Fiche de révision : Analyse

Les notions de cette fiche

• Relations de comparaison : négligeabilité et équivalents — Domination, négligeabilité et équivalence pour les suites et pour les fonctions, opérations licites sur les équivalents (produit, quotient, puissance), croissances comparées, et usage d'un équivalent pour lever une forme indéterminée.
• Continuité sur un segment et théorèmes globaux — Théorème des valeurs intermédiaires énoncé et démontré, image continue d'un segment, théorème des bornes atteintes, théorème de la bijection pour une fonction continue strictement monotone et continuité de la réciproque.
• Convergence d'une suite : définition quantifiée — Définition de la limite avec les quantificateurs (pour tout epsilon > 0, il existe un rang N tel que pour tout n ≥ N, l'écart au but reste plus petit que epsilon), unicité de la limite, suites bornées, négation de la convergence, théorème de la limite monotone et suites adjacentes.
• Développements limités — Formule de Taylor-Young, DL usuels en 0 (e^x, ln(1+x), (1+x)^α, sin, cos), opérations sur les DL, applications aux limites et équivalents.
• Intégration sur un segment — Intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment, linéarité, relation de Chasles, positivité et inégalité de la moyenne, sommes de Riemann d'une fonction continue, intégration par parties et changement de variable.
• Suites définies par récurrence — Étude d'une suite vérifiant une relation du type « terme suivant = f(terme courant) » : intervalle stable, monotonie, majoration, convergence par le théorème de la limite monotone, puis identification de la limite comme point fixe de f par continuité.
• Théorème de Rolle et accroissements finis — Extremum intérieur et annulation de la dérivée, théorème de Rolle, égalité et inégalité des accroissements finis, caractérisation de la monotonie par le signe de la dérivée, théorème de la limite de la dérivée.
• Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants — Équation caractéristique, discriminant, solutions réelles (cas Δ > 0, Δ = 0, Δ < 0), solution particulière, conditions initiales.
• Séries numériques : convergence — Somme partielle et nature d'une série, condition nécessaire de convergence, séries de référence (géométriques, séries de Riemann), critères de comparaison et d'équivalence pour les séries à termes positifs, convergence absolue.

À maîtriser avant de commencer

Ces notions sont utilisées ici. Relisez-les si l’une d’elles vous échappe.

• Limites et continuité de fonctions — Limites en l'infini et en un point, asymptotes, croissances comparées, continuité, théorème des valeurs intermédiaires.
• Limites de suites — Limite finie ou infinie, opérations sur les limites, théorèmes de comparaison et des gendarmes, suites monotones bornées, raisonnement par récurrence.
• Dérivée d'une fonction composée — (g∘u)' = u' × g'∘u ; cas e^u, ln u, u^n, √u, cos u, sin u.
• Intégrale et calcul d'aires — Intégrale d'une fonction continue, aire sous la courbe, théorème fondamental, propriétés (linéarité, Chasles, positivité), valeur moyenne, intégration par parties.
• Dérivée d'un produit, d'un quotient — Formules (uv)' = u'v + uv', (1/v)' = −v'/v², (u/v)' = (u'v − uv')/v², dérivée de √x et de 1/x.
• Équations différentielles y' = ay + b — Solutions de y' = ay, de y' = ay + b, solution vérifiant une condition initiale, interprétation (décroissance radioactive, charge d'un condensateur).
• Fonctions sinus et cosinus — Fonctions trigonométriques : périodicité, parité, dérivées, courbes, résolution d'équations trigonométriques simples.
• Nombres complexes — Forme algébrique, conjugué, module, argument, forme exponentielle, formules d'Euler et de Moivre, résolution dans ℂ du second degré.
• Suites arithmétiques et géométriques — Définition par récurrence et forme explicite, raison, sens de variation, somme des termes, modélisation d'évolutions.

S’entraîner sur ces notions

• S’entraîner : Comparer des fonctions par équivalence
• S’entraîner : Continuité sur un segment : existence et unicité
• S’entraîner : Convergence d'une suite : la définition quantifiée
• S’entraîner : Développements limités : remplacer par un polynôme
• S’entraîner : Intégrer une fonction continue sur un segment
• S’entraîner : Suites récurrentes et point fixe
• S’entraîner : Théorème de Rolle et accroissements finis
• S’entraîner : Équations différentielles linéaires du second ordre
• S’entraîner : Séries numériques : converge, diverge, et pourquoi

Pour aller plus loin

• Algèbre linéaire
• Nombres complexes
• Probabilités
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