1}(-x)\,dx=[-x^2/2]_{-1}^{1}=0$ et $\int_1^3(x-2)\,dx=[x^2/2-2x]_1^3=0$. La somme confirme le bilan nul ; pour l’aire, il faut intégrer la valeur absolue ou séparer les signes.

Moyenne et portée. La longueur est 4, donc la valeur moyenne vaut 0/4=0. Ni l’intégrale nulle ni la moyenne nulle n’imposent que la fonction soit nulle. Le dessin fournit une compensation exacte, sans transformer le bilan signé en aire.

Figure (fig.math.integral-area-and-sign, SVG programmatique existant) : trois panneaux, dans l'ordre de la leçon.

• Panneau gauche — l'aire sous une courbe positive. Repère non orthonormé (80 px par unité horizontale, 5 px par unité verticale), courbe de $f(x) = 6x^{2} - 4x + 3$ entre $x = 0$ et $x = 3{,}5$. Le domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les verticales $x = 1$ et $x = 3$ est hachuré, avec l'étiquette « aire $= \int_{1}^{3} f = 42$ unités d'aire ». Les deux verticales sont tracées en pointillé et étiquetées $x = 1$ et $x = 3$. Un rectangle représentant une unité horizontale par une unité verticale est dessiné à part, légendé « une unité d'aire », pour que la mesure ait un étalon visible.
• Panneau central — le signe. Même type de repère, mais la courbe d'une fonction $g$ qui change de signe sur $[a\,;\,b]$, s'annulant en un point $c$ intérieur. La partie au-dessus de l'axe est hachurée dans un sens et porte « comptée $+$ » ; la partie au-dessous est hachurée dans l'autre sens et porte « comptée $-$ ». Deux cartouches sous le dessin : « $\int_a^b g$ = différence des deux » et « aire du domaine $= \int_a^b |g|$ = somme des deux ». Une flèche relie le point $c$ à la mention « on découpe ici : relation de Chasles ».
• Panneau droit — la valeur moyenne. La courbe du panneau gauche, le même domaine hachuré, et par-dessus un rectangle de base $[1\,;\,3]$ et de hauteur $21$, dessiné en trait plein d'une autre épaisseur. Légende : « même aire, hauteur constante : $\mu = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f = 21$ ». Une double flèche verticale marque la hauteur $21$ sur l'axe des ordonnées.

Ce qu'il faut lire. Le panneau gauche donne le sens premier de l'intégrale — une aire, avec son étalon. Le panneau central montre pourquoi « intégrale » et « aire » cessent de coïncider dès que la courbe traverse l'axe : les deux cartouches ne contiennent pas la même opération, une différence d'un côté, une somme de l'autre. Le panneau droit donne à la valeur moyenne sa lecture géométrique : c'est la hauteur qui aplatit le domaine sans changer son aire.

La figure en détail : la figure comprend trois parties. À gauche, la courbe d'une fonction strictement positive est tracée dans un repère, et la région située entre la courbe, l'axe horizontal et deux droites verticales d'abscisses un et trois est hachurée ; son aire vaut quarante-deux unités d'aire, un petit rectangle témoin rappelant une unité d’aire avec ces échelles différentes. Au centre, la courbe d'une fonction qui passe au-dessus puis au-dessous de l'axe est tracée sur un intervalle ; la région au-dessus de l'axe et la région au-dessous sont hachurées de deux manières différentes, la première comptée positivement et la seconde négativement par l'intégrale, tandis que l'aire géométrique du domaine additionne les deux. À droite, la même courbe positive qu'à gauche est reprise, et un rectangle de même base et de hauteur vingt et un a exactement la même aire, sans recouvrir la même région : cette hauteur est la valeur moyenne de la fonction sur l'intervalle.