Mathématiques · Prépa 1re année · 1 leçon

Fiche de révision : Nombres complexes

L’essentiel de chaque leçon du chapitre, tel qu’il est écrit dans le cours : à relire, à imprimer, puis à vérifier par l’entraînement.

Les notions de cette fiche

Exponentielle complexe et racines n-ièmes de l'unité — Groupe U des complexes de module 1, exponentielle complexe et son équation fonctionnelle, racines n-ièmes de l'unité (il y en a exactement n, de somme nulle, sommets d'un polygone régulier), racines n-ièmes d'un complexe quelconque, technique de l'angle moitié, linéarisation et factorisation des sommes trigonométriques.

À maîtriser avant de commencer

Ces notions sont utilisées ici. Relisez-les si l’une d’elles vous échappe.

Nombres complexes — Forme algébrique, conjugué, module, argument, forme exponentielle, formules d'Euler et de Moivre, résolution dans ℂ du second degré.
Fonctions sinus et cosinus — Fonctions trigonométriques : périodicité, parité, dérivées, courbes, résolution d'équations trigonométriques simples.

Le début de la fiche

Extrait de la leçon « Racines de l’unité et ordre multiplicatif », tel qu’il figure sur la fiche.

Retenir les relations

$\mu_n=\{e^{2i\pi k/n}:0\le k<n\}$
$\operatorname{ord}(e^{2i\pi k/n})=\frac n{\gcd(n,k)}$

Pour trouver l'ordre, cherchez une divisibilité entière : $n$ doit diviser $kd$ . Réduire par le plus grand commun diviseur fournit le plus petit $d$ . Les racines primitives génèrent toutes les racines $n$ -ièmes par leurs puissances.

Les pièges à éviter et la version imprimable sont réservés à votre compte.

S’entraîner sur ces notions

S’entraîner : Racines de l’unité et ordre multiplicatif

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